数学代写|微积分代写Calculus代写|Some Tests for Convergence

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微积分是数学的一个分支,涉及瞬时变化率的计算(微积分)和无限多的小因素相加以确定一些整体(积分微积分)

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数学代写|微积分代写Calculus代写|Some Tests for Convergence

数学代写|微积分代写Calculus代写|Some Tests for Convergence

Theorem 1.2.6 (Comparison test) Let $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ for all $n \in \mathbb{N}$. Then
$$
\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { converges } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { converges }
$$
Proof Suppose $s_{n}$ and $s_{n}^{\prime}$ are the $n^{\text {th }}$ partial sums of the series $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ and $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$, respectively. By the assumption, we have $0 \leq s_{n} \leq s_{n}^{\prime}$ for all $n \in \mathbb{N}$, and both $\left(s_{n}\right)$ and $\left(s_{n}^{\prime}\right)$ are monotonically increasing.

Suppose $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ converges, that is, $\left(s_{n}^{\prime}\right)$ converges. Then, $\left(s_{n}^{\prime}\right)$ is bounded. Hence, by the relation $0 \leq s_{n} \leq s_{n}^{\prime}$ for all $n \in \mathbb{N},\left(s_{n}\right)$ is bounded as well as monotonically increasing. Therefore, by Theorem $1.1 .9,\left(s_{n}\right)$ converges.
The following corollary is immediate from the above theorem.

Corollary 1.2.7 (Comparison test) Let $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ for all $n \in \mathbb{N}$. Then
$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { diverges } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \text { diverges. }
$$
Corollary 1.2.8 Suppose $\left(a_{n}\right)$ and $\left(b_{n}\right)$ are sequences of positive terms.
(i) Suppose $\ell:=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{a{n}}{b_{n}}$ exists.
(a) If $\ell>0$, then $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ converges $\Longleftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ converges.
(b) If $\ell=0$, then $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ converges $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ converges.
(ii) Suppose $\lim {n \rightarrow \infty} \frac{a{n}}{b_{n}}=\infty$. Then $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ converges $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ converges.
Proof (i) Assume that $\ell:=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{a{n}}{b_{n}}$ exists, i.e., $0 \leq \ell<\infty$. (a) Suppose $\ell>0$. Then for any $0<\varepsilon<\ell$ there exists $n \in \mathbb{N}$ such that $$ 0 \leq \ell-\varepsilon<\frac{a_{n}}{b_{n}}<\ell+\varepsilon \quad \forall n \geq N . $$ Thus, $(\ell-\varepsilon) b_{n}0$ be given. Then, there exists $n \in \mathbb{N}$ such that $-\varepsilon<\frac{a_{n}}{b_{n}}<\varepsilon$ for all $n \geq N$. In particular,
$$
a_{n}<\varepsilon b_{n} \quad \forall n \geq N .
$$
Again, by comparison test (Theorem 1.2.6), convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ implies the convergence of $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$.
(ii) Assume that $\frac{a_{s}}{b_{n}} \rightarrow \infty$. Then there exists $N \in \mathbb{N}$ such that $\frac{a_{s}}{b_{n}} \geq 1$ for all $n \geq N$, i.e.,
$$
b_{n} \leq a_{n} \quad \forall n \geq N .
$$
Hence, comparison test can be applied in this case as well to obtain the required result.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Alternating Series

In the last subsection we have described some tests for asserting the convergence or divergence of series of non-negative terms. In this subsection we provide a sufficient condition for convergence of series with alternatively positive and negative terms.

Definition 1.2.3 A series of the form $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_{n}$, where $\left(u_{n}\right)$ is a sequence of positive terms, is called an alternating series.
We have seen in Example 1.2.7 that the alternating series
$$
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\cdots
$$
is convergent. Note that the series
$$
1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{4 n-3}+\frac{1}{4 n-2}-\frac{1}{4 n-1}-\frac{1}{4 n}+\cdots
$$
is not an alternating series. As you can see, in the latter case, though the series in not an alternating series, it is of the form
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{n+1} u_{n}+(-1)^{n+1} v_{n}\right]
$$
with
$$
u_{n}=\frac{1}{2 n-1}, \quad v_{n}=\frac{1}{2 n}
$$
We know from the results in Example 1.2.8 that the alternating series $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_{n}$ and $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} v_{n}$ are convergent. Hence, we can assert the convergence of the original series $\sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{n+1} u_{n}+(-1)^{n+1} v_{n}\right]$.

The next theorem, due to Leibnitz, ${ }^{5}$ provides such a sufficient condition for the convergence of alternating series.

Theorem 1.2.13 (Leibnitz’s theorem) Suppose ( $\left.u_{n}\right)$ is a sequence of positive terms such that $u_{n} \geq u_{n+1}$ for all $n \in \mathbb{N}$ and $u_{n} \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$. Then the alternating series $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_{n}$ converges, and in that case,
$$
\left|s-s_{n}\right| \leq u_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N}
$$
where
$$
s_{n}=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j+1} u_{j} \quad \text { and } \quad s=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_{n}
$$
Proof We observe that
$$
s_{2 n+1}=s_{2 n}+u_{2 n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N}
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写|Madhava-Nilakantha Series

The convergence of the series
$$
1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2 n+1}+\cdots
$$
which is generally known as Leibnitz-Gregory series, was known to Indian mathematicians as early as in 15 -th century, and the value of the above series was proved to be $\frac{\pi}{4}$. The above series appeared in the work of a Kerala mathematician Madhava around 1425 that was presented later in the year around 1550 by another Kerala mathematician Nilakantha (cf. [7]). The discovery of the above series is normally attributed to Leibnitz and James Gregory after nearly 300 years of its discovery. Respecting the chronology of its discovery, we shall refer this series as MadhavaNilakantha series.

Let us give a simple proof for the equality
$$
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{2 n-1}+\cdots
$$
using some elementary rules of integration that one studies in school, which we shall study in detail in Chap. 6 .
We know that $(1-r)\left(1+r++\cdots+r^{n}\right)=\left(1-r^{n+1}\right)$ so that for $r \neq 1$,
$$
\frac{1}{1-r}=1+r+\cdots+r^{n}+\frac{r^{n+1}}{1-r}
$$
Now, taking $r=-x^{2}$ we have
$$
\frac{1}{1+x^{2}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots+(-1)^{n} x^{2 n}+(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n+2}}{1+x^{2}} .
$$
On integration
$$
\int \frac{d x}{1+x^{2}}=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+\int \frac{(-1)^{n+1} x^{2 n+2}}{1+x^{2}} d x
$$
Now, recalling
$$
\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4},
$$
we have
$$
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^{n} \frac{1}{2 n+1}+\int_{0}^{1} \frac{(-1)^{n+1} x^{2 n+1}}{1+x^{2}} d x
$$
Now, observe that
$$
\left|\int_{0}^{1}(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n+2}}{1+x^{2}} d x\right| \leq \int_{0}^{1} \frac{x^{2 n+2}}{1+x^{2}} d x \leq \int_{0}^{1} x^{2 n+2} d x=\frac{1}{2 n+3}
$$
Thus,
$$
\left|\frac{\pi}{4}-\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^{n} \frac{1}{2 n+1}\right)\right| \leq \frac{1}{2 n+3} \rightarrow 0
$$
Thus, we have proved that $$
\frac{\pi}{4}=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}
$$
Using the procedure used above and the fact that $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x}=\log 2$, we see that
$$
\log 2=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}
$$
Exercise 1.2.6 Derive the above series representation for $\log 2$.
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微积分代考

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定理 1.2.6(比较检验)让0≤一个n≤bn对所有人n∈ñ. 然后

∑n=1∞bn 收敛 ⇒∑n=1∞一个n 收敛 
证明假设sn和sn′是nth 系列的部分和∑n=1∞一个n和∑n=1∞bn, 分别。根据假设,我们有0≤sn≤sn′对所有人n∈ñ, 并且两者(sn)和(sn′)是单调递增的。

认为∑n=1∞bn收敛,即(sn′)收敛。然后,(sn′)是有界的。因此,由关系0≤sn≤sn′对所有人n∈ñ,(sn)是有界的,也是单调递增的。因此,由定理1.1.9,(sn)收敛。
以下推论是上述定理的直接推论。

推论 1.2.7(比较测试)让0≤一个n≤bn对所有人n∈ñ. 然后

∑n=1∞一个n 分歧 ⇒∑n=1∞bn 分歧。 
推论 1.2.8 假设(一个n)和(bn)是正项的序列。
(我想ℓ:=林n→∞一个nbn存在。
(a) 如果ℓ>0, 然后∑n=1∞bn收敛⟺∑n=1∞一个n收敛。
(b) 如果ℓ=0, 然后∑n=1∞bn收敛⇒∑n=1∞一个n收敛。
(ii) 假设林n→∞一个nbn=∞. 然后∑n=1∞一个n收敛⇒∑n=1∞bn收敛。
证明 (i) 假设ℓ:=林n→∞一个nbn存在,即,0≤ℓ<∞. (a) 假设ℓ>0. 那么对于任何0<e<ℓ那里存在n∈ñ这样

0≤ℓ−e<一个nbn<ℓ+e∀n≥ñ.因此,(ℓ−e)bn0被给予。那么,存在n∈ñ这样−e<一个nbn<e对所有人n≥ñ. 尤其是,

一个n<ebn∀n≥ñ.
同样,通过比较测试(定理 1.2.6),收敛∑n=1∞bn意味着收敛∑n=1∞一个n.
(ii) 假设一个sbn→∞. 那么存在ñ∈ñ这样一个sbn≥1对所有人n≥ñ, IE,

bn≤一个n∀n≥ñ.
因此,在这种情况下也可以应用比较测试以获得所需的结果。

数学代写|微积分代写Calculus代写|Alternating Series

在上一小节中,我们描述了一些用于断言一系列非负项的收敛或发散的测试。在本小节中,我们为具有交替正项和负项的级数收敛提供了充分条件。

定义 1.2.3 一系列形式∑n=1∞(−1)n+1在n, 在哪里(在n)是正项的序列,称为交替序列。
我们已经在示例 1.2.7 中看到,交替序列

1−12+13−14+15+⋯+(−1)n+1n+⋯
是收敛的。请注意,该系列

1+12−13−14+⋯+14n−3+14n−2−14n−1−14n+⋯
不是交替序列。如您所见,在后一种情况下,虽然该系列不是交替系列,但它的形式是

∑n=1∞[(−1)n+1在n+(−1)n+1在n]

在n=12n−1,在n=12n
从示例 1.2.8 的结果我们知道,交替序列∑n=1∞(−1)n+1在n和∑n=1∞(−1)n+1在n是收敛的。因此,我们可以断言原始序列的收敛性∑n=1∞[(−1)n+1在n+(−1)n+1在n].

下一个定理,由于莱布尼茨,5为交替级数的收敛提供了这样一个充分条件。

定理 1.2.13(莱布尼茨定理)假设 (在n)是一系列正项,使得在n≥在n+1对所有人n∈ñ和在n→0作为n→∞. 然后交替系列∑n=1∞(−1)n+1在n收敛,在这种情况下,

|s−sn|≤在n+1∀n∈ñ
在哪里

sn=∑j=1n(−1)j+1在j 和 s=∑n=1∞(−1)n+1在n
证明 我们观察到

s2n+1=s2n+在2n+1∀n∈ñ

数学代写|微积分代写Calculus代写|Madhava-Nilakantha Series

系列的收敛

1−13+15−17+⋯+(−1)n2n+1+⋯
一般称为莱布尼茨-格雷戈里级数,早在 15 世纪就为印度数学家所知,证明上述级数的值为圆周率4. 上述系列出现在 1425 年左右的喀拉拉邦数学家 Madhava 的作品中,该作品于 1550 年左右由另一位喀拉拉邦数学家 Nilakantha 于当年晚些时候提出(参见 [7])。上述系列的发现通常归功于莱布尼茨和詹姆斯格雷戈里在其发现近 300 年后。尊重其发现的年表,我们将把这个系列称为 MadhavaNilakantha 系列。

让我们给出一个简单的等式证明

圆周率4=1−13+15−17+⋯+(−1)n+12n−1+⋯
使用一些在学校学习的基本积分规则,我们将在第 1 章详细研究。6.
我们知道(1−r)(1+r++⋯+rn)=(1−rn+1)所以对于r≠1,

11−r=1+r+⋯+rn+rn+11−r
现在,采取r=−X2我们有

11+X2=1−X2+X4−X6+⋯+(−1)nX2n+(−1)n+1X2n+21+X2.
关于整合

∫dX1+X2=X−X33+X55−X77+⋯+(−1)nX2n+12n+1+∫(−1)n+1X2n+21+X2dX
现在回想起来

∫01dX1+X2=棕褐色−1⁡(1)=圆周率4,
我们有

圆周率4=1−13+15−17+⋯+(−1)n12n+1+∫01(−1)n+1X2n+11+X2dX
现在,观察

|∫01(−1)n+1X2n+21+X2dX|≤∫01X2n+21+X2dX≤∫01X2n+2dX=12n+3
因此,

|圆周率4−(1−13+15−17+⋯+(−1)n12n+1)|≤12n+3→0
因此,我们证明了

圆周率4=1+∑n=1∞(−1)n2n+1
使用上面使用的过程和事实∫01dX1+X=日志⁡2, 我们看到

日志⁡2=∑n=1∞(−1)n+1n
练习 1.2.6 推导上述序列表示日志⁡2.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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