数学代写|微积分代写Calculus代写|MTH2010

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微积分是数学的一个分支,涉及瞬时变化率的计算(微积分)和无限多的小因素相加以确定一些整体(积分微积分)

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|微积分代写Calculus代写|MTH2010

数学代写|微积分代写Calculus代写|Some More Examples

In the following examples a particular procedure is adopted to show continuity or discontinuity of a function. The reader may adopt any other alternate procedure, for instance, any one of the characterizations in Theorem 2.2.1.

Example 2.2.4 For given $x_{0} \in \mathbb{R}$, let $f(x)=\left|x-x_{0}\right|, x \in \mathbb{R}$. Then $f$ is continuous on $\mathbb{R}$. To see this, note that, for $a \in \mathbb{R}$,
$$
|f(x)-f(a)|=|| x-x_{0}|-| a-x_{0}|| \leq\left|\left(x-x_{0}\right)-\left(a-x_{0}\right)\right|=|x-a| .
$$
Hence, for every $\varepsilon>0$, we have
$$
|x-a|<\varepsilon \Rightarrow|f(x)-f(a)|<\varepsilon
$$
Example 2.2.5 Recall from Example 2.2.9 that
$$
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}=4
$$
Hence, $f$ defined by
$$
f(x):= \begin{cases}\frac{x^{2}-4}{x-2}, & x \neq 2 \ 4, & x=2\end{cases}
$$

is continuous at 2 . However, the function
$$
g(x):= \begin{cases}\frac{x^{2}-4}{x-2}, & x \neq 2 \ \alpha, & x=2\end{cases}
$$
is not continuous at 2 for any $\alpha \neq 4$.
Also, if $a \neq 2$, then $x-2$ is nonzero in a neighbourhood of $a$, and the functions $x-2$ and $x^{2}-4$ are continuous on $\mathbb{R}$. Hence, by Theorem $2.2 .6, f$ is continuous at every $a \neq 2$ as well. By similar arguments, $g$ is continuous at every point $a \neq 2$. $\diamond$
Example 2.2.6 We already observed in Example 2.2.3 that the functions $f, g, h$ defined by
$$
f(x)=\sin x, \quad g(x)=\cos x, \quad h(x)= \begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \ 1, & x=0\end{cases}
$$
are continuous at 0 . Now, we show that they are continuous at every point in $\mathbb{R}$.
Note that for $x, y \in \mathbb{R}$,
$$
\sin x-\sin y=2 \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) \cos \left(\frac{x+y}{2}\right)
$$
so that
$$
|\sin x-\sin y| \leq|x-y| \quad \forall x, y \in \mathbb{R}
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写|Some Properties of Continuous Functions

Recall that a subset $S$ of $\mathbb{R}$ is said to be bounded if there exists $M>0$ such that $|s| \leq M$ for all $s \in S$, and a set which is not bounded is called an unbounded set. Recall also that if $S$ is a bounded subset of $\mathbb{R}$, then $S$ has the infimum and the supremum, not necessarily in $S$.
For $S \subseteq \mathbb{R}$, we have the following:

  1. Suppose $S$ is bounded, and say $\alpha:=\inf S$ and $\beta:=\sup S$. Then there exist sequences $\left(s_{n}\right)$ and $\left(t_{n}\right)$ in $S$ such that $s_{n} \rightarrow \alpha$ and $t_{n} \rightarrow \beta$.
  2. $S$ is unbounded if and only if there exists a sequence $\left(s_{n}\right)$ in $S$ which is unbounded.
  3. $S$ is unbounded if and only if there exists a sequence $\left(s_{n}\right)$ in $S$ such that $\left|s_{n}\right| \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$
  4. If $\left(s_{n}\right)$ is a sequence in $S$ which is unbounded, then there exists a subsequence $\left(s_{k_{n}}\right)$ of $\left(s_{n}\right)$ such that $\left|s_{k_{n}}\right| \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$
  5. If $\left(s_{n}\right)$ is a sequence in $S$ such that $\left|s_{n}\right| \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$, and if $\left(s_{k_{n}}\right)$ is a subsequence of $\left(s_{n}\right)$, then $\left|s_{k_{n}}\right| \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$.
    Exercise 2.2.4 Prove the above statements.
    Theorem 2.2.7 Suppose $f$ is a real valued continuous function defined on a closed and bounded interval $[a, b]$. Then $f$ is a bounded function.

Proof Assume for a moment that $f$ is not a bounded function. Then, there exists a sequence $\left(x_{n}\right)$ in $[a, b]$ such that $\left|f\left(x_{n}\right)\right| \rightarrow \infty$. Since $\left(x_{n}\right)$ is a bounded sequence, by Bolzano-Weierstrass theorem (Theorem 1.1.13), there exists a subsequence $\left(x_{k_{n}}\right)$ of $\left(x_{n}\right)$ such that $x_{k_{n}} \rightarrow x$ for some $x \in[a, b]$. Therefore, by the continuity of $f$, $f\left(x_{k_{n}}\right) \rightarrow f(x)$. In particular, $\left(f\left(x_{k_{n}}\right)\right.$ ) is a bounded sequence. This is a contradiction to the fact that $\left|f\left(x_{n}\right)\right| \rightarrow \infty$. Thus, we have proved that $f$ cannot be unbounded.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Continuity of the Inverse of a Function

Suppose $f$ is defined on a set $D \subseteq \mathbb{R}$. We may recall the following from elementary set theory:

If $f$ is injective, i.e., one-one, then we know that a function $g$ can be defined on the range $E:=f(D)$ of $f$ by $g(y)=x$ for $y \in E$, where $x \in D$ is the unique element in $D$ such that $f(x)=y$. The above function $g$ is called the inverse of $f$. Note that the domain of the inverse of $f$ is the range of $f$.

By Corollary 2.2.10, we know that range of a continuous function defined on an interval $I$ is also an interval. Suppose $f$ is also injective. Then a natural question one would like to ask is whether its inverse is also continuous. First we answer this question affirmatively by assuming that the domain of the function is a closed and bounded interval.

Theorem 2.2.13 (Inverse function theorem (IFT)) Let $f$ be a continuous injective function defined on a closed and bounded interval I. Then its inverse from its range is continuous.

Proof Suppose $J=f(I)$, the range of $f$. Let $y_{0} \in J$ and $\left(y_{n}\right)$ be an arbitrary sequence in $J$ which converges to $y_{0}$. Let $x_{n}=f^{-1}\left(y_{n}\right), n \in \mathbb{N}$ and $x_{0}=f^{-1}\left(y_{0}\right)$. We have to show that $x_{n} \rightarrow x_{0}$.

Suppose, on the contrary, that $x_{n} \nrightarrow x_{0}$. Then there exists $\varepsilon_{0}>0$ and a subsequence $\left(u_{n}\right)$ of $\left(x_{n}\right)$ such that $u_{n} \notin\left(x_{0}-\varepsilon_{0}, x_{0}+\varepsilon_{0}\right)$ for all $n \in \mathbb{N}$. Since $I$ is a bounded interval, $\left(u_{n}\right)$ is a bounded sequence. Hence, $\left(u_{n}\right)$ has a subsequence $\left(v_{n}\right)$

which converges to some $v \in \mathbb{R}$. Since $I$ is a closed interval, $v \in I$. Now, continuity of $f$ implies that $f\left(v_{n}\right) \rightarrow f(v)$. But, since $\left(f\left(v_{n}\right)\right)$ is a subsequence of $\left(y_{n}\right)$, and since $y_{n} \rightarrow y_{0}$, we have $f(v)=y_{0}=f\left(x_{0}\right)$. Now, since $f$ is injective, $v=x_{0}$. Thus we have proved that $v_{n} \rightarrow x_{0}$. This is a contradiction to the fact that $v_{n} \notin\left(x_{0}-\varepsilon_{0}, x_{0}+\varepsilon_{0}\right)$ for all $n \in \mathbb{N}$.

Next we shall prove the conclusion in the last theorem by dropping the condition that $I$ is closed and bounded, but assuming an additional condition on $f$, namely that it is strictly monotonic.

数学代写|微积分代写Calculus代写|MTH2010

微积分代考

数学代写|微积分代写Calculus代写|Some More Examples

在以下示例中,采用特定过程来显示函数的连续性或不连续性。读者可以采用任何其他替代程序,例如,定理 2.2.1 中的任何一种表征。

示例 2.2.4 对于给定X0∈R, 让F(X)=|X−X0|,X∈R. 然后F是连续的R. 要看到这一点,请注意,对于一个∈R,

|F(X)−F(一个)|=||X−X0|−|一个−X0||≤|(X−X0)−(一个−X0)|=|X−一个|.
因此,对于每个e>0, 我们有

|X−一个|<e⇒|F(X)−F(一个)|<e
例 2.2.5 回想一下例 2.2.9

林X→2X2−4X−2=4
因此,F被定义为

F(X):={X2−4X−2,X≠2 4,X=2

在 2 处是连续的。然而,函数

G(X):={X2−4X−2,X≠2 一个,X=2
在 2 处不连续一个≠4.
另外,如果一个≠2, 然后X−2在邻域中是非零的一个, 和函数X−2和X2−4是连续的R. 因此,由定理2.2.6,F在每一处都是连续的一个≠2也是。通过类似的论点,G在每一点都是连续的一个≠2. ⋄
例 2.2.6 我们已经在例 2.2.3 中观察到函数F,G,H被定义为

F(X)=罪⁡X,G(X)=因⁡X,H(X)={罪⁡XX,X≠0 1,X=0
在 0 处连续。现在,我们证明它们在每个点上都是连续的R.
请注意,对于X,是∈R,

罪⁡X−罪⁡是=2罪⁡(X−是2)因⁡(X+是2)
以便

|罪⁡X−罪⁡是|≤|X−是|∀X,是∈R

数学代写|微积分代写Calculus代写|Some Properties of Continuous Functions

回想一下子集小号的R如果存在则说是有界的米>0这样|s|≤米对所有人s∈小号,无界的集合称为无界集。还记得如果小号是有界子集R, 然后小号有下确界和上确界,不一定在小号.
为了小号⊆R,我们有以下内容:

  1. 认为小号是有界的,说一个:=信息小号和b:=支持小号. 那么存在序列(sn)和(吨n)在小号这样sn→一个和吨n→b.
  2. 小号无界当且仅当存在一个序列(sn)在小号这是无界的。
  3. 小号无界当且仅当存在一个序列(sn)在小号这样|sn|→∞作为n→∞
  4. 如果(sn)是一个序列小号无界,则存在子序列(sķn)的(sn)这样|sķn|→∞作为n→∞
  5. 如果(sn)是一个序列小号这样|sn|→∞作为n→∞, 而如果(sķn)是一个子序列(sn), 然后|sķn|→∞作为n→∞.
    练习 2.2.4 证明上述陈述。
    定理 2.2.7 假设F是定义在闭有界区间上的实值连续函数[一个,b]. 然后F是有界函数。

证明假设一会儿F不是有界函数。那么,存在一个序列(Xn)在[一个,b]这样|F(Xn)|→∞. 自从(Xn)是一个有界序列,由 Bolzano-Weierstrass 定理(定理 1.1.13),存在一个子序列(Xķn)的(Xn)这样Xķn→X对于一些X∈[一个,b]. 因此,通过连续性F, F(Xķn)→F(X). 尤其是,(F(Xķn)) 是有界序列。这与事实相矛盾|F(Xn)|→∞. 因此,我们证明了F不能无界。

数学代写|微积分代写Calculus代写|Continuity of the Inverse of a Function

认为F在集合上定义D⊆R. 我们可以从基本集合论中回忆起以下内容:

如果F是单射的,即一对一,那么我们知道一个函数G可以在范围上定义和:=F(D)的F经过G(是)=X为了是∈和, 在哪里X∈D是唯一的元素D这样F(X)=是. 上述函数G被称为倒数F. 注意逆的域F是范围F.

通过推论 2.2.10,我们知道定义在区间上的连续函数的范围我也是一个区间。认为F也是单射的。那么一个很自然的问题就是它的逆是否也是连续的。首先我们通过假设函数的域是一个封闭的有界区间来肯定地回答这个问题。

定理 2.2.13 (反函数定理 (IFT)) 让F是定义在闭有界区间 I 上的连续单射函数。那么它的范围的逆是连续的。

证明假设Ĵ=F(我), 的范围F. 让是0∈Ĵ和(是n)是一个任意序列Ĵ收敛到是0. 让Xn=F−1(是n),n∈ñ和X0=F−1(是0). 我们必须证明Xn→X0.

相反,假设Xn↛X0. 那么存在e0>0和一个子序列(在n)的(Xn)这样在n∉(X0−e0,X0+e0)对所有人n∈ñ. 自从我是有界区间,(在n)是有界序列。因此,(在n)有一个子序列(在n)

收敛到一些在∈R. 自从我是闭区间,在∈我. 现在,连续性F暗示F(在n)→F(在). 但是由于(F(在n))是一个子序列(是n),并且由于是n→是0, 我们有F(在)=是0=F(X0). 现在,自从F是单射的,在=X0. 因此我们证明了在n→X0. 这与事实相矛盾在n∉(X0−e0,X0+e0)对所有人n∈ñ.

接下来我们将通过删除条件来证明最后定理中的结论我是封闭且有界的,但假设有一个附加条件F,即它是严格单调的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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