数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考| Lipschitz Continuous Functions

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
Epistemology - Wikipedia
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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Lipschitz Continuous Functions

We now examine functions that map one metric space into another one. In particular, we discuss the concepts of continuity and Lipschitz continuity.
It is convenient to discuss these concepts in the context of metric spaces.
Definition 1.7 Let $\left(X, d_{1}\right)$ and $\left(Y, d_{2}\right)$ be two metric spaces. A function $f$ from $X$ into $Y$ is said to be continuous at the point $\mathrm{a} \in X$ if for each $\varepsilon>0$ there exists a $\delta>0$ such that:
d_{2}(f(x), f(a))<\varepsilon \text { whenever } d_{1}(x, a)<\delta

This is a generalisation of the concept of continuity in Section $1.2$ (Definition 1.1). We should note that this definition refers to the continuity of a function at a single point. Thus, a function can be continuous at some points and discontinuous at other points.
Definition $1.8$ A function $f$ from a metric space $\left(X, d_{1}\right)$ into a metric space $\left(Y, d_{2}\right)$ is said to be a uniformly continuous on a set $E \subset X$ if for each $\varepsilon>0$ there exists a $\delta>0$ such that:
d_{2}(f(x), f(y))<\varepsilon \text { whenever } x, y \in E \text { and } d_{1}(x, y)<\delta
If the function $f$ is uniformly continuous, then it is continuous, but the converse is not necessarily true. Uniform continuity holds for all points in the set $E$, whereas normal continuity is only defined at a single point.

Definition 1.9 Let $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ be a real-valued function and suppose that we can find two constants $M$ and $\alpha$ such that $|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|^{\alpha}, \forall x, y \in[a, b]$. Then we say that $f$ satisfies a Lipschitz condition of order $\alpha$, and we write $f \in \operatorname{Lip}(\alpha)$.
We take an example. Let $f(x)=x^{2}$ on the interval $[a, b]$.
&|f(x)-f(y)|=\left|x^{2}-y^{2}\right|=|(x+y)(x-y)| \leq(|x|+|y|)|x-y| \
&\leq M|x-y| \text {, where } M=2 \max (|a|,|b|) .
Hence $f \in \operatorname{Lip}(1)$.
A concept related to Lipschitz continuity is called a contraction.
Definition 1.10 Let $\left(X, d_{1}\right)$ and $\left(Y, d_{2}\right)$ be metric spaces. A transformation $T$ from $X$ into $Y$ is called a contraction if there exists a number $\lambda \in(0,1)$ such that:
d_{2}(T(x), T(y)) \leq \lambda d_{1}(x, y) \text { for all } x, y \in X
In general, a contraction maps a pair of points into another pair of points that are closer together. A contraction is always continuous.

The ability to discover and apply contraction mappings has considerable theoretical and numerical value. For example, it is possible to prove that stochastic differential equations (SDEs) have unique solutions by the application of fixed point theorems:

  • Brouwer’s fixed point theorem
  • Kakutani’s fixed point theorem
  • Banach’s fixed point theorem
  • Schauder’s fixed point theorem
    Our interest here lies in the following fixed point theorem.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|INTRODUCTION AND OBJECTIVES

In this chapter we introduce a class of differential equations in which the highest order derivative is one. Furthermore, these equations have a single independent variable (which in nearly all applications plays the role of time). In short, these are termed ordinary differential equations (ODEs) precisely because of the dependence on a single variable.

ODEs crop up in many application areas, such as mechanics, biology, engineering, dynamical systems, economics and finance, to name just a few. It is for this reason that we devote two dedicated chapters to them.
The following topics are discussed in this chapter:

  • Motivational examples of ODEs
  • Qualitative properties of ODEs
  • Common finite difference schemes for initial value problems for ODEs
  • Some theoretical foundations.
    In Chapter 3 we continue with our discussion of ODEs, including code examples in $\mathrm{C}++$ and Python.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|BACKGROUND AND PROBLEM STATEMENT

In this section we introduce the very first differential equation of this book. It is a scalar first-order linear ordinary differential equation (ODE), and we shall analyse it from several qualitative and quantitative viewpoints.

Consider a bounded interval $[0, T]$ where $T>0$. This interval could represent time or distance, for example. In most cases we shall view this interval as representing time values. In the interval we define the initial value problem (IVP) for an ODE:
&L u=u^{\prime}(t)+a(t) u(t)=f(t), t \in[0, T] \text { with } a(t) \geq \alpha>0, \forall t \in[0, T] \
where $L$ is a first-order linear differential operator involving the derivative with respect to the time variable and $a=a(t)$ is a strictly positive function in $[0, T]$. The term $f(t)$ is called the inhomogeneous forcing term, and it is independent of $u$. Finally, the solution to the IVP must be specified at $t=0$; this is the so-called initial condition.
In general, the problem (2.1) has a unique solution given by:
&u(t)=I_{1}(t)+I_{2}(t) \
&I_{1}(t)=A \exp \left(-\int_{0}^{t} a(s) d s\right) \
&\left.I_{2}(t)=\exp \left(-\int_{0}^{t} a(s) d s\right) \int_{0}^{t} \exp \left(\int_{0}^{x} a(s) d s\right)\right) f(x) d x
(See Hochstadt (1964), where the so-called integration factor is used to determine a solution.)

A special case of $(2.1)$ is when the right-hand term $f(t)$ is zero and $a(t)$ is constant; in this case the solution becomes a simple exponential term without any integrals, and this will be used later when we examine difference schemes to determine their feasibility. In particular, a scheme that behaves badly for the above special case will be unsuitable for more general or more complex problems unless some modifications are introduced.

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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Lipschitz Continuous Functions

我们现在检查将一个度量空间映射到另一个度量空间的函数。特别是,我们讨论了连续性和 Lipschitz 连续性的概念。
定义 1.7 让(X,d1)和(是,d2)是两个度量空间。一个函数F从X进入是据说在该点是连续的一种∈X如果对于每个e>0存在一个d>0这样:
d2(F(X),F(一种))<e 每当 d1(X,一种)<d

这是第节中连续性概念的概括1.2(定义 1.1)。我们应该注意到,这个定义是指一个函数在一个点上的连续性。因此,函数可以在某些点是连续的,而在其他点是不连续的。
d2(F(X),F(是))<e 每当 X,是∈和 和 d1(X,是)<d

定义 1.9 让F:[一种,b]→R是一个实值函数,假设我们可以找到两个常数米和一种这样|F(X)−F(是)|≤米|X−是|一种,∀X,是∈[一种,b]. 然后我们说F满足有序的 Lipschitz 条件一种,我们写F∈唇⁡(一种).
|F(X)−F(是)|=|X2−是2|=|(X+是)(X−是)|≤(|X|+|是|)|X−是| ≤米|X−是|, 在哪里 米=2最大限度(|一种|,|b|).
与 Lipschitz 连续性相关的概念称为收缩。
定义 1.10 让(X,d1)和(是,d2)是度量空间。转变吨从X进入是如果存在一个数字,则称为收缩λ∈(0,1)这样:
d2(吨(X),吨(是))≤λd1(X,是) 对全部 X,是∈X

发现和应用收缩映射的能力具有相当大的理论和数值价值。例如,可以通过应用不动点定理来证明随机微分方程 (SDE) 具有唯一解:

  • Brouwer 不动点定理
  • 角谷不动点定理
  • 巴拿赫不动点定理
  • Schauder 不动点定理

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|INTRODUCTION AND OBJECTIVES

在本章中,我们介绍了一类微分方程,其中最高阶导数是一个。此外,这些方程只有一个独立变量(在几乎所有应用中都扮演时间的角色)。简而言之,这些被称为常微分方程 (ODE) 正是因为它依赖于单个变量。

ODE 出现在许多应用领域,例如力学、生物学、工程、动力系统、经济学和金融学等。正是出于这个原因,我们用两个专门的章节来介绍它们。

  • ODE 的励志示例
  • ODE 的定性性质
  • ODE 初值问题的常见有限差分格式
  • 一些理论基础。
    在第 3 章中,我们继续讨论 ODE,包括代码示例C++和 Python。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|BACKGROUND AND PROBLEM STATEMENT


考虑有界区间[0,吨]在哪里吨>0. 例如,该间隔可以表示时间或距离。在大多数情况下,我们会将此间隔视为代表时间值。在区间中,我们定义了 ODE 的初始值问题 (IVP):
大号在=在′(吨)+一种(吨)在(吨)=F(吨),吨∈[0,吨] 和 一种(吨)≥一种>0,∀吨∈[0,吨] 在(0)=一种
在哪里大号是一阶线性微分算子,涉及关于时间变量的导数,并且一种=一种(吨)是一个严格的正函数[0,吨]. 术语F(吨)称为非均匀强迫项,它独立于在. 最后,IVP 的解决方案必须指定为吨=0; 这就是所谓的初始条件。
在(吨)=一世1(吨)+一世2(吨) 一世1(吨)=一种经验⁡(−∫0吨一种(s)ds) 一世2(吨)=经验⁡(−∫0吨一种(s)ds)∫0吨经验⁡(∫0X一种(s)ds))F(X)dX
(参见 Hochstadt (1964),其中所谓的积分因子用于确定解。)


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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。



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