数学代写|微积分代写Calculus代写|Monotonic Sequences

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微积分是数学的一个分支,涉及瞬时变化率的计算(微积分)和无限多的小因素相加以确定一些整体(积分微积分)

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数学代写|微积分代写Calculus代写|Monotonic Sequences

数学代写|微积分代写Calculus代写|Monotonic Sequences

We have seen that a bounded sequence need not converge. However, we shall show that, if the terms $a_{n}$ of a bounded sequence $\left(a_{n}\right)$ either increase or decrease as $n$ increases, then the sequence does converge.
Definition 1.1.8 A sequence $\left(a_{n}\right)$ is said to be a
(1) monotonically increasing sequence if $a_{n} \leq a_{n+1}$ for all $n \in \mathbb{N}$;
(2) monotonically decreasing sequence if $a_{n} \geq a_{n+1}$ for all $n \in \mathbb{N}$;
(3) monotonic sequence if it is either monotonically increasing or monotonically decreasing.

If strict inequality occur in (1) (resp. (2)), then we say that the sequence is strictly increasing (resp. strictly decreasing).

A monotonically increasing (respectively, a monotonically decreasing) sequence is also called an increasing (respectively, a decreasing) sequence.
We may observe that:

  1. A sequence $\left(a_{n}\right)$ is monotonically increasing and bounded above if and only if $\left(-a_{n}\right)$ is monotonically decreasing and bounded below.
  2. Every monotonically increasing sequence is bounded below, and every monotonically decreasing sequence is bounded above.

Example 1.1.20 The following statements can be easily verified (verify) (Figs. $1.7$ and 1.8):
(i) $\left(a_{n}\right)$ with $a_{n}=n /(n+1)$ is monotonically increasing.
(ii) ( $\left.a_{n}\right)$ with $a_{n}=(n+1) / n$ is monotonically decreasing.
(iii) $\left(a_{n}\right)$ with $a_{n}=(-1)^{n} n /(n+1)$ is neither monotonically increasing nor monotonically decreasing.
Exercise 1.1.14 Let $\left(a_{n}\right)$ be a monotonic sequence. Prove the following.
(i) Suppose $\left(a_{n}\right)$ converges. Then it is bounded above by the limit if it is increasing, and bounded below by the limit if it is decreasing.
(ii) Suppose $\left(a_{n}\right)$ diverges. Then it diverges to either infinity or minus infinity depending on whether it is increasing or decreasing.

Note that a convergent sequence need not be monotonically increasing or monotonically decreasing. For example, the sequence $\left((-1)^{n} / n\right)$ is convergent, but it is neither monotonically increasing nor monotonically decreasing. However, we have the following theorem. It helps us to show the convergence of many of the standard sequences.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Subsequences

There are divergent sequences which contain terms which form convergent sequences. For example, the sequence $\left(a_{n}\right)$ with $a_{n}=(-1)^{n}$ is divergent, but the sequences $\left(a_{2 n-1}\right)$ and $\left(a_{2 n}\right)$ are convergent. Those sequences extracted from a given sequence, retaining the order in which the terms occur, are called subsequences. More precisely, we have the following definition.

Definition 1.1.12 A subsequence of a sequence $\left(a_{n}\right)$ is a sequence of the form $\left(a_{k_{n}}\right)$, where $\left(k_{n}\right)$ is a strictly increasing sequence of positive integers.
A sequence $\left(b_{n}\right)$ is a subsequence of a sequence $\left(a_{n}\right)$ if and only if there is a strictly increasing sequence $\left(k_{n}\right)$ of positive integers such that $b_{n}=a_{k_{n}}$ for all $n \in \mathbb{N}$.
For example, given a sequence $\left(a_{n}\right)$, the sequences
$$
\left(a_{2 n}\right), \quad\left(a_{2 n+1}\right), \quad\left(a_{n^{2}}\right), \quad\left(a_{2^{n}}\right)
$$
are some of the subsequences of $\left(a_{n}\right)$. As concrete examples,

(1) $\left(\frac{1}{2 n}\right),\left(\frac{1}{2 n+1}\right),\left(\frac{1}{n^{2}}\right)$ and $\left(\frac{1}{2^{n}}\right)$ are subsequences of $\left(\frac{1}{n}\right)$;
(2) $\left(\frac{1}{n}\right)$ and $\left(\frac{n}{n+1}\right)$ are subsequences of $\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{4}, \ldots\right)$.
(3) The sequence $\left(b_{n}\right)$ with $b_{n}=1$ for all $n \in \mathbb{N}$ and the sequence $\left(c_{n}\right)$ with $c_{n}=-1$ for all $n \in \mathbb{N}$ are subsequences of the sequence $\left((-1)^{n}\right)$.
(4) $(2 n),(2 n+1),\left(n^{2}\right)$ and $\left(2^{n}\right)$ are subsequences of the sequence $\left(a_{n}\right)$ with $a_{n}=n$ for all $n \in \mathbb{N}$.

In (1), the given sequence and all the subsequences listed are convergent; in (2), the subsequences are convergent, but the original sequence is not convergent; same is the case with the case in (3); in (4), the original sequence and all the subsequences listed are divergent. In fact, in (4), every subsequence of the given sequence has to diverge to infinity (verify).
However, we have the following result.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Further Examples

Example 1.1.28 Let a sequence $\left(a_{n}\right)$ be defined iteratively as follows: $a_{1}=1$ and
$$
a_{n+1}=\frac{2 a_{n}+3}{4}
$$
$n \in \mathbb{N}$. We show that $\left(a_{n}\right)$ is monotonically increasing and bounded above.
Note that
$$
a_{n+1}=\frac{2 a_{n}+3}{4}=\frac{a_{n}}{2}+\frac{3}{4} \geq a_{n} \quad \Longleftrightarrow \quad a_{n} \leq \frac{3}{2}
$$
Thus it is enough to show that $a_{n} \leq 3 / 2$ for all $n \in \mathbb{N}$.

Clearly, $a_{1} \leq 3 / 2$. If $a_{n} \leq 3 / 2$, then $a_{n+1}=a_{n} / 2+3 / 4<3 / 4+3 / 4=3 / 2$. Thus, we have proved that $a_{n} \leq 3 / 2$ for all $n \in \mathbb{N}$. Hence, by Theorem $1.1 .9,\left(a_{n}\right)$ converges. Let its limit be $a$. Then taking limit on both sides of $a_{n+1}=\frac{2 a_{n}+3}{4}$ we have
$$
a=\frac{2 a+3}{4} \text { i.e., } 4 a=2 a+3 \text { so that } a=\frac{3}{2}
$$
Another solution: Since $a:=3 / 2$ satisfies
$$
a=\frac{2 a+3}{4}
$$
we obtain
$$
a_{n+1}-a=\frac{2 a_{n}+3}{4}-\frac{2 a+3}{4}=\frac{1}{2}\left(a_{n}-a\right)
$$
Thus, by Theorem $1.1 .6, a_{n} \rightarrow a=3 / 2$
Example 1.1.29 Let a sequence $\left(a_{n}\right)$ be defined as follows : $a_{1}=2$ and
$$
a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{2}{a_{n}}\right)
$$
for $n \in \mathbb{N}$. Note that, if the sequence converges, then its limit $a \geq 0$, and then
$$
a=\frac{1}{2}\left(a+\frac{2}{a}\right)
$$
so that $a=\sqrt{2}$.
Since $a_{1}=2$, one may try to show that $\left(a_{n}\right)$ is monotonically decreasing and bounded below.
Note that
$$
a_{n+1}:=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{2}{a_{n}}\right) \leq a_{n} \Longleftrightarrow a_{n}^{2} \geq 2, \quad \text { i.e., } \quad a_{n} \geq \sqrt{2}
$$
and
$$
\begin{aligned}
a_{n+1}:=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{2}{a_{n}}\right) \geq \sqrt{2} & \Longleftrightarrow a_{n}^{2}-2 \sqrt{2} a_{n}+2 \geq 0 \
& \Longleftrightarrow\left(a_{n}-\sqrt{2}\right)^{2} \geq 0
\end{aligned}
$$

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微积分代考

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我们已经看到有界序列不需要收敛。然而,我们将证明,如果条款一个n有界序列的(一个n)增加或减少n增加,则序列确实收敛。
定义 1.1.8 一个序列(一个n)被称为
(1) 单调递增序列,如果一个n≤一个n+1对所有人n∈ñ;
(2) 单调递减序列如果一个n≥一个n+1对所有人n∈ñ;
(3) 单调序列,如果它是单调递增或单调递减的。

如果在 (1) (resp. (2)) 中出现严格不等式,那么我们说这个序列是严格递增的(resp.strictly increasing)。

单调递增(分别称为单调递减)序列也称为递增(分别称为递减)序列。
我们可以观察到:

  1. 一个序列(一个n)单调递增且有界当且仅当(−一个n)是单调递减且有界的。
  2. 每个单调递增的序列都有界,每个单调递减的序列都有界。

示例 1.1.20 以下语句可以很容易地验证(verify)(图 1)。1.7和 1.8):
(i)(一个n)和一个n=n/(n+1)是单调递增的。
(二) (一个n)和一个n=(n+1)/n是单调递减的。
㈢(一个n)和一个n=(−1)nn/(n+1)既不是单调递增也不是单调递减。
练习 1.1.14 让(一个n)是一个单调序列。证明以下。
(我想(一个n)收敛。然后,如果它在增加,则以限制为界,如果它在减少,则以限制为界。
(ii) 假设(一个n)分歧。然后根据它是增加还是减少,它会发散到无穷大或负无穷大。

请注意,收敛序列不必单调递增或单调递减。例如,序列((−1)n/n)是收敛的,但既不是单调递增也不是单调递减。但是,我们有以下定理。它有助于我们展示许多标准序列的收敛性。

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存在包含形成收敛序列的项的发散序列。例如,序列(一个n)和一个n=(−1)n是发散的,但序列(一个2n−1)和(一个2n)是收敛的。从给定序列中提取的那些序列,保留术语出现的顺序,称为子序列。更准确地说,我们有以下定义。

定义 1.1.12 序列的子序列(一个n)是形式的序列(一个ķn), 在哪里(ķn)是一个严格递增的正整数序列。
一个序列(bn)是序列的子序列(一个n)当且仅当存在严格递增的序列(ķn)的正整数使得bn=一个ķn对所有人n∈ñ.
例如,给定一个序列(一个n), 序列

(一个2n),(一个2n+1),(一个n2),(一个2n)
是一些子序列(一个n). 作为具体的例子,

(1) (12n),(12n+1),(1n2)和(12n)是的子序列(1n);
(2) (1n)和(nn+1)是的子序列(1,12,12,23,13,34,…).
(3) 序列(bn)和bn=1对所有人n∈ñ和序列(Cn)和Cn=−1对所有人n∈ñ是序列的子序列((−1)n).
(4) (2n),(2n+1),(n2)和(2n)是序列的子序列(一个n)和一个n=n对所有人n∈ñ.

在(1)中,给定序列和列出的所有子序列都是收敛的;(2)中,子序列收敛,但原序列不收敛;与(3)中的情况相同;在(4)中,原始序列和列出的所有子序列都是发散的。事实上,在(4)中,给定序列的每个子序列都必须发散到无穷大(验证)。
但是,我们有以下结果。

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示例 1.1.28 让一个序列(一个n)迭代定义如下:一个1=1和

一个n+1=2一个n+34
n∈ñ. 我们表明(一个n)是单调递增且有界的。
注意

一个n+1=2一个n+34=一个n2+34≥一个n⟺一个n≤32
因此足以证明一个n≤3/2对所有人n∈ñ.

清楚地,一个1≤3/2. 如果一个n≤3/2, 然后一个n+1=一个n/2+3/4<3/4+3/4=3/2. 因此,我们证明了一个n≤3/2对所有人n∈ñ. 因此,由定理1.1.9,(一个n)收敛。让它的极限一个. 然后在两边取极限一个n+1=2一个n+34我们有

一个=2一个+34 IE, 4一个=2一个+3 以便 一个=32
另一个解决方案:因为一个:=3/2满足

一个=2一个+34
我们获得

一个n+1−一个=2一个n+34−2一个+34=12(一个n−一个)
因此,由定理1.1.6,一个n→一个=3/2
示例 1.1.29 让一个序列(一个n)定义如下:一个1=2和

一个n+1=12(一个n+2一个n)
为了n∈ñ. 注意,如果序列收敛,那么它的极限一个≥0, 接着

一个=12(一个+2一个)
以便一个=2.
自从一个1=2, 可以尝试证明(一个n)是单调递减且有界的。
注意

一个n+1:=12(一个n+2一个n)≤一个n⟺一个n2≥2, IE, 一个n≥2

一个n+1:=12(一个n+2一个n)≥2⟺一个n2−22一个n+2≥0 ⟺(一个n−2)2≥0

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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