数学代写|微积分代写Calculus代写|MTH2010

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微积分是数学的一个分支,涉及瞬时变化率的计算(微积分)和无限多的小因素相加以确定一些整体(积分微积分)

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|微积分代写Calculus代写|MTH2010

数学代写|微积分代写Calculus代写|Multivalued Functions and Riemann Surfaces

Just as for real functions, a complex function $f^{-1}$ is the inverse function of a complex function $f$ when
$f^{-1}(f(z))=z$ for all $z$ in the domain of $f$
and
$w=f\left(f^{-1}(w)\right)$ for all $w$ in the range of $f$
The inverse is under composition (and is not the multiplicative inverse). Inverse functions are important because their application solves $f(w)=z$ for $w$. In other words, they provide the algebraic formula to solve important equations. For example, $f(z)=$ $z^{2}$ has inverse $f^{-1}(z)=\sqrt{z}$, which we can properly define. It solves $w^{2}=z$ for $w$, since (applying the inverse function to both sides) it means $w=\sqrt{z}$. The square root function is certainly not the only inverse function of interest. Likewise, $f^{-1}(z)=\sqrt[3]{z}$ solves $z=w^{3}$. Similarly, $f^{-1}(z)=z^{5 / 4}$ solves $z=w^{4 / 5}$. In the same way, we would like to properly define the logarithm function $f^{-1}(z)=\log z$ to solve $z=\mathrm{e}^{w}$. Each of these inverse function definitions follow the same structural pathway, and this section generally describes how that works.

The square root function provides a good place to start. The Extension Theorem’s demand that the square root function is an extension of its real-valued counterpart implies $\sqrt{z}=\sqrt{x}$ for real $z=x \geq 0$, but how is $f^{-1}(z)=\sqrt{z}$ defined for other complex values? It turns out, as we see below, that the polar representation of the domain value $z$ (and then the straightforward analysis of how the algebra of the inverse function should work) produces the correct definition of $f^{-1}(z)$.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Riemann Surfaces

Since a multivalued function takes on more than one output value $f(z)$ at a given $z$, the branches’ output values $f_{1}(z), f_{2}(z)$, etc. will be range sets in the complex plane $\mathbb{C}$. They will each have the same domain. Bernhard Riemann had the clever idea of “gluing” the domain sets together, one on top of the other, to produce a single domain embedded in three dimensions.

The effect is to produce a single “sheet” in 3-space (with the complex plane as its two horizontal dimensions) that makes up the “total domain” of the multivalued function. Such a surface is called a Riemann surface, and the individual pieces of the sheet that correspond to each branch of the function is called a branch of the multivalued function’s domain. There would then be, for example, infinitely many domain sheet pieces above a given value of $z$ when $f$ has an infinite number of branches there. Furthermore, Riemann realized it could be possible to “glue” together the domain pieces to produce two very satisfying results. First, mathematicians can consider the function as defined on the Riemann surface’s domain, and then it is not multivalued. Instead, it maps each domain point on the Riemann surface to exactly one range value in $\mathbb{C}$. Second, this resulting function $f(z)$ could be considered as continuous over its Riemann surface, whereas the multivalued function isn’t continuous across any branch cut. In other words, when complex points $z$ and $w$ are close together in the Riemann surface, the output values $f(z)$ and $f(w)$ can be close together in the range space. In short, the inherently pleasant analytic properties of the function can exist when considering the Riemann surface as the domain, whereas the branch cuts destroy the multivalued function’s property of continuity. Nice!

Here’s the key to doing this successfully: Examine the range output for each branch. “Cut” each branch’s domain (in $\mathbb{C}$ ) along a slice that corresponds to where the branch’s range output has a boundary. This is called a branch cut. Each domain is a flat two-dimensional region. For each one, “pull” one side of the branch cut up into 3-space and the other side down. Then “glue” together the domain pieces of those branches so that the output points glue together, too, forming a continuous map on the Riemann surface domain.

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微积分代考

数学代写|微积分代写Calculus代写|Multivalued Functions and Riemann Surfaces

就像实函数一样,复函数 $f^{-1}$ 是复函数的反函数 $f$ 什么时候
$f^{-1}(f(z))=z$ 对所有人 $z$ 在领域 $f$

$w=f\left(f^{-1}(w)\right)$ 对所有人 $w$ 在范围内 $f$
逆是合成的(而不是乘法逆) 。反函数很重要,因为它们的应用解决了 $f(w)=z$ 为了 $w$. 换句话说,它们提供了 求解重要方程的代数公式。例如, $f(z)=z^{2}$ 有逆 $f^{-1}(z)=\sqrt{z}$ ,我们可以正确定义。它解决了 $w^{2}=z$ 为了 $w$, 因为 (对两边应用反函数) 它意味着 $w=\sqrt{z}$. 平方根函数当然不是唯一感兴趣的反函数。同样地,
$f^{-1}(z)=\sqrt[3]{z}$ 解决 $z=w^{3}$. 相似地, $f^{-1}(z)=z^{5 / 4}$ 解决 $z=w^{4 / 5}$. 同样,我们想正确定义对数函数
$f^{-1}(z)=\log z$ 解决 $z=\mathrm{e}^{w}$. 这些反函数定义中的每一个都遵循相同的结构路径,本节一般描述其工作原理。
平方根函数提供了一个很好的起点。扩展定理要求平方根函数是其实值对应函数的扩展,这意味着 $\sqrt{z}=\sqrt{x}$ 真 正的 $z=x \geq 0$ ,但如何 $f^{-1}(z)=\sqrt{z}$ 为其他复杂值定义? 事实证明,正如我们在下面看到的,域值的极坐标 表示 $z$ (然后直接分析反函数的代数应该如何工作) 产生正确的定义 $f^{-1}(z)$.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Riemann Surfaces

由于多值函数具有多个输出值 $f(z)$ 在给定的 $z$ ,分支的输出值 $f_{1}(z), f_{2}(z)$ 等将是复平面中的范围集 $C$. 他们每个 人都将拥有相同的域。Bernhard Riemann 有一个聪明的想法,将域集”粘合”在一起,一个在另一个之上,以产 生嵌入三个维度的单个域。
其效果是在 3 空间 (复平面作为其两个水平维度) 中生成单个“表”,构成多值函数的“总域”。这样的曲面称为黎 曼曲面,对应于函数每个分支的片的各个部分称为多值函数域的分支。例如,在给定值之上会有无限多的域表片 段 $z$ 什么时候 $f$ 那里有无数个分支。此外,Riemann 意识到可以将域片段粘合”在一起以产生两个非常令人满意 的结果。首先,数学家可以考虑在黎曼曲面域上定义的函数,然后它不是多值的。相反,它将黎曼曲面上的每个 域点映射到精确的一个范围值 $\mathbb{C}$. 二、这个结果函数 $f(z)$ 可以认为在其黎曼曲面上是连续的,而多值函数在任何 分支切割上都不连续。换句话说,当复杂点 $z$ 和 $w$ 在黎曼曲面上靠得很近,输出值 $f(z)$ 和 $f(w)$ 可以在范围空间中 靠近在一起。简而言之,当以黎曼曲面为域时,函数固有的令人愉悦的解析性质可以存在,而分支割破坏了多值 函数的连续性。好的!
这是成功执行此操作的关键:检查每个分支的范围输出。“剪切”每个分支的域 (在 $\mathbb{C}$ ) 沿着与分支的范围输出具有 边界的位置相对应的切片。这称为分支切割。每个域都是一个平坦的二维区域。对于每一个,”拉”分支的一侧切 成 3 格,另一侧向下。然后将这些分支的域片段”粘合”在一起,以便输出点也粘合在一起,在黎曼曲面域上形成 连续映射。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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