数学代写|微积分代写Calculus代写|MATH7000

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微积分是数学的一个分支,涉及瞬时变化率的计算(微积分)和无限多的小因素相加以确定一些整体(积分微积分)

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|微积分代写Calculus代写|MATH7000

数学代写|微积分代写Calculus代写|Power Series and the Extension Theorem

An analytic function is one that can be expanded as a convergent power series
$$
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}
$$
in some open disk $S={z:|z-a|<r}$ centered at $a$ with radius $r$. The term “analytic” describes this property over a set: an analytic function on a given domain can be represented as a convergent power series at any point in the domain. You recognize such a power series from your studies of Taylor series $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}$ in realvalued calculus (where the variable $z$ was real). Just as the root (or ratio) test from realvariable calculus can determine the (positive) radius of convergence $R$ (which provides the power series’ largest such open interval of convergence ${z=x:|x-a|<R$ for $x \in \mathbb{R}}$ ), so does the test work for complex functions to provide the largest such open disk of convergence ${z:|z-a|<R$ for $z \in C}$.

One of the most important and beautiful theorems of complex analysis is that “functions holomorphic at all points in a disk are analytic over that disk!” Combined with the fact that analytic functions are holomorphic, we see that differentiability (on a disk) is exactly equivalent to the expression of a complex function as a convergent power series. Differentiability of the analytic function is assured throughout the disk of convergence. Hence analytic exactly means holomorphic at all points on a disk. This fact has many beautiful and powerful positive consequences, first realized by AugustinLouis Cauchy in [31]. He developed the formula for an analytic function’s Taylor series based on an integral identity. Our pathway toward that important formula will use as stepping stones the following four foundational theorems.

数学代写|微积分代写Calculus代写|The Exponential Function and Polar Coordinates

This section already mentioned the idea contained in the Extension Theorem: the important functions arising as analytic functions in real-valued calculus have natural extensions to complex functions. The calculus properties learned in real-valued calculus have beautiful and natural extensions out to the complex functions’ extensions. Before proving the theorems, this subsection shows how exponential functions produce a superb illustration of their use. How does the much-beloved real-valued function $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ extend into the complex plane? In other words, how must we properly define a complex function $f(z)=\mathrm{e}^{z}$ so that it agrees with $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ for all real $z=x$ ? The Extension Theorem says the answer must be equivalent to the one found by simply replacing $x$ with $z$ in the familiar real power series
$$
\mathrm{e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}
$$
Since this real series has an infinite radius of convergence, so must the complex series when we replace $x$ with $z$, and then it will correctly define $\mathrm{e}^{z}$ for all $z \in \mathrm{C}$. Furthermore, the expression
$$
\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{u} \mathrm{e}^{b}
$$
is exactly equivalent to the formal power series expression
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+b)^{n}}{n !}=\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{n}}{n !}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b^{n}}{n !}\right)
$$
Because these expressions hold for real $a$ and $b$ and can both be formulated in terms of power series, the Extension Theorem (as these series always converge) implies they both hold for any complex $a$ and $b$. Then the real power series generates, via the Extension Theorem, the complex function $\mathrm{e}^{z}=\mathrm{e}^{x+i y}$ in the following way:
$$
\begin{aligned}
\mathrm{e}^{z} &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n !}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+i y)^{n}}{n !}=\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i y)^{n}}{n !}\right) \
&=\mathrm{e}^{x} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^{n} y^{n}}{n !}=\mathrm{e}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} y^{2 n}}{(2 n) !}+i \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{y^{2 n+1}}{(2 n+1) !}\right)
\end{aligned}
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写|MATH7000

微积分代考

数学代写|微积分代写Calculus代写|Power Series and the Extension Theorem

解析函数是可以展开为收敛幂级数的函数
$$
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}
$$
在一些打开的磁盘中 $S=z:|z-a|<r$ 以 $a$ 带半径 $r$. 术语”解析”描述了集合上的这个属性: 给定域上的解析函 数可以表示为域中任意点的收敛幂级数。你从泰勒级数的研究中认出了这样的幂级数
$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}$ 在实值微积分中 (其中变量 $z$ 是真实的)。正如实变量微积分的根 (或比率) 检验 可以确定 (正) 收敛半径 $R$ (它提供了幂级数最大的这种开收敛区间 $z=x:|x-a|<R \$$ for $\$ x \in \mathbb{R}$ ),对 于复杂函数的测试工作也是如此,以提供最大的这种开放式收敛圆盘 $z:|z-a|<R \$$ for $\$ z \in C$.
复分析中最重要和最优美的定理之一是“圆盘中所有点的全纯函数都可以在该圆盘上解析! ” 结合解析函数是全纯 的这一事实,我们看到可微性 (在圆盘上) 完全等价于将复函数表达为收敛幂级数。解析函数的可微性在整个收 敛盘中得到保证。因此,解析确切地意味着在磁盘上的所有点上都是全纯的。这一事实具有许多美丽而有力的积 极后果,首先由 AugustinLouis Cauchy 在 [31] 中实现。他开发了基于积分恒等式的解析函数泰勒级数的公式。 我们通往这个重要公式的途径将使用以下四个基本定理作为垫脚石。

数学代写|微积分代写Calculus代写|The Exponential Function and Polar Coordinates

本节已经提到了扩展定理中包含的思想: 在实值微积分中作为解析函数出现的重要函数具有对复函数的自然扩 展。在实值微积分中学习到的微积分属性对复杂函数的扩展具有优美而自然的扩展。在证明这些定理之前,本小 节将展示指数函数如何对其使用产生极好的说明。备受憙爱的实值函数如何 $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ 扩展到复平面? 换句话 说,我们必须如何正确定义一个复杂的函数 $f(z)=\mathrm{e}^{z}$ 所以它同意 $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ 对于所有真实的 $z=x$ ? 扩展定理 说答案必须等同于通过简单替换找到的答案 $x$ 和 $z$ 在熟急的真实力量系列中
$$
\mathrm{e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}
$$
由于这个实数级数具有无限的收敛半径,所以我们替换时的复数数数也必须如此 $x$ 和 $z$ ,然后它将正确定义 $\mathrm{e}^{z}$ 对 所有人 $z \in \mathrm{C}$. 此外,表达式
$$
\mathbf{e}^{a+b}=\mathbf{e}^{u} \mathbf{e}^{b}
$$
完全等价于形式幂级数表达式
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+b)^{n}}{n !}=\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{n}}{n !}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b^{n}}{n !}\right)
$$
因为这些表达是真实的 $a$ 和 $b$ 并且都可以用幂级数表示,扩展定理(因为这些级数总是收敛的)意味着它们都适用 于任何复数 $a$ 和 $b$. 然后实幂级数通过扩展定理生成复函数 $\mathrm{e}^{z}=\mathrm{e}^{x+i y}$ 通过以下方式:
$$
\mathrm{e}^{z}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n !}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+i y)^{n}}{n !}=\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i y)^{n}}{n !}\right) \quad=\mathrm{e}^{x} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^{n} y^{n}}{n !}=\mathrm{e}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} y^{2 n}}{(2 n) !}\right.
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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