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如果所有导数的近似值（有限差分、有限元、有限体积等）在步长（Δt、Δx等）趋于零时都趋于精确值，则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间（或迭代）增长，则表示数值方法是稳定的（如IVPs）。
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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Taylor’s Theorem
Taylor’s theorem allows us to expand a function as a series involving higher-order derivatives of a function. We take the Cauchy form (with exact remainder):
$f$ is $n$ times differentiable
$$
f(b)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(b-a)^{k}}{k !} f^{(k)}(a)+R_{n}
$$
where:
$$
R_{n}=\frac{(b-\xi)^{n} f^{(n)}(\xi)}{n !}, a<\xi<b
$$
and:
$$
\begin{aligned}
&f^{\prime}=f^{(1)}=\frac{d f}{d x}, f^{(2)}=\frac{d^{2} f}{d x^{2}} \
&f^{(n)}(x)=\left(f^{(n-1)}(x)\right)^{\prime}=\frac{d}{d x}\left(f^{(n-1)}(x)\right)
\end{aligned}
$$
We conclude with a discussion of the exponential function. It is the only functi that is the same as its derivative. To see this, we use the formal definition (1.7) of derivative (and noting that $e^{x} e^{y}=e^{x+y}, x, y \in \mathbb{R}$ ):
$$
\frac{d}{d x} e^{x}=\lim {h \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}\right)=e^{x} \lim {h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}=e^{x}, x \in \mathbb{R}
$$
We summarise some useful properties of the exponential function:
$$
\begin{aligned}
&e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} \
&e^{x}=\lim {n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \ &\frac{d}{d x} e^{x}=e^{x} \ &e^{x+y}=e^{x} e^{y} \ &y=\log x \Longleftrightarrow x=e^{y} \ &\log (a b)=\log a+\log b . \ &\frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{x}=e^{x} \forall n \geq 1 \ &e^{x}=\sum{k=0}^{n-1} \frac{x^{k}}{k !}+\mathbb{R}{n} \text { where } \mathbb{R}{n}=\frac{x^{n}}{n !} e^{\xi}, \xi<x .
\end{aligned}
$$
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Big O and Little o Notation
For many applications we need a definition of the asymptotic behaviour of quantities such as functions and series; in particular we wish to find bounds on mathematical expressions and applications in computer science. To this end, we introduce the Landau symbols $\mathrm{O}$ and $\mathrm{o}$.
Definition $1.2$ (O-Notation).
$$
\begin{aligned}
&f(x)=O(g(x)) \text { as } x \rightarrow \infty \text { if } \exists M>0, \exists x_{0} \text { s.t. } \
&|f(x)| \leq M|g(x)| \text { for } x>x_{0} \
&f(x)=O(g(x)) \text { as } x \rightarrow a \text { if }|f(x)| \leq M|g(x)| \text { for }|x-a|<\delta \
&\text { Unified definition: } \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}<\infty
\end{aligned}
$$
An example is:
$$
\begin{aligned}
&f(x) \equiv 6 x^{4}-7 x^{2}+2 \
&g(x) \equiv x^{4} \
&f(x)=O(g(x)) \text { as } x \rightarrow \infty \
&f_{n} \equiv 2 n^{3}+6 n^{2}+5(\log n)^{3} \
&f_{n}=O\left(n^{3}\right) \text { as } n \rightarrow \infty
\end{aligned}
$$
Definition $1.3$ (o-Notation).
$$
\begin{aligned}
&f(x)=o(g(x)) \text { as } x \rightarrow \infty \
&\text { if } \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0 .
\end{aligned}
$$
An example is:
$$
\begin{aligned}
&2 x=o\left(x^{2}\right) \
&2 x^{2} \neq o\left(x^{2}\right) \
&1 / x=o(1) .
\end{aligned}
$$
We note that complexity analysis applies to both continuous and discrete functions.
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|PARTIAL DERIVATIVES
In general, we are interested in functions of two (or more) variables. We consider a function of the form:
$$
z=f(x, y) .
$$
The variables $x$ and $y$ can take values in a given bounded or unbounded interval. First, we say that $f(x, y)$ is continuous at $(a, b)$ if the limit:
$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x, y)
$$
exists and is equal to $f(a, b)$. We now need definitions for the derivatives of $f$ in the $x$ and $y$ directions.
In general, we calculate the partial derivatives by keeping one variable fixed and differentiating with respect to the other variable; for example:
$$
\begin{aligned}
&z=f(x, y)=e^{k x} \cos m y \
&\frac{\partial z}{\partial x}=k e^{k x} \cos m y \
&\frac{\partial z}{\partial y}=-m e^{k x} \sin m y .
\end{aligned}
$$
We now discuss the situation when we introduce a change of variables into some problem and then wish to calculate the new partial derivatives. To this end, we start with the variables $(x, y)$, and we define new variables $(u, v)$. We can think of these as ‘original’ and ‘transformed’ coordinate axes, respectively. Now define the function $z(u, v)$ as follows:
$$
z=z(u, v), u=u(x, y), v=v(x, y)
$$
This can be seen as a function of a function. The result that we are interested in is the following: if $z$ is a differentiable function of $(u, v)$ and $u, v$ are themselves continuous functions of $x, y$, with partial derivatives, then the following rule holds:
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \
&\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}
\end{aligned}
$$
This is a fundamental result that we shall apply in this chapter. We take a simple example of Equation (1.11) to show how things work. To this end, consider the Laplace equation in Cartesian geometry:
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
$$
We now wish to transform this equation into an equation in a circular region defined by the polar coordinates:
$$
x=r \cos \theta, y=r \sin \theta
$$
The derivative in $r$ is given by:
$$
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}=\cos \theta \frac{\partial u}{\partial x}+\sin \theta \frac{\partial u}{\partial y}
$$
and you can check that the derivative with respect to $\theta$ is:
$$
\frac{\partial u}{\partial \theta}=-r \sin \theta \frac{\partial u}{\partial x}+r \cos \theta \frac{\partial u}{\partial y}
$$
hence:
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial u}{\partial x}=\cos \theta \frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r} \sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \
&\frac{\partial u}{\partial y}=\sin \theta \frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r} \cos \theta \frac{\partial u}{\partial \theta}
\end{aligned}
$$
and:
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\cos \theta \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)-\frac{1}{r} \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) \
&\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\sin \theta \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)+\frac{1}{r} \cos \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right) .
\end{aligned}
$$
Combining these results allows us to write Laplace’s equation in polar coordinates as follows:
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}=0 .
$$
Thus, the original heat equation in Cartesian coordinates is transformed to a PDE of convection-diffusion type in polar coordinates.
We can find a solution to this problem using the Separation of Variables method, for example.
数值方法代写
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Taylor’s Theorem
泰勒定理允许我们将函数扩展为涉及函数的高阶导数的序列。我们采用 Cauchy 形式（有精确余数）：
F是n次可微
F(b)=∑ķ=0n−1(b−一种)ķķ!F(ķ)(一种)+Rn
在哪里：
Rn=(b−X)nF(n)(X)n!,一种<X<b
和：
F′=F(1)=dFdX,F(2)=d2FdX2 F(n)(X)=(F(n−1)(X))′=ddX(F(n−1)(X))
我们以对指数函数的讨论结束。它是唯一与其导数相同的函数。为了看到这一点，我们使用导数的正式定义（1.7）（并注意到和X和是=和X+是,X,是∈R ):
ddX和X=林H→0(和X+H−和XH)=和X林H→0和H−1H=和X,X∈R
我们总结了指数函数的一些有用性质：
和X=∑n=0∞Xnn! 和X=林n→∞(1+Xn)n ddX和X=和X 和X+是=和X和是 是=日志X⟺X=和是 日志(一种b)=日志一种+日志b. dndXn和X=和X∀n≥1 和X=∑ķ=0n−1Xķķ!+Rn 在哪里 Rn=Xnn!和X,X<X.
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Big O and Little o Notation
对于许多应用，我们需要定义数量的渐近行为，例如函数和级数；特别是我们希望找到数学表达式和计算机科学应用的界限。为此，我们引入朗道符号这和这.
定义1.2（O 表示法）。
F(X)=这(G(X)) 作为 X→∞ 如果 ∃米>0,∃X0 英石 |F(X)|≤米|G(X)| 为了 X>X0 F(X)=这(G(X)) 作为 X→一种 如果 |F(X)|≤米|G(X)| 为了 |X−一种|<d 统一定义： 林X→一种F(X)G(X)<∞
一个例子是：
F(X)≡6X4−7X2+2 G(X)≡X4 F(X)=这(G(X)) 作为 X→∞ Fn≡2n3+6n2+5(日志n)3 Fn=这(n3) 作为 n→∞
定义1.3（o 表示法）。
F(X)=这(G(X)) 作为 X→∞ 如果 林X→∞F(X)G(X)=0.
一个例子是：
2X=这(X2) 2X2≠这(X2) 1/X=这(1).
我们注意到复杂性分析适用于连续和离散函数。
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|PARTIAL DERIVATIVES
一般来说，我们对两个（或更多）变量的函数感兴趣。我们考虑以下形式的函数：
和=F(X,是).
变量X和是可以在给定的有界或无界区间内取值。首先，我们说F(X,是)是连续的(一种,b)如果限制：
林X→一种F(X,是)
存在并且等于F(一种,b). 我们现在需要定义F在里面X和是方向。
通常，我们通过保持一个变量固定并相对于另一个变量微分来计算偏导数；例如：
和=F(X,是)=和ķX因米是 ∂和∂X=ķ和ķX因米是 ∂和∂是=−米和ķX罪米是.
我们现在讨论当我们将变量的变化引入某个问题然后希望计算新的偏导数时的情况。为此，我们从变量开始(X,是), 我们定义新变量(在,在). 我们可以将它们分别视为“原始”和“转换”坐标轴。现在定义函数和(在,在)如下：
和=和(在,在),在=在(X,是),在=在(X,是)
这可以看作是函数的函数。我们感兴趣的结果如下：如果和是一个可微函数(在,在)和在,在本身是的连续函数X,是，具有偏导数，则以下规则成立：
∂和∂X=∂和∂在∂在∂X+∂和∂在∂在∂X ∂和∂是=∂和∂在∂在∂是+∂和∂在∂在∂是
这是我们将在本章中应用的一个基本结果。我们以方程（1.11）的一个简单例子来说明事情是如何工作的。为此，考虑笛卡尔几何中的拉普拉斯方程：
∂2在∂X2+∂2在∂是2=0
我们现在希望将此方程转换为由极坐标定义的圆形区域中的方程：
X=r因θ,是=r罪θ
中的导数r是（谁）给的：
∂在∂r=∂在∂X∂X∂r+∂在∂是∂是∂r=因θ∂在∂X+罪θ∂在∂是
你可以检查关于的导数θ是：
∂在∂θ=−r罪θ∂在∂X+r因θ∂在∂是
因此：
∂在∂X=因θ∂在∂r−1r罪θ∂在∂θ ∂在∂是=罪θ∂在∂r+1r因θ∂在∂θ
和：
∂2在∂X2=因θ∂∂r(∂在∂X)−1r罪θ∂∂θ(∂在∂X) ∂2在∂是2=罪θ∂∂r(∂在∂是)+1r因θ∂∂θ(∂在∂是).
结合这些结果，我们可以在极坐标中写出拉普拉斯方程如下：
∂2在∂r2+1r∂在∂r+1r2∂2在∂θ2=0.
因此，笛卡尔坐标中的原始热方程被转换为极坐标中的对流扩散类型的 PDE。
例如，我们可以使用变量分离方法找到解决此问题的方法。
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。