数学代写|微积分代写Calculus代写|Sequence and Series of Real Numbers

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微积分是数学的一个分支,涉及瞬时变化率的计算(微积分)和无限多的小因素相加以确定一些整体(积分微积分)

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数学代写|微积分代写Calculus代写|Sequence and Series of Real Numbers

数学代写|微积分代写Calculus代写|Sequence of Real Numbers

Suppose that, for each positive integer $n$, we are given a real number $a_{n}$. Then, the list of numbers
$$
a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots
$$
is called a sequence. A more precise definition of a sequence is the following:
Definition 1.1.1 A sequence of real numbers is a function from the set No natural numbers to the set $\mathbb{R}$ of real numbers.

Notation 1.1.1 If $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ is a sequence, and if $a_{n}=f(n)$ for $n \in \mathbb{N}$, then we write the sequence $f$ as
$$
\left(a_{1}, a_{2}, \ldots\right) \text { or }\left(a_{n}\right) \text { or }\left{a_{n}\right},
$$ and the term $a_{n}$ is called the $n^{\text {th }}$ term of the sequence $\left(a_{n}\right)$. In specific cases, where one knows an expression for $a_{n}$, one may write
$\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots\right)$ instead of $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots\right)$
Remark 1.1.1 It is to be borne in mind that a sequence $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots\right)$ is different from the set $\left{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right}$. For instance, a number may be repeated in a sequence $\left(a_{n}\right)$, but it need not be written repeatedly in the set $\left{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right}$. As an example, $\left(1, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{3}, \ldots, 1, \frac{1}{n}, \ldots\right)$ is a sequence $\left(a_{n}\right)$ with $a_{2 n-1}=1$ and $a_{2 n}=1 /(n+1)$ for each $n \in \mathbb{N}$, whereas the set $\left{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right}$ is same as the set ${1 / n: n \in \mathbb{N}}$.

Remark 1.1.2 We can also talk about a sequence of elements from any non-empty set $S$, such as sequence of sets, sequence of functions and so on. Thus, given a non-empty set $S$, a sequence in $S$ is a function $f: \mathbb{N} \rightarrow S$. In this chapter, we shall consider only sequence of real numbers. In some of the later chapters we shall consider sequences of functions as well.
Example 1.1.1 Let us consider a few examples of sequences (Fig. 1.1):
(i) $\left(a_{n}\right)$ with $a_{n}=1$ for all $n \in \mathbb{N}$.
(ii) $\left(a_{n}\right)$ with $a_{n}=n$ for all $n \in \mathbb{N}$.
(iii) (an) with $a_{n}=1 / n$ for all $n \in \mathbb{N}$.
(iv) $\left(a_{n}\right)$ with $a_{n}=n /(n+1)$ for all $n \in \mathbb{N}$.
(v) $\left(a_{n}\right)$ with $a_{n}=(-1)^{n}$ for all $n \in \mathbb{N}$. This sequence takes values 1 and $-1$ alternately.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Convergence and Divergence

In certain sequences the $n^{\text {th }}$ term comes closer and closer to a particular number as $n$ becomes larger and larger. For example, in the sequence $\left(\frac{1}{n}\right)$, the $n^{\text {th }}$ term comes closer and closer to 0 , whereas in $\left(\frac{n}{n+1}\right)$, the $n^{\text {th }}$ term comes closer and closer to 1 as $n$ becomes larger and larger. If you look at the sequence $\left((-1)^{n}\right)$, the terms oscillate between $-1$ and 1 as $n$ varies, whereas in $\left(n^{2}\right)$ the terms become larger and larger.
Now, we make precise the the statement ” $a_{n}$ comes closer and closer to a number $a$ as $n$ becomes larger and larger”, that is, ” $a_{n}$ can be made arbitrarily close to $a$ by taking $n$ large enough”, by defining the notion of convergence of a sequence.

Definition 1.1.2 A sequence $\left(a_{n}\right)$ of real numbers is said to converge to a real number $a$ if for every $\varepsilon>0$, there exists a positive integer $N$, that may depend on $\varepsilon$, such that
$$
\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon \quad \forall n \geq N
$$
A sequence that converges is called a convergent sequence, and a sequence that does not converge is called a divergent sequence.
Notation 1.1.2 (i) If $\left(a_{n}\right)$ converges to $a$, then we write
$$
a_{n} \rightarrow a \text { as } n \rightarrow \infty
$$
that we may read as ” $a_{n}$ tends to $a$ as $n$ tends to infinity”, that we also write in short as $a_{n} \rightarrow a$.
(ii) If $\left(a_{n}\right)$ does not converge to $a$, then we write $a_{n} \nrightarrow a$.
Remark 1.1.3 We must keep in mind that the symbol o is not a number; it is only a notation used in the context of describing some properties of real numbers, such as in Definition 1.1.2.

Remark 1.1.4 In Definition 1.1.2, the expression $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ can be replaced by $\left|a_{n}-a\right| \leq \varepsilon$ or by $\left|a_{n}-a\right|0$. In other words, the following statements are equivalent.
(i) For every $\varepsilon>0$, there exists $N \in \mathbb{N}$ such that $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ for all $n \geq N$. (ii) For every $\varepsilon>0$, there exists $N \in \mathbb{N}$ such that $\left|a_{n}-a\right| \leq \varepsilon$ for all $n \geq N$.
(iii) For every $\varepsilon>0$, there exists $N \in \mathbb{N}$ such that $\left|a_{n}-a\right| \leq c_{0} \varepsilon$ for all $n \geq N$ for some $c_{0}>0$.

Clearly, (i) implies (ii). To see (ii) implies (i), assume (ii) and let $\varepsilon>0$ be given. Then, by (ii), with $\varepsilon / 2$ in place of $\varepsilon$, there exists $N \in \mathbb{N}$ such that $\left|a_{n}-a\right| \leq \varepsilon / 2$ for all $n \geq N$. In particular, (i) holds. Now, (iii) follows from (i) by taking $c_{0} \varepsilon$ in place of $\varepsilon$, and (i) follows from (iii) by taking $\varepsilon / c_{0}$ in place of $\varepsilon$.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Some Tests for Convergence and Divergence

Theorem 1.1.5 (Ratio test) Suppose $a_{n}>0$ for all $n \in \mathbb{N}$ such that $\lim {n \rightarrow \infty} \frac{a{n+1}}{a_{n}}=\ell$ for some $\ell \geq 0$. Then the following hold.
(i) If $\ell<1$, then $a_{n} \rightarrow 0$. (ii) If $\ell>1$, then $a_{n} \rightarrow \infty$.
Proof (i) Suppose $\ell<1$. Let $q$ be such that $\ell1$. Let $q$ be such that $1<q<\ell$. Then, taking for example the open interval $I$ containing $\ell$ as $I=(q, \ell+1)$, there exists $N \in \mathbb{N}$ such that $$
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}>q \quad \forall n \geq N
$$
Hence,
$$
a_{n} \geq q^{n-N} a_{N} \quad \forall n \geq N
$$
By Theorem 1.1.4, $q^{n-N} \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$. Hence, $a_{n} \rightarrow \infty$
Example 1.1.15 Let $0<a<1$. Then $n a^{n} \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$. To see this, let $a_{n}:=$ $n a^{n}$ for $n \in \mathbb{N}$. Then we have
$$
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1) a^{n+1}}{n a^{n}}=\frac{(n+1) a}{n} \quad \forall n \in \mathbb{N} .
$$
Hence, $\lim {n \rightarrow \infty} \frac{a{n+1}}{a_{n}}=a<1$. Thus, by Theorem 1.1.5, $n a^{n} \rightarrow 0$.
Similarly, it can be shown that, for any $k \in \mathbb{N}, n^{k} a^{n} \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$.
Remark 1.1.9 The converse of the results (i) and (ii) in Theorem 1.1.5 does not hold. To see this, consider the following examples:
(i) Consider $\left(a_{n}\right)$ with $a_{n}=1 / n$. Then $a_{n} \rightarrow 0$, but $a_{n+1} / a_{n} \rightarrow 1$.
(ii) Consider $\left(a_{n}\right)$ with $a_{n}=n$. Then $a_{n} \rightarrow \infty$, but $a_{n+1} / a_{n} \rightarrow 1$.
In fact, we shall see in the next section that the condition $\ell<1$ in Theorem 1.1.5 is too strong, in the sense that, not only we have the convergence of $\left(a_{n}\right)$ to 0 , but also we can show the convergence of the sequence $\left(s_{n}\right)$, where $s_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$.
Note that, for any sequence $\left(a_{n}\right)$, if $s_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$, then the convergence of $\left(s_{n}\right)$ implies $a_{n} \rightarrow 0$, but $a_{n} \rightarrow 0$ does not imply the convergence of $\left(s_{n}\right)$.

Exercise 1.1.10 Establish the statement in the last paragraph of the above remark. $\varangle$
The following theorem gives a sufficient condition for certain number to be a limit of a given sequence.

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微积分代考

数学代写|微积分代写Calculus代写|Sequence of Real Numbers

假设,对于每个正整数n, 我们得到一个实数一个n. 然后,数字列表

一个1,一个2,…,一个n,…
称为序​​列。序列的更精确定义如下:
定义 1.1.1 实数序列是集合中的函数 集合中没有自然数R的实数。

符号 1.1.1 如果F:ñ→R是一个序列,如果一个n=F(n)为了n∈ñ, 然后我们写序列F作为

\left(a_{1}, a_{2}, \ldots\right) \text { 或 }\left(a_{n}\right) \text { 或 }\left{a_{n}\right},\left(a_{1}, a_{2}, \ldots\right) \text { 或 }\left(a_{n}\right) \text { 或 }\left{a_{n}\right},和术语一个n被称为nth 序列项(一个n). 在特定情况下,人们知道一个表达式一个n, 可以写
(一个1,一个2,…,一个n,…)代替(一个1,一个2,…)
备注 1.1.1 要记住,一个序列(一个1,一个2,…)与集合不同\left{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right}\left{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right}. 例如,一个数字可以按顺序重复(一个n),但不需要在集合中重复写入\left{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right}\left{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right}. 举个例子,(1,12,1,13,…,1,1n,…)是一个序列(一个n)和一个2n−1=1和一个2n=1/(n+1)对于每个n∈ñ,而集合\left{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right}\left{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right}与集合相同1/n:n∈ñ.

备注 1.1.2 我们也可以讨论来自任何非空集合的元素序列小号,如集合序列、函数序列等。因此,给定一个非空集小号, 中的一个序列小号是一个函数F:ñ→小号. 在本章中,我们将只考虑实数序列。在后面的一些章节中,我们还将考虑函数序列。
示例 1.1.1 让我们考虑几个序列示例(图 1.1):
(i)(一个n)和一个n=1对所有人n∈ñ.
(二)(一个n)和一个n=n对所有人n∈ñ.
(iii) (an) 与一个n=1/n对所有人n∈ñ.
(四)(一个n)和一个n=n/(n+1)对所有人n∈ñ.
(在)(一个n)和一个n=(−1)n对所有人n∈ñ. 这个序列取值 1 和−1交替。

数学代写|微积分代写Calculus代写|Convergence and Divergence

在某些序列中nth 术语越来越接近特定数字,因为n变得越来越大。例如,在序列中(1n), 这nth term 越来越接近 0 ,而在(nn+1), 这nth 术语越来越接近 1,因为n变得越来越大。如果你看序列((−1)n), 项在−1和 1 作为n变化,而在(n2)条款变得越来越大。
现在,我们做出准确的声明”一个n越来越接近一个数字一个作为n越来越大”,即“一个n可以任意接近一个通过采取n足够大”,通过定义序列收敛的概念。

定义 1.1.2 一个序列(一个n)实数的收敛到实数一个如果对于每个e>0, 存在一个正整数ñ,这可能取决于e, 这样

|一个n−一个|<e∀n≥ñ
收敛的序列称为收敛序列,不收敛的序列称为发散序列。
符号 1.1.2 (i) 如果(一个n)收敛到一个,然后我们写

一个n→一个 作为 n→∞
我们可以读为“一个n倾向于一个作为n趋于无穷”,我们也简称为一个n→一个.
(ii) 如果(一个n)不收敛到一个,然后我们写一个n↛一个.
备注 1.1.3 我们必须记住,符号 o 不是数字;它只是在描述实数的某些属性的上下文中使用的符号,例如在定义 1.1.2 中。

备注 1.1.4 在定义 1.1.2 中,表达式|一个n−一个|<e可以替换为|一个n−一个|≤e或通过|一个n−一个|0. 换句话说,以下语句是等价的。
(一) 对于每个e>0, 那里存在ñ∈ñ这样|一个n−一个|<e对所有人n≥ñ. (ii) 对于每个e>0, 那里存在ñ∈ñ这样|一个n−一个|≤e对所有人n≥ñ.
(iii) 对于每个e>0, 那里存在ñ∈ñ这样|一个n−一个|≤C0e对所有人n≥ñ对于一些C0>0.

显然,(i)暗示(ii)。看到 (ii) 蕴含 (i),假设 (ii) 并让e>0被给予。然后,由(ii),与e/2代替e, 那里存在ñ∈ñ这样|一个n−一个|≤e/2对所有人n≥ñ. 特别是,(i) 成立。现在,(iii)从(i)得出C0e代替e, 和 (i) 从 (iii) 得出e/C0代替e.

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定理 1.1.5(比率检验)假设一个n>0对所有人n∈ñ这样林n→∞一个n+1一个n=ℓ对于一些ℓ≥0. 然后以下保持。
(一) 如果ℓ<1, 然后一个n→0. (ii) 如果ℓ>1, 然后一个n→∞.
证明 (i) 假设ℓ<1. 让q是这样的ℓ1. 让q是这样的1<q<ℓ. 然后,以开区间为例我包含ℓ作为我=(q,ℓ+1), 那里存在ñ∈ñ这样

一个n+1一个n>q∀n≥ñ
因此,

一个n≥qn−ñ一个ñ∀n≥ñ
根据定理 1.1.4,qn−ñ→∞作为n→∞. 因此,一个n→∞
示例 1.1.15 让0<一个<1. 然后n一个n→0作为n→∞. 要看到这一点,让一个n:= n一个n为了n∈ñ. 然后我们有

一个n+1一个n=(n+1)一个n+1n一个n=(n+1)一个n∀n∈ñ.
因此,林n→∞一个n+1一个n=一个<1. 因此,根据定理 1.1.5,n一个n→0.
类似地,可以证明,对于任何ķ∈ñ,nķ一个n→0作为n→∞.
备注 1.1.9 定理 1.1.5 中的结果 (i) 和 (ii) 的逆不成立。要了解这一点,请考虑以下示例:
(i) 考虑(一个n)和一个n=1/n. 然后一个n→0, 但一个n+1/一个n→1.
(ii) 考虑(一个n)和一个n=n. 然后一个n→∞, 但一个n+1/一个n→1.
事实上,我们将在下一节中看到,条件ℓ<1定理 1.1.5 太强了,从某种意义上说,不仅我们有收敛(一个n)到 0 ,还可以显示序列的收敛性(sn), 在哪里sn=一个1+一个2+⋯+一个n.
请注意,对于任何序列(一个n), 如果sn=一个1+一个2+⋯+一个n, 那么收敛(sn)暗示一个n→0, 但一个n→0并不意味着收敛(sn).

练习 1.1.10 建立上述评论最后一段中的陈述。\变量
下面的定理给出了某个数是给定序列的极限的充分条件。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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