数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考| Uniform Continuity

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如果所有导数的近似值(有限差分、有限元、有限体积等)在步长(Δt、Δx等)趋于零时都趋于精确值,则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间(或迭代)增长,则表示数值方法是稳定的(如IVPs)。

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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Uniform Continuity

In general terms, uniform continuity guarantees that $f(x)$ and $f(y)$ can be made as close to each other as we please by requiring that $x$ and $y$ be sufficiently close to each other. This is in contrast to ordinary continuity, where the distance between $f(x)$ and $f(y)$ may depend on $x$ and $y$ themselves. In other words, in Definition $1.1 \delta$ depends only on $\epsilon$ and not on the points in the domain. Continuity itself is a local property because a function $f$ is or is not continuous at a particular point and continuity can be determined by looking at the values of the function in an arbitrary small neighbourhood of that point. Uniform continuity, on the other hand, is a global property of $f$ because the definition

refers to pairs of points rather than individual points. The new definition in this case for a function $f$ defined in an interval $I$ is:
$$
\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \text { s.t. } \forall x, y \in I:|x-y|<\delta \Rightarrow|f(x)-f(y)|<\epsilon . $$ Let us take an example of a uniformly continuous function: $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=3 x+7 $$ Then $|f(x)-f(y)|=|3 x+7-(3 y+7)|=3|x-y|<3 \delta<\epsilon, \quad(x, y \in \mathbb{R})$. Choose $\delta=\epsilon / 3$. In general, a continuous function on a closed interval is uniformly continuous. An example is: $$ f(x)=x^{2} \text { on } I=[0,2] $$ Let $x, y \in I$. Then: $$ |f(x)-f(y)|=(x+y)|x-y|<(2+2) \delta=\epsilon . $$ Choose $\delta=\epsilon / 4$. An example of a function that is continuous and nowhere differentiable is the Weierstrass function that we can write as a Fourier series: $$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a^{n} \cos \left(b^{n} \pi x\right), \quad 01+\frac{3}{2} \pi$.
This is a jagged function that appears in models of Brownian motion. Each partial sum is continuous, and hence by the uniform limit theorem (which states that the uniform limit of any sequence of continuous functions is continuous), the series (1.6) is continuous.

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A function that is not continuous at some point is said to be discontinuous at that point. For example, the Heaviside function (1.2) is not continuous at $x=0$. In order to determine if a function is continuous at a point $x$ in an interval $(a, b)$ we apply the test:
$$
\begin{aligned}
&f(x+)=q \text { if } f\left(t_{n}\right) \rightarrow q, n \rightarrow \infty \text { for all sequences }\left{t_{n}\right} \text { in }(x, b) \text { s.t. } t_{n} \rightarrow x \
&f(x-)=q \text { if } f\left(t_{n}\right) \rightarrow q, n \rightarrow \infty \text { for all sequences }\left{t_{n}\right} \text { in }(a, x) \text { s.t. } t_{n} \rightarrow x \
&\exists \lim {t \rightarrow x} f(t) \Leftrightarrow f(x+)=f(x-)=\lim {t \rightarrow x} f(t)=f(x) .
\end{aligned}
$$

There are two (simple discontinuity) main categories of discontinuous functions:

  • First kind: $f(x+)=\lim {t \rightarrow x+} f(t)$ and $f(x-)=\lim {t \rightarrow x-} f(t)$ exists. Then either we have $f(x+) \neq f(x-)$ or $f(x+)=f(x-) \neq f(x)$.
  • Second kind: a discontinuity that is not of the first kind.
    Examples are:
    $$
    \begin{aligned}
    &f(x)=\left{\begin{array}{l}
    1, x \text { rational }(x \in \mathbb{Q}) \
    0, x \text { not rational, } x \notin \mathbb{Q} \
    \text { 2nd kind: Neither } f(x+) \text { nor } f(x-) \text { exists. }
    \end{array}\right. \
    &f(x)= \begin{cases}x+2, \quad-3<x<-2 \
    -x-2, \quad-2 \leq x<0 \
    x+2, \quad 0 \leq x<1 \
    \text { Simple discontinuity at } x=0 .\end{cases}
    \end{aligned}
    $$
    You can check that this latter function has a discontinuity of the first kind at $x=0$.

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The derivative of a function is one of its fundamental properties. It represents the rate of change of the slope of the function: in other words, how fast the function changes with respect to changes in the independent variable. We focus on real-valued functions of a real variable.

Let $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Then the derivative of $f$ at $x$ (if it exists) is defined by the limit for $x \in[a, b]$ :
$\varphi(t)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x}(t \neq x)$, $f^{\prime}(x)=\lim {t \rightarrow x} \varphi(t)$ or $\frac{d f(x)}{d x}=f^{\prime}(x)=\lim {h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} .$
This limit may not exist at certain points, and it is possible to define right-hand and left-hand limits, that is, one-sided derivatives.
Some results that we learn in high school are:
$$
\begin{aligned}
&(f+g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x) \
&(f g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x) \
&\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(x)=\frac{g(x) f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x) f(x)}{g^{2}(x)}(g(x) \neq 0)
\end{aligned}
$$

A composite function is a function that we can differentiate using the chain rule that we state as follows:
$x \in[a, b], \quad \exists f^{\prime}(x)$ with $g$ differentiable at $f(x)$.
Then:
$$
\begin{aligned}
&h(t) \equiv g(f(t)), \quad a \leq t \leq b \text { has derivative } \
&h^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x)) f^{\prime}(x) .
\end{aligned}
$$
A simple example of use is:
$$
\begin{aligned}
f(x) &=x^{2}, \quad g(y)=2 y+1 \
h(x) &=g(f(x))=g\left(x^{2}\right)=2 x^{2}+1 \
h^{\prime}(x) &=g^{\prime}(f(x)) f^{\prime}(x)=4 x(=2 * 2 x)
\end{aligned}
$$
More challenging examples of composite functions are:
$$
\begin{aligned}
&f(x)=\left{\begin{array}{l}
x \sin \frac{1}{x}, \quad x \neq 0 \
0, \quad x=0
\end{array}\right. \
&f^{\prime}(x)=\sin \frac{1}{x}-\frac{1}{x} \cos \frac{1}{x}, \quad x \neq 0
\end{aligned}
$$
$f^{\prime}(0)$ does not exist.
$f(x)=\left{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}, \quad x \neq 0 \ 0, \quad x=0\end{array}\right.$
$f^{\prime}(x)=2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}, \quad x \neq 0$
$f^{\prime}(0)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(t)-f(0)}{t-0}=0 .$

Differential Calculus - Definition, Formulas, Rules, Examples
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数值方法代写

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一般而言,统一连续性保证F(X)和F(是)可以通过要求使彼此尽可能接近X和是彼此足够接近。这与普通的连续性形成对比,其中之间的距离F(X)和F(是)可能取决于X和是他们自己。换句话说,在定义1.1d只取决于ε而不是在域中的点上。连续性本身是一个局部属性,因为一个函数F在特定点是或不连续的,并且可以通过查看该点的任意小邻域中的函数值来确定连续性。另一方面,一致连续性是F因为定义

指点对而不是单个点。在这种情况下,函数的新定义F在区间内定义一世是:
∀e>0∃d>0 英石 ∀X,是∈一世:|X−是|<d⇒|F(X)−F(是)|<ε.让我们举一个一致连续函数的例子:F:R→R,F(X)=3X+7然后|F(X)−F(是)|=|3X+7−(3是+7)|=3|X−是|<3d<ε,(X,是∈R). 选择d=ε/3. 一般来说,闭区间上的连续函数是一致连续的。一个例子是:F(X)=X2 在 一世=[0,2]让X,是∈一世. 然后:|F(X)−F(是)|=(X+是)|X−是|<(2+2)d=ε.选择d=ε/4. 一个连续且无处可微的函数的一个例子是 Weierstrass 函数,我们可以写成傅里叶级数: $$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a^{n} \cos \left(b^{n} \pi x\right), \quad 01+\frac{3}{2} \pi$。
这是出现在布朗运动模型中的锯齿函数。每个部分和都是连续的,因此根据一致极限定理(它表明任何连续函数序列的一致极限是连续的),级数 (1.6) 是连续的。

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在某一点不连续的函数在该点称为不连续函数。例如,Heaviside 函数 (1.2) 在X=0. 为了确定一个函数在某个点是否连续X在一个区间(一种,b)我们应用测试:
\begin{aligned} &f(x+)=q \text { if } f\left(t_{n}\right) \rightarrow q, n \rightarrow \infty \text { 对于所有序列 }\left{t_{n} \right} \text { in }(x, b) \text { st } t_{n} \rightarrow x \ &f(x-)=q \text { if } f\left(t_{n}\right) \ rightarrow q, n \rightarrow \infty \text { 对于所有序列 }\left{t_{n}\right} \text { in }(a, x) \text { st } t_{n} \rightarrow x \ &\存在 \lim {t \rightarrow x} f(t) \Leftrightarrow f(x+)=f(x-)=\lim {t \rightarrow x} f(t)=f(x) 。\end{对齐}\begin{aligned} &f(x+)=q \text { if } f\left(t_{n}\right) \rightarrow q, n \rightarrow \infty \text { 对于所有序列 }\left{t_{n} \right} \text { in }(x, b) \text { st } t_{n} \rightarrow x \ &f(x-)=q \text { if } f\left(t_{n}\right) \ rightarrow q, n \rightarrow \infty \text { 对于所有序列 }\left{t_{n}\right} \text { in }(a, x) \text { st } t_{n} \rightarrow x \ &\存在 \lim {t \rightarrow x} f(t) \Leftrightarrow f(x+)=f(x-)=\lim {t \rightarrow x} f(t)=f(x) 。\end{对齐}

不连续函数有两种(简单不连续)主要类别:

  • 第一类:F(X+)=林吨→X+F(吨)和F(X−)=林吨→X−F(吨)存在。那么要么我们有F(X+)≠F(X−)或者F(X+)=F(X−)≠F(X).
  • 第二类:不属于第一类的不连续性。
    例如:
    $$
    \begin{aligned}
    &f(x)=\left{1,X 合理的 (X∈问) 0,X 不理性, X∉问  第二种:都没有 F(X+) 也不 F(X−) 存在。 \对。\
    &f(x)={X+2,−3<X<−2 −X−2,−2≤X<0 X+2,0≤X<1  简单的不连续性 X=0.
    \end{aligned}
    $$
    你可以检查后一个函数在X=0.

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函数的导数是其基本性质之一。它表示函数斜率的变化率:换句话说,函数相对于自变量变化的变化速度。我们专注于实变量的实值函数。

让F:R→R. 然后的导数F在X(如果存在)由限制定义X∈[一种,b] :
披(吨)=F(吨)−F(X)吨−X(吨≠X), F′(X)=林吨→X披(吨)或者dF(X)dX=F′(X)=林H→0F(X+H)−F(X)H.
这个极限在某些点上可能不存在,可以定义右手和左手极限,即单边导数。
我们在高中学到的一些成果是:
(F+G)′(X)=F′(X)+G′(X) (FG)′(X)=F′(X)G(X)+F(X)G′(X) (FG)′(X)=G(X)F′(X)−G′(X)F(X)G2(X)(G(X)≠0)

复合函数是我们可以使用如下所述的链式法则来区分的函数:
X∈[一种,b],∃F′(X)和G可微分于F(X).
然后:
H(吨)≡G(F(吨)),一种≤吨≤b 有导数  H′(X)=G′(F(X))F′(X).
一个简单的使用示例是:
F(X)=X2,G(是)=2是+1 H(X)=G(F(X))=G(X2)=2X2+1 H′(X)=G′(F(X))F′(X)=4X(=2∗2X)
复合函数更具挑战性的例子是:
$$
\begin{aligned}
&f(x)=\left{X罪⁡1X,X≠0 0,X=0\对。\
&f^{\prime}(x)=\sin \frac{1}{x}-\frac{1}{x} \cos \frac{1}{x}, \quad x \neq 0
\end{对齐}
$$
F′(0)不存在。
$f(x)=\左{X2罪⁡1X,X≠0 0,X=0\对。f^{\prime}(x)=2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}, \quad x \neq 0f^{\prime}(0)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(t)-f(0)}{t-0}=0 .$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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