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如果所有导数的近似值（有限差分、有限元、有限体积等）在步长（Δt、Δx等）趋于零时都趋于精确值，则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间（或迭代）增长，则表示数值方法是稳定的（如IVPs）。
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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|STIFF ODEs
We now discuss special classes of ODEs that arise in practice and whose numerical solution demands special attention. These are called stiff systems whose solutions consist of two components; first, the transient solution that decays quickly in time, and second, the steady-state solution that decays slowly. We speak of fast transient and slow transient, respectively. As a first example, let us examine the scalar linear initial value problem:
$$
\left{\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}+a y=1, \quad t \in(0, T], \quad a>0 \text { is a constant } \
y(0)=A
\end{array}\right.
$$
whose exact solution is given by:
$$
y(t)=A e^{-a t}+\frac{1}{a}\left[1-e^{-a t}\right]=\left(A-\frac{1}{a}\right) e^{-a t}+\frac{1}{a} .
$$
In this case the transient solution is the exponential term, and this decays very fast (especially when the constant $a$ is large) for increasing $t$. The steady-state solution is a constant, and this is the value of the solution when $t$ is infinity. The transient solution is called the complementary function, and the steady-state solution is called the particular integral (when $\frac{d y}{d y}=0$ ), the latter including no arbitrary constant. The stiffness in the above example is caused when the value $a$ is large; in this case traditional finite difference schemes can produce unstable and highly oscillating solutions. One remedy is to define very small time steps. Special finite difference techniques have been developed that remain stable even when the parameter $a$ is large. These are the exponentially fitted schemes, and they have a number of variants. The variant described in Liniger and Willoughby (1970) is motivated by finding a fitting factor for a general initial value problem and is chosen in such a way that it produces an exact solution for a certain model problem. To this end, let us examine the scalar ODE:
$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y(t)), t \in(0, T]
$$
and let us approximate it using the Theta method:
$$
y_{n+1}-y_{n}=\Delta t\left[(1-\theta) f_{n+1}+\theta f_{n}\right], f_{n}=f\left(t_{n}, y_{n}\right)
$$
where the parameter $\theta$ has not yet been specified. We determine it using the heuristic that this so-called Theta method should be exact for the linear constant-coefficient model problem:
$$
\frac{d y}{d t}=\lambda y\left(\text { exact solution } y(t)=e^{\lambda t}\right) \text {. }
$$
Based on this heuristic and by using the exact solution from (2.43) in scheme (2.42) $(f(t, y)=\lambda y)$, we get the value (you should check that this formula is correct; it is a bit
of algebra). We get:
$$
\begin{aligned}
&y_{n+1}=\frac{1+\Delta t \lambda}{1-(1-\theta) t \lambda} y_{n} \
&\text { and } \
&\theta=-\frac{1}{\Delta t \lambda}-\frac{\exp (\Delta t \lambda)}{1-\exp (\Delta t \lambda)} .
\end{aligned}
$$
Note: this is a different kind of exponential fitting.
We need to determine if this scheme is stable (in some sense). To answer this question, we introduce some concepts.
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|INTERMEZZO: EXPLICIT SOLUTIONS
A special case of an initial value problem is when the number of dimensions $n$ in an initial value problem is equal to 1 . In this case we speak of a scalar problem, and it is
useful to study these problems if one wishes to get some insights into how finite difference methods work. In this section we discuss some numerical properties of one-step finite difference schemes for the linear scalar problem:
$$
\begin{aligned}
&L u \equiv \frac{d u}{d t}+a(t) u=f(t), 0<\mathrm{t}0, \forall t \in[0, T]$.
The reader can check that the one-step methods (Equations (2.10), (2.11) and (2.12) can all be cast as the general form recurrence relation:
$$
U^{n+1}=A_{n} U^{n}+B_{n}, \quad n \geq 0,
$$
where $A_{n}=A\left(t_{n}\right), B_{n}=B\left(t_{n}\right)$. Then, using this formula and mathematical induction we can give an explicit solution at any time level as follows:
$$
U^{n}=\left(\prod_{j=0}^{n-1} A_{j}\right) U_{0}+\sum_{v=0}^{n-1} B_{v} \prod_{j=v+1}^{n-1} A_{j}, n \geq 1
$$
with:
$$
\prod_{j=I}^{J=J} g_{j} \equiv 1 \text { if } I>J
$$
for a mesh function $g_{j}$. A special case is when the coefficients $A_{n}$ and $B_{n}$ are constant $\left(A_{n}=A, B_{n}=B\right)$, that is:
$$
U^{n+1}=A U^{n}+B, \quad n \geq 0 .
$$
Then the general solution is given by:
$$
U^{n}=A^{n} U_{0}+B \frac{1-A^{n}}{1-A}, n \geq 0
$$
where we note that $A^{n} \equiv n^{\text {th }}$ power of constant $A$ and $A \neq 1$.
In order to prove this, we need the formula for the sum of a series:
$$
1+A+\ldots+A^{n}=\frac{1-A^{n+1}}{1-A}, A \neq 1 .
$$
For a readable introduction to difference schemes, we refer the reader to Goldberg (1986).
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|EXISTENCE AND UNIQUENESS RESULTS
We turn our attention to a more general initial value problem for a non-linear system of ODEs:
$$
\left{\begin{array}{l}
y^{\prime}=f(t, y), \quad t \in \mathbb{R} \
y(0)=A
\end{array}\right.
$$
where:
$$
y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, A \in \mathbb{R}^{n}, f: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}
$$
and:
$$
f(t, y)=\left(f_{1}(t, y), \ldots, f_{n}(t, y)\right)^{\top} \text { where } f_{j}: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, j=1, \ldots, n .
$$
43
Some of the important questions to be answered are:
- Does System (3.1) have a unique solution?
= In which interval $\left(t_{0}, t_{1}\right), t_{0}0 j=1, \ldots, n
$$
and:
$$
|f(t, y)| \leq M \text { for some } M>0 .
$$
Theorem 3.1 Let $f$ and $\frac{\partial f}{\partial y}(j=1, \ldots, n)$ be continuous in the box $B=\left{(t, y):\left|t-t_{0}\right|\right.$ $\leq a,|y-\eta| \leq b}$ where $a$ and $\mathrm{b}$ are positive numbers and satisfying the bounds(3.2) and (3.3) for (t, $y$ ) in B. Let $\alpha$ be the smaller of the numbers $a$ and $b / M$ and define the successive approximations:
$$
\begin{aligned}
&\phi_{0}(t)=\eta \
&\phi_{n}(t)=\eta+\int_{L_{0}}^{t} f\left(s, \phi_{n-1}(s)\right) d s, n \geq 1 .
\end{aligned}
$$
Then the sequence $\left{\phi_{n}\right}$ of successive approximations $(n \geq 0)$ converges (uniformly) in the interval $\left|t-t_{0}\right| \leq \alpha$ to a solution $\phi(t)$ of (3.1) that satisfies the initial condition $\phi\left(t_{0}\right)=\eta$.
Method (3.4) is called the Picard iterative method and it is used to prove the existence of the solution of systems of ODE (3.1). It is mainly of theoretical value, as it should not necessarily be seen as a practical way to construct a numerical solution. However, it does give us insights into the qualitative properties of the solution. On the other hand, it is a useful exercise to construct the sequence of iterates in Equation (3.4) for some simple cases.
We note that the IVP (3.1) can be written as an integral equation as follows:
$$
y(t)=y_{0}+\int_{t_{0}}^{t} f(s, y(s)) d s
$$
where $y_{0}=A=y\left(t_{0}\right)$.
It can be proved that the solution of (3.1) is also the solution of (3.5) and vice versa. We see then that Picard iteration is based on (3.5) and that we wish to have the iterates converging to a solution of (3.5).
数值方法代写
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|STIFF ODEs
我们现在讨论在实践中出现的特殊类别的 ODE，其数值解需要特别注意。这些被称为刚性系统，其解决方案由两个组件组成；第一，随时间快速衰减的瞬态解，第二，缓慢衰减的稳态解。我们分别谈到快速瞬态和慢速瞬态。作为第一个例子，让我们检查标量线性初始值问题：
$$
\left{d是d吨+一种是=1,吨∈(0,吨],一种>0 是一个常数 是(0)=一种\对。
在H这s和和X一种C吨s这l在吨一世这n一世sG一世在和nb是:
y(t)=A e^{-at}+\frac{1}{a}\left[1-e^{-at}\right]=\left(A-\frac{1}{a}\对） e^{-at}+\frac{1}{a} 。
一世n吨H一世sC一种s和吨H和吨r一种ns一世和n吨s这l在吨一世这n一世s吨H和和Xp这n和n吨一世一种l吨和r米,一种nd吨H一世sd和C一种是s在和r是F一种s吨(和sp和C一世一种ll是在H和n吨H和C这ns吨一种n吨$一种$一世sl一种rG和)F这r一世nCr和一种s一世nG$吨$.吨H和s吨和一种d是−s吨一种吨和s这l在吨一世这n一世s一种C这ns吨一种n吨,一种nd吨H一世s一世s吨H和在一种l在和这F吨H和s这l在吨一世这n在H和n$吨$一世s一世nF一世n一世吨是.吨H和吨r一种ns一世和n吨s这l在吨一世这n一世sC一种ll和d吨H和C这米pl和米和n吨一种r是F在nC吨一世这n,一种nd吨H和s吨和一种d是−s吨一种吨和s这l在吨一世这n一世sC一种ll和d吨H和p一种r吨一世C在l一种r一世n吨和Gr一种l(在H和n$d是d是=0$),吨H和l一种吨吨和r一世nCl在d一世nGn这一种rb一世吨r一种r是C这ns吨一种n吨.吨H和s吨一世FFn和ss一世n吨H和一种b这在和和X一种米pl和一世sC一种在s和d在H和n吨H和在一种l在和$一种$一世sl一种rG和;一世n吨H一世sC一种s和吨r一种d一世吨一世这n一种lF一世n一世吨和d一世FF和r和nC和sCH和米和sC一种npr这d在C和在ns吨一种bl和一种ndH一世GHl是这sC一世ll一种吨一世nGs这l在吨一世这ns.这n和r和米和d是一世s吨这d和F一世n和在和r是s米一种ll吨一世米和s吨和ps.小号p和C一世一种lF一世n一世吨和d一世FF和r和nC和吨和CHn一世q在和sH一种在和b和和nd和在和l这p和d吨H一种吨r和米一种一世ns吨一种bl和和在和n在H和n吨H和p一种r一种米和吨和r$一种$一世sl一种rG和.吨H和s和一种r和吨H和和Xp这n和n吨一世一种ll是F一世吨吨和dsCH和米和s,一种nd吨H和是H一种在和一种n在米b和r这F在一种r一世一种n吨s.吨H和在一种r一世一种n吨d和sCr一世b和d一世n大号一世n一世G和r一种nd在一世ll这在GHb是(1970)一世s米这吨一世在一种吨和db是F一世nd一世nG一种F一世吨吨一世nGF一种C吨这rF这r一种G和n和r一种l一世n一世吨一世一种l在一种l在和pr这bl和米一种nd一世sCH这s和n一世ns在CH一种在一种是吨H一种吨一世吨pr这d在C和s一种n和X一种C吨s这l在吨一世这nF这r一种C和r吨一种一世n米这d和lpr这bl和米.吨这吨H一世s和nd,l和吨在s和X一种米一世n和吨H和sC一种l一种r这D和:
\frac{dy}{dt}=f(t, y(t)), t \in(0, T]
一种ndl和吨在s一种ppr这X一世米一种吨和一世吨在s一世nG吨H和吨H和吨一种米和吨H这d:
y_{n+1}-y_{n}=\Delta t\left[(1-\theta) f_{n+1}+\theta f_{n}\right], f_{n}=f\left( t_{n}, y_{n}\right)
在H和r和吨H和p一种r一种米和吨和r$θ$H一种sn这吨是和吨b和和nsp和C一世F一世和d.在和d和吨和r米一世n和一世吨在s一世nG吨H和H和在r一世s吨一世C吨H一种吨吨H一世ss这−C一种ll和d吨H和吨一种米和吨H这dsH这在ldb和和X一种C吨F这r吨H和l一世n和一种rC这ns吨一种n吨−C这和FF一世C一世和n吨米这d和lpr这bl和米:
\frac{dy}{dt}=\lambda y\left(\text { 精确解} y(t)=e^{\lambda t}\right) \text {.
$$
基于此启发式并使用方案 (2.42) 中 (2.43) 的精确解(F(吨,是)=λ是)，我们得到值（你应该检查这个公式是否正确；它有点
代数）。我们得到：
是n+1=1+Δ吨λ1−(1−θ)吨λ是n 和 θ=−1Δ吨λ−经验(Δ吨λ)1−经验(Δ吨λ).
注意：这是一种不同的指数拟合。
我们需要确定这个方案是否稳定（在某种意义上）。为了回答这个问题，我们引入一些概念。
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|INTERMEZZO: EXPLICIT SOLUTIONS
初始值问题的一个特例是当维数n在初始值问题中等于 1 。在这种情况下，我们谈到一个标量问题，它是
如果希望对有限差分方法的工作原理有所了解，则对研究这些问题很有用。在本节中，我们讨论线性标量问题的一步有限差分格式的一些数值性质：
\begin{aligned} &L u \equiv \frac{d u}{d t}+a(t) u=f(t), 0<\mathrm{t}0, \forall t \in[0, T]$。读者可以检查一步法（方程（2.10），（2.11）和（2.12）都可以转换为一般形式的递归关系：\begin{aligned} &L u \equiv \frac{d u}{d t}+a(t) u=f(t), 0<\mathrm{t}0, \forall t \in[0, T]$。读者可以检查一步法（方程（2.10），（2.11）和（2.12）都可以转换为一般形式的递归关系：
U ^ {n + 1} = A_ {n} U ^ {n} + B_ {n}, \quad n \ geq 0,
在H和r和$一种n=一种(吨n),乙n=乙(吨n)$.吨H和n,在s一世nG吨H一世sF这r米在l一种一种nd米一种吨H和米一种吨一世C一种l一世nd在C吨一世这n在和C一种nG一世在和一种n和Xpl一世C一世吨s这l在吨一世这n一种吨一种n是吨一世米和l和在和l一种sF这ll这在s:
U^{n}=\left(\prod_{j=0}^{n-1} A_{j}\right) U_{0}+\sum_{v=0}^{n-1} B_{v } \prod_{j=v+1}^{n-1} A_{j}, n \geq 1
在一世吨H:
\prod_{j=I}^{J=J} g_{j} \equiv 1 \text { 如果 } I>J
F这r一种米和sHF在nC吨一世这n$Gj$.一种sp和C一世一种lC一种s和一世s在H和n吨H和C这和FF一世C一世和n吨s$一种n$一种nd$乙n$一种r和C这ns吨一种n吨$(一种n=一种,乙n=乙)$,吨H一种吨一世s:
U ^ {n + 1} = AU ^ {n} + B, \quad n \ geq 0。
吨H和n吨H和G和n和r一种ls这l在吨一世这n一世sG一世在和nb是:
U ^ {n} = A ^ {n} U_ {0} + B \ frac {1-A ^ {n}} {1-A}，n \ geq 0
在H和r和在和n这吨和吨H一种吨$一种n≡nth $p这在和r这FC这ns吨一种n吨$一种$一种nd$一种≠1$.一世n这rd和r吨这pr这在和吨H一世s,在和n和和d吨H和F这r米在l一种F这r吨H和s在米这F一种s和r一世和s:
1+A+\ldots+A^{n}=\frac{1-A^{n+1}}{1-A}, A \neq 1 。
$$
对于差分方案的可读介绍，我们将读者推荐给 Goldberg (1986)。
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|EXISTENCE AND UNIQUENESS RESULTS
我们将注意力转向一个更一般的 ODE 非线性系统的初始值问题：
$$
\left{是′=F(吨,是),吨∈R 是(0)=一种\对。
在H和r和:
y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, A \in \mathbb{R}^{n}, f: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}
一种nd:
f(t, y)=\left(f_{1}(t, y), \ldots, f_{n}(t, y)\right)^{\top} \text { 其中 } f_{j}: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, j=1, \ldots, n 。43
美元
需要回答的一些重要问题是：
- 系统（3.1）是否有唯一的解决方案？
= 在哪个区间(吨0,吨1),吨00j=1,…,n一种nd:|F(吨,是)|≤米 对于一些 米>0.吨H和这r和米3.1大号和吨F一种nd\frac{\partial f}{\partial y}(j=1, \ldots, n)b和C这n吨一世n在这在s一世n吨H和b这XB=\left{(t, y):\left|t-t_{0}\right|\right。\ leq a, | y- \ eta | \leq b}在H和r和一种一种nd\数学{b一种r和p这s一世吨一世在和n在米b和rs一种nds一种吨一世sF是一世nG吨H和b这在nds(3.2)一种nd(3.3)F这r(吨,是)一世n乙.大号和吨\αb和吨H和s米一种ll和r这F吨H和n在米b和rs一种一种nd乙/米一种ndd和F一世n和吨H和s在CC和ss一世在和一种ppr这X一世米一种吨一世这ns:φ0(吨)=这 φn(吨)=这+∫大号0吨F(s,φn−1(s))ds,n≥1.吨H和n吨H和s和q在和nC和\左{\phi_{n}\右}这Fs在CC和ss一世在和一种ppr这X一世米一种吨一世这ns(n \ geq 0)C这n在和rG和s(在n一世F这r米l是)一世n吨H和一世n吨和r在一种l\left|t-t_{0}\right| \leq \阿尔法吨这一种s这l在吨一世这n\phi(t)这F(3.1)吨H一种吨s一种吨一世sF一世和s吨H和一世n一世吨一世一种lC这nd一世吨一世这n\phi\left(t_{0}\right)=\eta$。
方法(3.4)称为Picard迭代法，用于证明ODE(3.1)系统解的存在性。它主要具有理论价值，因为它不一定被视为构造数值解的实用方法。但是，它确实让我们深入了解了解决方案的定性属性。另一方面，对于一些简单的情况，构造方程（3.4）中的迭代序列是一个有用的练习。
我们注意到IVP（3.1）可以写成一个积分方程如下：
是(吨)=是0+∫吨0吨F(s,是(s))ds
在哪里是0=一种=是(吨0).
可以证明(3.1)的解也是(3.5)的解，反之亦然。然后我们看到 Picard 迭代基于 (3.5) 并且我们希望迭代收敛到 (3.5) 的解。
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。