数学代写|拓扑学代写Topology代考|Adjoint Analysis of Topology Optimization Problem

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拓扑学是数学的一个分支,有时被称为 “橡胶板几何”,在这个分支中,如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此,同时不允许撕开或粘在一起的部分,则被认为是等效的。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Adjoint Analysis of Topology Optimization Problem

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Three-Dimensional Optical Waves

Based on the Lagrangian multiplier-based adjoint method, the augmented Lagrangian for the topology optimization problem in Eq. $2.22$ can be derived as
$$
\begin{aligned}
j=& \int_{\Omega} A\left(\mathbf{E}{s}^{R}, \mathbf{E}{s}^{l}, \nabla_{\mathbf{x}} \times \mathbf{E}{s}^{R}, \nabla{\mathbf{x}} \times \mathbf{E}{s}^{l}, \gamma{p} ; \gamma\right)+\mu_{r}^{-1}\left[\nabla \times\left(\mathbf{E}{s}^{R}+\mathbf{E}{i}^{R}\right)\right] \cdot\left(\nabla \times \hat{\mathbf{E}}{s}^{R}\right) \ &-k{0}^{2}\left[\varepsilon_{r}^{R}\left(\mathbf{E}{s}^{R}+\mathbf{E}{i}^{R}\right)-\varepsilon_{r}^{l}\left(\mathbf{E}{s}^{l}+\mathbf{E}{i}^{l}\right)\right] \cdot \hat{\mathbf{E}}{s}^{R}+\mu{r}^{-1}\left[\nabla \times\left(\mathbf{E}{s}^{l}+\mathbf{E}{i}^{l}\right)\right] \cdot\left(\nabla \times \hat{\mathbf{E}}{s}^{l}\right) \ &-k{0}^{2}\left[\varepsilon_{r}^{l}\left(\mathbf{E}{s}^{R}+\mathbf{E}{i}^{R}\right)+\varepsilon_{r}^{R}\left(\mathbf{E}{s}^{l}+\mathbf{E}{i}^{l}\right)\right] \cdot \hat{\mathbf{E}}{s}^{l} \mathrm{~d} \Omega+\int{\Omega{ }{p}} \mu{r}^{-1}\left(\mathbf{T} \nabla \times \mathbf{E}{s}^{R}\right) \ & \cdot\left(\mathbf{T} \nabla \times \hat{\mathbf{E}}{s}^{R}\right)|\mathbf{T}|^{-1}-k_{0}^{2}\left(\varepsilon_{r}^{R} \mathbf{E}{s}^{R}-\varepsilon{r}^{l} \mathbf{E}{s}^{l}\right) \cdot \hat{\mathbf{E}}{s}^{R}|\mathbf{T}|+\mu_{r}^{-1}\left(\mathbf{T} \nabla \times \mathbf{E}{s}^{l}\right) \ & \cdot\left(\mathbf{T} \nabla \times \hat{\mathbf{E}}{s}^{l}\right)|\mathbf{T}|^{-1}-k_{0}^{2}\left(\varepsilon_{r}^{l} \mathbf{E}{s}^{R}+\varepsilon{r}^{R} \mathbf{E}{s}^{l}\right) \cdot \hat{\mathbf{E}}{s}^{l}|\mathbf{T}| \mathrm{d} \Omega \
&+\int_{\Omega_{d}} r^{2} \nabla_{\gamma f} \cdot \nabla \hat{\gamma}{f}+\gamma{f} \hat{\gamma}{f}-\gamma \hat{\gamma}{f} \mathrm{~d} \Omega
\end{aligned}
$$
where $\hat{\mathbf{E}}{s}^{R} \in \mathscr{V}{\mathbf{E}}$ with $\mathbf{n} \times \hat{\mathbf{E}}{s}^{R}=\mathbf{0}$ on $\Gamma{D}, \hat{\mathbf{E}}{s}^{I} \in \mathscr{V}{\mathbf{E}}$ with $\mathbf{n} \times \hat{\mathbf{E}}{s}^{I}=\mathbf{0}$ on $\Gamma{D}$, and $\hat{\gamma}{f} \in \mathscr{H}\left(\Omega{d}\right)$ are the adjoint variables of $\mathbf{E}{s}^{R} \in \mathscr{V}{\mathbf{E}}, \mathbf{E}{s}^{I} \in \mathscr{V}{\mathbf{E}}$, and $\gamma_{f} \in \mathscr{H}\left(\Omega_{d}\right)$ respectively; $\mathscr{V}{\mathbf{E}}$ is defined as the functional space $$ \left{\mathbf{u} \in \mathscr{H}\left(\operatorname{curl} ; \Omega \cup \Omega{P}\right) \mid \nabla \cdot \mathbf{u}=0 \text { in } \Omega \cup \Omega_{P}\right}
$$
with
$$
\mathscr{H}\left(\operatorname{curl} ; \Omega \cup \Omega_{P}\right)=\left{\mathbf{u} \in\left(\mathscr{L}^{2}\left(\Omega \cup \Omega_{P}\right)\right)^{3} \mid \nabla \times \mathbf{u} \in\left(\mathscr{L}^{2}\left(\Omega \cup \Omega_{P}\right)\right)^{3}\right}
$$
$\mathscr{L}^{2}\left(\Omega \cup \Omega_{P}\right)$ represents the second-order Lebesque space for the real functions defined on $\Omega \cup \Omega_{P}$.

The first-order variational of the augmented Lagrangian to the field variables and design variable is
$$
\begin{aligned}
\delta \hat{J}=& \int_{\Omega} \frac{\partial A}{\partial \mathbf{E}{s}^{R}} \cdot \delta \mathbf{E}{s}^{R}+\frac{\partial A}{\partial \mathbf{E}{s}^{l}} \cdot \delta \mathbf{E}{s}^{l}+\frac{\partial A}{\partial \nabla \times \mathbf{E}{s}^{R}} \cdot\left(\nabla \times \delta \mathbf{E}{s}^{R}\right)+\frac{\partial A}{\partial \nabla \times \mathbf{E}{s}^{l}} \ &\left(\nabla \times \delta \mathbf{E}{s}^{I}\right) \mathrm{d} \Omega+\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{V_{n}} \int_{P_{n}} \frac{\partial A}{\partial \gamma_{p}} \frac{\partial \gamma_{p}}{\partial \gamma_{e}} \delta \gamma_{f} \mathrm{~d} \Omega+\int_{\Omega_{d}} \frac{\partial A}{\partial \gamma} \delta \gamma \mathrm{d} \Omega \
&+\int_{\Omega} \mu_{r}^{-1}\left(\nabla \times \delta \mathbf{E}{s}^{R}\right) \cdot\left(\nabla \times \hat{\mathbf{E}}{s}^{R}\right)-k_{0}^{2}\left(\varepsilon_{r}^{R} \delta \mathbf{E}{s}^{R}-\varepsilon{r}^{l} \delta \mathbf{E}{s}^{l}\right) \cdot \hat{\mathbf{E}}{s}^{R} \mathrm{~d} \Omega
\end{aligned}
$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Magnetic Field Formulation

Maxwell’s equations are widely used to describe the propagation optical waves. Under the time-harmonic assumption, the following magnetic field wave equation can be derived by setting the time-dependent factor to be $e^{\text {jot }}$ :
$$
\left{\begin{array}{l}
\nabla \times\left[\varepsilon_{r}^{-1} \nabla \times\left(\mathbf{H}{s}+\mathbf{H}{i}\right)\right]-k_{0}^{2} \mu_{r}\left(\mathbf{H}{s}+\mathbf{H}{i}\right)=\mathbf{0}, \text { in } \Omega \
\nabla \cdot \mathbf{H}{s}=0, \text { in } \Omega \end{array}\right. $$ where the scattering field formulation is used with the magnetic field $\mathbf{H}$ split into two parts, i.e., the incident wave $\mathbf{H}{i}$ and scattering field $\mathbf{H}{s}$; the second equation is the divergence-free condition of the scattering field; the incident wave is the wave propagating in free space, and it satisfies the divergence-free condition $\nabla \cdot \mathbf{H}{i}=0 ; \varepsilon_{r}$ and $\mu_{r}$ are respectively the relative permittivity and permeability of the propagation medium; $\omega$ is the angular frequency; $t$ is the time; $j=\sqrt{-1}$ is the imaginary unit; $k_{0}=\omega \sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}$ is the free space wave number, with $\varepsilon_{0}$ and $\mu_{0}$ respectively representing the free space permittivity and permeability; $\Omega \subset \mathbb{R}^{3}$ is the computational domain. To truncate the wave field towards infinite space and investigate the field in a given space without artefacts, boundary conditions need to be imposed on the border $\partial \Omega \subset \mathbb{R}^{2}$ of the computational domain $\Omega$.

The boundary conditions for Eq.3.1 usually include a first-order adsorbing condition, as well as perfect magnetic and electric conditions. The first-order absorbing condition can be used to truncate the field distribution at infinity [28]
$$
\mathbf{n} \times\left(\varepsilon_{r}^{-1} \nabla \times \mathbf{H}{s}\right)-j k{0} \sqrt{\varepsilon_{r}^{-1} \mu_{r}} \mathbf{n} \times\left(\mathbf{H}{s} \times \mathbf{n}\right)=\mathbf{0}, \text { on } \Gamma{a}
$$
where $\mathbf{n}$ is the unit outward normal vector at the trace $\partial \Omega ; \Gamma_{a} \subset \partial \Omega$ is the absorbing boundary. The perfect magnetic and electric conditions are used to describe the truncation of the field at perfect magnetic and electric conductors, where the tangential continuity of the field is ensured
$$
\left{\begin{array}{l}
\mathbf{n} \times\left(\mathbf{H}{s}+\mathbf{H}{i}\right)=\mathbf{0}, \text { on } \Gamma_{P M C} \
\mathbf{n} \times\left[\varepsilon_{r}^{-1} \nabla \times\left(\mathbf{H}{s}+\mathbf{H}{i}\right)\right]=\mathbf{0}, \text { on } \Gamma_{P E C}
\end{array}\right.
$$ where $\Gamma_{P M C}$ and $\Gamma_{P E C}$ are the perfect magnetic and electric boundaries respectively. The perfect magnetic boundary condition can also be used to express the symmetry of the field.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Adjoint Analysis for Magnetic Field-Based Topology

The variational problem in Eq. $3.7$ is analyzed to derive the gradient information used to evolve the design variable. It has been clarified that the adjoint method is an efficient approach with which to derive the gradient expressions of a PDE constrained optimization problem [22]. Being different from the conventional case, the functional space for the wave equation in Eq. $3.1$ needs to be chosen to satisfy the divergence-free condition [37]
$$
\mathscr{V}{\mathbf{H}} \doteq\left{\mathbf{u} \in \mathscr{H}\left(\text { curl; } \Omega \text { ) } \mid \nabla \cdot \mathbf{u}=0, \text { in } \Omega ; \mathbf{n} \times \mathbf{u}=\mathbf{0}, \text { on } \Gamma{P M C}\right}\right.
$$
where
$$
\mathscr{H}(\text { curl; } \Omega)=\left{\mathbf{u} \in\left(L^{2}(\Omega)\right)^{3} \mid \nabla \times \mathbf{u} \in\left(L^{2}(\Omega)\right)^{3}\right}
$$
and $L^{2}(\Omega)$ is the second-order Lebesgue integrable functional space. Then, according to the Kurash-Kuhn-Tucker condition of the PDE-constrained optimization problem [22], the adjoint equations of the wave equation and PDE filter can be obtained as
Find $\mathbf{H}{s a} \in \mathcal{V}{\mathbf{H}}$ such that
$$
\begin{aligned}
&\int_{\Omega} \frac{\partial A}{\partial \mathbf{H}{s}} \cdot \phi+\frac{\partial A}{\partial \nabla \times \mathbf{H}{s}} \cdot(\nabla \times \phi)+\varepsilon_{r}^{-1}\left(\nabla \times \overline{\mathbf{H}}{s a}\right) \cdot(\nabla \times \phi)-k{0}^{2} \mu_{r} \overline{\mathbf{H}}{s a} \cdot \boldsymbol{\phi} \mathrm{d} \Omega \ &+\int{\Gamma_{a}} j k_{0} \sqrt{\varepsilon_{r}^{-1} \mu_{r}}\left(\mathbf{n} \times \overline{\mathbf{H}}{s a} \times \mathbf{n}\right) \cdot(\mathbf{n} \times \boldsymbol{\phi} \times \mathbf{n})+\frac{\partial B}{\partial \mathbf{H}{s}} \cdot \phi \mathrm{d} \Gamma \
&+\int_{\Gamma_{P E c}} \frac{\partial B}{\partial \mathbf{H}{s}} \cdot \phi \mathrm{d} \Gamma=0, \forall \phi \in \mathscr{V}{\mathbf{H}}
\end{aligned}
$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Adjoint Analysis of Topology Optimization Problem

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Three-Dimensional Optical Waves

基于拉格朗日乘子的伴随方法,增广拉格朗日用于等式中的拓扑优化问题。2.22可以导出为

j=∫Ω一个(和sR,和sl,∇X×和sR,∇X×和sl,Cp;C)+μr−1[∇×(和sR+和一世R)]⋅(∇×和^sR) −ķ02[erR(和sR+和一世R)−erl(和sl+和一世l)]⋅和^sR+μr−1[∇×(和sl+和一世l)]⋅(∇×和^sl) −ķ02[erl(和sR+和一世R)+erR(和sl+和一世l)]⋅和^sl dΩ+∫Ωpμr−1(吨∇×和sR) ⋅(吨∇×和^sR)|吨|−1−ķ02(erR和sR−erl和sl)⋅和^sR|吨|+μr−1(吨∇×和sl) ⋅(吨∇×和^sl)|吨|−1−ķ02(erl和sR+erR和sl)⋅和^sl|吨|dΩ +∫Ωdr2∇CF⋅∇C^F+CFC^F−CC^F dΩ
在哪里和^sR∈在和和n×和^sR=0上ΓD,和^s我∈在和和n×和^s我=0上ΓD, 和C^F∈H(Ωd)是伴随变量和sR∈在和,和s我∈在和, 和CF∈H(Ωd)分别;在和被定义为功能空间

\left{\mathbf{u}\in\mathscr{H}\left(\operatorname{curl};\Omega\cup\Omega{P}\right)\mid\nabla\cdot\mathbf{u}=0\文本 { in } \Omega\cup\Omega_{P}\right}\left{\mathbf{u}\in\mathscr{H}\left(\operatorname{curl};\Omega\cup\Omega{P}\right)\mid\nabla\cdot\mathbf{u}=0\文本 { in } \Omega\cup\Omega_{P}\right}

\mathscr{H}\left(\operatorname{curl} ; \Omega \cup \Omega_{P}\right)=\left{\mathbf{u} \in\left(\mathscr{L}^{2}\左(\Omega \cup \Omega_{P}\right)\right)^{3} \mid \nabla \times \mathbf{u} \in\left(\mathscr{L}^{2}\left(\欧米茄 \cup \Omega_{P}\right)\right)^{3}\right}\mathscr{H}\left(\operatorname{curl} ; \Omega \cup \Omega_{P}\right)=\left{\mathbf{u} \in\left(\mathscr{L}^{2}\左(\Omega \cup \Omega_{P}\right)\right)^{3} \mid \nabla \times \mathbf{u} \in\left(\mathscr{L}^{2}\left(\欧米茄 \cup \Omega_{P}\right)\right)^{3}\right}
大号2(Ω∪Ω磷)表示定义的实函数的二阶 Lebesque 空间Ω∪Ω磷.

增广拉格朗日对场变量和设计变量的一阶变分是

dĴ^=∫Ω∂一个∂和sR⋅d和sR+∂一个∂和sl⋅d和sl+∂一个∂∇×和sR⋅(∇×d和sR)+∂一个∂∇×和sl (∇×d和s我)dΩ+∑n=1ñ1在n∫磷n∂一个∂Cp∂Cp∂C和dCF dΩ+∫Ωd∂一个∂CdCdΩ +∫Ωμr−1(∇×d和sR)⋅(∇×和^sR)−ķ02(erRd和sR−erld和sl)⋅和^sR dΩ

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Magnetic Field Formulation

麦克斯韦方程广泛用于描述传播光波。在时谐假设下,通过设置时变因子为和记事本 :
$$
\左{

∇×[er−1∇×(Hs+H一世)]−ķ02μr(Hs+H一世)=0, 在 Ω ∇⋅Hs=0, 在 Ω\正确的。$$ 其中散射场公式与磁场一起使用H分为两部分,即入射波H一世和散射场Hs; 第二个方程是散射场的无散度条件;入射波是在自由空间中传播的波,它满足无散度条件∇⋅H一世=0;er和μr分别是传播介质的相对介电常数和磁导率;ω是角频率;吨是时间;j=−1是虚数单位;ķ0=ωe0μ0是自由空间波数,其中e0和μ0分别代表自由空间介电常数和磁导率;Ω⊂R3是计算域。为了将波场向无限空间截断并研究给定空间中没有伪影的场,需要在边界上施加边界条件∂Ω⊂R2计算域的Ω.

Eq.3.1 的边界条件通常包括一阶吸附条件,以及完美的磁电条件。一阶吸收条件可用于截断无穷远处的场分布 [28]

n×(er−1∇×Hs)−jķ0er−1μrn×(Hs×n)=0, 上 Γ一个
在哪里n是迹线处的单位外向法向量∂Ω;Γ一个⊂∂Ω是吸收边界。完美磁电条件用于描述在完美磁导体和电导体处的场截断,其中场的切向连续性得到保证
$$
\left{

n×(Hs+H一世)=0, 上 Γ磷米C n×[er−1∇×(Hs+H一世)]=0, 上 Γ磷和C\正确的。
$$ 在哪里Γ磷米C和Γ磷和C分别是完美的磁边界和电边界。完美的磁边界条件也可以用来表示场的对称性。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Adjoint Analysis for Magnetic Field-Based Topology

方程式中的变分问题。3.7进行分析以得出用于演化设计变量的梯度信息。已经阐明,伴随方法是一种有效的方法,用于推导 PDE 约束优化问题的梯度表达式 [22]。与传统情况不同,方程中波动方程的函数空间。3.1需要选择以满足无散度条件[37]

\mathscr{V}{\mathbf{H}} \doteq\left{\mathbf{u} \in \mathscr{H}\left(\text { curl; } \Omega \text { ) } \mid \nabla\ cdot \mathbf{u}=0, \text{in}\Omega; \mathbf{n} \times \mathbf{u}=\mathbf{0}, \text {on} \Gamma{PMC}\right}\right。\mathscr{V}{\mathbf{H}} \doteq\left{\mathbf{u} \in \mathscr{H}\left(\text { curl; } \Omega \text { ) } \mid \nabla\ cdot \mathbf{u}=0, \text{in}\Omega; \mathbf{n} \times \mathbf{u}=\mathbf{0}, \text {on} \Gamma{PMC}\right}\right。
在哪里

\mathscr{H}(\text{curl;}\Omega)=\left{\mathbf{u}\in\left(L^{2}(\Omega)\right)^{3}\mid\nabla\次 \mathbf{u}\in\left(L^{2}(\Omega)\right)^{3}\right}\mathscr{H}(\text{curl;}\Omega)=\left{\mathbf{u}\in\left(L^{2}(\Omega)\right)^{3}\mid\nabla\次 \mathbf{u}\in\left(L^{2}(\Omega)\right)^{3}\right}
和大号2(Ω)是二阶勒贝格可积函数空间。然后,根据 PDE 约束优化问题 [22] 的 Kurash-Kuhn-Tucker 条件,可以得到波动方程和 PDE 滤波器的伴随方程为
FindHs一个∈在H这样

∫Ω∂一个∂Hs⋅φ+∂一个∂∇×Hs⋅(∇×φ)+er−1(∇×H¯s一个)⋅(∇×φ)−ķ02μrH¯s一个⋅φdΩ +∫Γ一个jķ0er−1μr(n×H¯s一个×n)⋅(n×φ×n)+∂乙∂Hs⋅φdΓ +∫Γ磷和C∂乙∂Hs⋅φdΓ=0,∀φ∈在H

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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