数学代写|拓扑学代写Topology代考|MATH3061

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拓扑学是数学的一个分支,有时被称为 “橡胶板几何”,在这个分支中,如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此,同时不允许撕开或粘在一起的部分,则被认为是等效的。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|MATH3061

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological Space

The basic object in a topological space is a ground set whose elements are called points. A topology on these points specifies how they are connected by listing what points constitute a neighborhood – the so-called open set.

The expression “rubber-sheet topology” commonly associated with the term “topology” exemplifies this idea of connectivity of neighborhoods. If we bend and stretch a sheet of rubber, it changes shape but always preserves the neighborhoods in terms of the points and how they are connected.

We first introduce basic notions from point set topology. These notions are prerequisites for more sophisticated topological ideas – manifolds, homeomorphism, isotopy, and other maps – used later to study algorithms for topological data analysis. Homeomorphisms, for example, offer a rigorous way to state that an operation preserves the topology of a domain, and isotopy offers a rigorous way to state that the domain can be deformed into a shape without ever colliding with itself.

Perhaps it is more intuitive to understand the concept of topology in the presence of a metric because then we can use the metric balls such as Euclidean balls in a Euclidean space to define neighborhoods – the open sets. Topological spaces provide a way to abstract out this idea without a metric or point coordinates, so they are more general than metric spaces. In place of a metric, we encode the connectivity of a point set by supplying a list of all of the open sets. This list is called a system of subsets of the point set. The point set and its system together describe a topological space.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Metric Space Topology

Metric spaces are a special type of topological space commonly encountered in practice. Such a space admits a metric that specifies the scalar distance between every pair of points satisfying certain axioms.

Definition 1.8. (Metric space) A metric space is a pair ( $\mathbb{d}, \mathrm{d}$ ) where $\mathbb{T}$ is a set and $d$ is a distance function $d: \mathbb{I} \times \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying the following properties:

  • $\mathrm{d}(p, q)=0$ if and only if $p=q$ for all $p \in \mathbb{T}$;
  • $\mathrm{d}(p, q)=\mathrm{d}(q, p)$ for all $p, q \in \mathbb{T}$;
  • $\mathrm{d}(p, q) \leq \mathrm{d}(p, r)+\mathrm{d}(r, q)$ for all $p, q, r \in \mathbb{T}$.
    It can be shown that the three axioms above imply that $\mathrm{d}(p, q) \geq 0$ for every pair $p, q \in \mathbb{T}$. In a metric space $\mathbb{T}$, an open metric ball with center $c$ and radius $r$ is defined to be the point set $B_{0}(c, r)={p \in \mathbb{T}: \mathrm{d}(p, c)<r}$. Metric balls definé a topology on a metric spacé.

Definition 1.9. (Metric space topology) Given a metric space $\mathbb{T}$, all metric balls $\left{B_{o}(c, r) \mid c \in \mathbb{T}\right.$ and $\left.0<r \leq \infty\right}$ and their union constituting the open sets define a topology on $\mathbb{T}$.

All definitions for general topological spaces apply to metric spaces with the above defined topology. However, we give alternative definitions using the concept of limit points which may be more intuitive.

As we have mentioned already, the heart of topology is the question of what it means for a set of points to be connected. After all, two distinct points cannot be adjacent to each other; they can only be connected to one another by passing through uncountably many intermediate points. The idea of limit points helps express this concept more concretely, specifically in the case of metric spaces.
We use the notation $\mathrm{d}(\cdot, \cdot)$ to express minimum distances between point sets $P, Q \subseteq \mathbb{T}$
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d}(p, Q) &=\inf {\mathrm{d}(p, q): q \in Q} \
\mathrm{d}(P, Q) &=\inf {\mathrm{d}(p, q): p \in P, q \in Q}
\end{aligned}
$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Maps, Homeomorphisms, and Homotopies

The equivalence of two topological spaces is determined by how the points that comprise them are connected. For example, the surface of a cube can be deformed into a sphere without cutting or gluing it because they are connected the same way. They have the same topology. This notion of topological equivalence can be formalized via functions that send the points of one space to points of the other while preserving the connectivity.

This preservation of connectivity is achieved by preserving the open sets. A function from one space to another that preserves the open sets is called a continuous function or a map. Continuity is a vehicle to define topological equivalence, because a continuous function can send many points to a single point in the target space, or send no points to a given point in the target space. If the former does not happen, that is, when the function is injective, we call it an embedding of the domain into the target space. True equivalence is given by a homeomorphism, a bijective function from one space to another which has continuity as well as a continuous inverse. This ensures that open sets are preserved in both directions.

A topological space can be embedded into a Euclidean space by assigning coordinates to its points so that the assignment is continuous and injective. For example, drawing a triangle on paper is an embedding of $\mathbb{S}^{1}$ into $\mathbb{R}^{2}$. There are topological spaces that cannot be embedded into a Euclidean space, or even into a metric space – these spaces cannot be represented by any metric.

Next we define a homeomorphism that connects two spaces that have essentially the same topology.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|MATH3061

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological Space

拓扑空间中的基本对象是一个地面集,其元素称为点。这些点的拓扑通过列出构成邻域的点(即所谓的开放集)来指定它们如何连接。

通常与术语“拓扑”相关的“橡胶板拓扑”这一表达体现了邻里连通性的概念。如果我们弯曲和拉伸一块橡胶,它会改变形状,但始终会根据点及其连接方式保留邻域。

我们首先介绍点集拓扑的基本概念。这些概念是更复杂的拓扑思想的先决条件——流形、同胚、同位素和其他映射——后来用于研究拓扑数据分析的算法。例如,同胚提供了一种严格的方式来说明操作保留了域的拓扑,而同位素提供了一种严格的方式来说明域可以变形为某种形状而不会与自身发生碰撞。

也许在存在度量的情况下理解拓扑的概念更直观,因为这样我们就可以使用度量球(例如欧几里得空间中的欧几里得球)来定义邻域——开集。拓扑空间提供了一种在没有度量或点坐标的情况下抽象出这个想法的方法,因此它们比度量空间更通用。代替度量,我们通过提供所有开放集的列表来编码点集的连通性。该列表称为点集的子集系统。点集及其系统共同描述了一个拓扑空间。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Metric Space Topology

度量空间是实践中常见的一种特殊类型的拓扑空间。这样的空间允许一个度量,该度量指定满足某些公理的每对点
之间的标量距离。
定义 1.8。(度量空间) 度量空间是一对 (d, d) 在哪里 $\mathbb{T}$ 是一个集合并且 $d$ 是距离函数 $d: \mathbb{I} \times \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{R}$ 满足以下 性质:

  • $\mathrm{d}(p, q)=0$ 当且仅当 $p=q$ 对所有人 $p \in \mathbb{T}$;
  • $\mathrm{d}(p, q)=\mathrm{d}(q, p)$ 对所有人 $p, q \in \mathbb{T}$;
  • $\mathrm{d}(p, q) \leq \mathrm{d}(p, r)+\mathrm{d}(r, q)$ 对所有人 $p, q, r \in \mathbb{T}$.
    可以证明,上面的三个公理意味着 $\mathrm{d}(p, q) \geq 0$ 对于每一对 $p, q \in \mathbb{T}$. 在度量空间中 $\mathbb{T}$,一个带中心的开放公制 球 $c$ 和半径 $r$ 被定义为点集 $B_{0}(c, r)=p \in \mathbb{T}: \mathrm{d}(p, c)<r$. 度量球定义度量空间上的拓扑。
    定义 1.9。 (度量空间拓扑) 给定一个度量空间 $\mathbb{T}$ ,所有公制球
    $\mathrm{~ U l e f t { B _ { o } ( c , r )}$
    一般拓扑空间的所有定义都适用于具有上述定义的拓扑的度量空间。但是,我们使用可能更直观的极限点概念给出 了替代定义。
    正如我们已经提到的,拓扑的核心是连接一组点意味着什么的问题。毕竟,两个不同的点不能彼此相邻;它们只有 通过无数的中间点才能相互连接。极限点的概念有助于更具体地表达这个概念,特别是在度量空间的情况下。 我们使用符号 $\mathrm{d}(\cdot, \cdot)$ 表示点集之间的最小距离 $P, Q \subseteq \mathbb{T}$
    $$
    \mathrm{d}(p, Q)=\inf \mathrm{d}(p, q): q \in Q \mathrm{~d}(P, Q) \quad=\inf \mathrm{d}(p, q): p \in P, q \in Q
    $$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Maps, Homeomorphisms, and Homotopies

两个拓扑空间的等价性取决于组成它们的点的连接方式。例如,立方体的表面可以在不切割或粘合的情况下变形为球体,因为它们的连接方式相同。它们具有相同的拓扑。这种拓扑等价的概念可以通过将一个空间的点发送到另一个空间的点同时保持连通性的函数来形式化。

这种连通性的保持是通过保持开放集来实现的。从一个空间到另一个空间的保留开集的函数称为连续函数或映射。连续性是定义拓扑等价的工具,因为连续函数可以将许多点发送到目标空间中的单个点,或者不发送点到目标空间中的给定点。如果前者不发生,即当函数是单射的,我们称其为域嵌入到目标空间。真正的等价由同胚给出,这是一个从一个空间到另一个空间的双射函数,它具有连续性和连续逆。这确保了在两个方向上都保留了开集。

一个拓扑空间可以嵌入到一个欧几里得空间中,方法是为它的点分配坐标,这样分配是连续的和单射的。例如,在纸上画一个三角形就是嵌入小号1进入R2. 有些拓扑空间不能嵌入欧几里得空间,甚至不能嵌入度量空间——这些空间不能用任何度量来表示。

接下来我们定义一个连接两个具有基本相同拓扑的空间的同胚。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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