### 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|CIVL2060

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## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|The Peano’s Kernel Error Representation

In this subject, the aim is to obtain a constant coefficient of the Newton-Cotes error formula by providing a simpler and easier method. Suppose that we have $R(p)=0$ for each polynomial of $p \in \Pi_{n}$. That is, the quadrature rule is exact for all polynomials of at most degree $n$. In this case, for each function $f \in c^{n+1}[a, b]$, we have:
$$R(f)=\int_{a}^{b} f^{(n+1)}(t) K(t) d t$$
where
$$K(t):=\frac{1}{n !} R_{x}\left((x-t){+}^{n}\right),(x-t){+}^{n}:=\left{\begin{array}{cc} (x-t)^{n}, & x \geq t \ 0, & x<t \end{array}\right.$$
and $R_{x}\left((x-t){+}^{n}\right)$ indicates the error $(x-t){+}^{n}$. The function $K(t)$ is usually called operator kernel $R$ or Peano kernel.

If the sign of function $K(t)$ does not change on the integration interval, then we use the following equation to estimate the error:
$$R_{n}(f)=\left{\begin{array}{ll} \frac{R_{n}\left(x^{n+1}\right)}{(n+1) !} f^{(n+1)}(\xi), & \text { odd } n \ \frac{R_{n}\left(x^{n+2}\right)}{(n+2) !} f^{(n+2)}(\xi), & \text { even } n \end{array} \quad \xi \in[a, b]\right.$$

In this section, we describe a way to increase the accuracy of the quadrature. This method works recursively and estimates the integration methods with the accuracy $o\left(h^{n+1}\right)$ from the integration methods with the accuracy $o\left(h^{n}\right)$. This method operates similar to the divided difference interpolation or Neville’s methods, which move in the form of an equilateral triangle. This method is used for all integration rules that are as $\sum_{i} w_{i} f_{i}$ or a linear combination of function values at the integration interval points. One way to obtain such series is to introduce Euler-Macluarin expansion methods. All of the above topics are discussed in detail in [1]. In general, the following recursive relation can be written for the Romberg quadrature rule:
$$T_{m, k}=\frac{1}{4^{m}-1}\left(4^{m} T_{m-1, k+1}-T_{m-1, k}\right), \quad m=1,2, \ldots \quad k=0,1, \ldots$$
With repeated applications of the rule, it can be shown that
$$T_{m, k}=\sum_{l=0}^{m} c_{m, m-l} T_{0, k+l}$$
The process that was mentioned for approximation $I(f)$ is shown in Table 7.1.

## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|The Peano’s Kernel Error Representation

$$R(f)=\int_{a}^{b} f^{(n+1)}(t) K(t) d t$$

$\$ \$$K(t):=\left|f r a c{1}{n !} R_{-}{x} \backslash \operatorname{lft}((x t){+} \wedge{n} \backslash r i g h t),(x t){+} \wedge{n}:=\right| 左 {$$
$$正确的。 \ \$$

$\$ \$$R_{-}{n}(f)=l l e f t{ \frac{R_{n}\left(x^{n+1}\right)}{(n+1) !} f^{(n+1)}(\xi), \quad odd n \frac{R_{n}\left(x^{n+2}\right)}{(n+2) !} f^{(n+2)}(\xi), \quad even n Iquad \xi \in[a, b]\对。 \ \$$

Macluarin 展开方法。[1] 中详细讨论了上述所有主题。一般来说，对于 Romberg 求积规则，可以写出以下递归 关系:
$$T_{m, k}=\frac{1}{4^{m}-1}\left(4^{m} T_{m-1, k+1}-T_{m-1, k}\right), \quad m=1,2, \ldots \quad k=0,1, \ldots$$

$$T_{m, k}=\sum_{l=0}^{m} c_{m, m-l} T_{0, k+l}$$

## 有限元方法代写

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