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如果所有导数的近似值（有限差分、有限元、有限体积等）在步长（Δt、Δx等）趋于零时都趋于精确值，则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间（或迭代）增长，则表示数值方法是稳定的（如IVPs）。
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- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|INTRODUCTION AND OBJECTIVES
In this chapter we introduce a number of mathematical concepts and methods that underlie many of the topics in this book. The most urgent attention points revolve around functions of real variables, their properties and the ways they are used in applications. We discuss the most important topics from real analysis to help us in our understanding of partial differential equations (PDEs). A definition of real analysis is:
In mathematics, real analysis is the branch of mathematical analysis that studies the behavior of real numbers, sequences and series of real numbers, and real functions. Some particular properties of real-valued sequences and functions that real analysis studies include convergence, limits, continuity, smoothness, differentiability and integrability.
Real analysis is distinguished from complex analysis, which deals with the study of complex numbers and their functions.
(Wikipedia)
A related branch of mathematics is calculus, which we learn at school:
Calculus, originally called infinitesimal calculus or ‘the calculus of infinitesimals’, is the mathematical study of continuous change, in the same way that geometry is the study of shape and algebra is the study of generalizations of arithmetic operations.
It has two major branches, differential calculus and integral calculus; the former concerns instantaneous rates of change, and the slopes of curves, while integral calculus concerns accumulation of quantities, and areas under or between curves. These two branches are related to each other by the fundamental theorem of calculus, and they make use of the fundamental notions of convergence of infinite sequences and infinite series to a well-defined limit.
(Wikipedia)
In practice, there is a distinction between calculus and real analysis. Calculus entails techniques (and tricks) to differentiate and integrate functions. It does not discuss the conditions under which a function is continuous or differentiable. It assumes that it is allowed to carry out these operations on functions. Real analysis, on the other hand, does discuss these issues and more; for example:
- Continuous functions: How do we recognise them and prove that a function is continuous?
= The different kinds of discontinuous functions. - Differential calculus from a real-analysis viewpoint.
- Taylor’s theorem.
= An introduction to metric spaces and Cauchy sequences.
In our opinion, these topics are necessary prerequisites for the rest of this book. Knowledge of vector (linear) analysis and numerical linear algebra is also a prerequisite for computational finance. To this end, we devote Chapters 4 and 5 to these topics. Finally, complex variables and complex functions (which are at the heart of complex analysis) are introduced in Chapter 16 . We use the notation $\forall$ to mean ‘for all’ and $\exists$ to mean ‘there exists’.
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|CONTINUOUS FUNCTIONS
In this section we are mainly concerned with real-valued functions of a real variable, that is $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. In rough terms, a continuous function is one that can be drawn by hand without taking the pen from paper. In other words, a continuous function does not have jumps or breaks, but it is allowed to have sharp bends and kinks. Examples of continuous functions are:
$$
\begin{aligned}
&f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2} \
&f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\max (0, x)
\end{aligned}
$$
We can see that these functions are continuous just by drawing them. The first function is ‘smoother’ than the second function, the latter being similar to a one-factor call or put payoff on the one hand and a Rectified Linear Unit (ReLU) activation function
on the other hand (Goodfellow, Bengio and Courville (2016)). Intuitively, a function $f$ is continuous if $f(x) \rightarrow f(p)$ when $x \rightarrow p$, no matter how $x$ approaches $p$. Alternatively, small changes in $x$ lead to small changes in $f(x)$.
If we formally differentiate the above ReLU function (1.1), we get the famous discontinuous Heaviside function:
$$
H(x)=\left{\begin{array}{l}
0, x<0 \
1, x \geq 0
\end{array}\right.
$$
A discontinuous function is one that is not continuous. Another discontinuous function is:
$x \in \mathbb{R},[x] \equiv$ largest integer $n$ s.t. $n \leq x \leq n+1 .$
Define $f(x)=[x]$; let $p \in \mathbb{Z}$ (integer).
Then taking left and right limits gives different answers, showing that the function is not continuous.
- $x<p \Rightarrow f(x)=p-1$
- $x>p \Rightarrow f(x)=p$
Thus $\lim {x \rightarrow p-} f(x)=p-1, \lim {x \rightarrow p+} f(x)=p$.
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Formal Definition of Continuity
The following definition is based on the fact that small changes in $x$ lead to small changes in $f(x)$.
Definition $1.1$
$$
\begin{aligned}
&\lim {x \rightarrow p} f(x)=A \text { means } \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \text { s.t. } \ &|f(x)-A|<\varepsilon \text { when } 0<|x-p|<\delta . \end{aligned} $$ Some properties of continuous functions $f(x)$ and $g(x)$ are: $$ \begin{aligned} &\lim {x \rightarrow p}(f(x) \pm g(x))=\lim {x \rightarrow p} f(x) \pm \lim {x \rightarrow p} g(x) \
&\lim {x \rightarrow p}(f(x) g(x))=\lim {x \rightarrow p} f(x) \lim {x \rightarrow p} g(x) \ &\lim {x \rightarrow p} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim {x \rightarrow p} f(x)}{\lim {x \rightarrow p} g(x)}, \quad g(x) \neq 0 .
\end{aligned}
$$
It can be a mathematical challenge to prove that a function is continuous using the above ‘epsilon-delta’ approach in Definition 1.1. One approach is to use the well-known technique of splitting the problem into several mutually exclusive cases, solving each case separately and then merging the corresponding partial solutions to form the desired solution. To this end, let us examine the square root function:
$$
f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, f(x)=\sqrt{x} .
$$
We show that there exists $\delta>0$ such that for $x \geq 0$ :
$$
|x-y|<\delta \Rightarrow|\sqrt{x}-\sqrt{y}|<\epsilon \forall y \in \mathbb{R}^{+} . $$ Then: $$ \sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $$ We now consider two cases: Case $1: x>0$. Then:
$$
|x-y|<\delta \Rightarrow|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \frac{|x-y|}{\sqrt{x}}=\frac{\delta}{\sqrt{x}}=\epsilon
$$
Choose $\delta=\epsilon \sqrt{x}$.
Case $2: x=0$. Then:
$$
|x-y|<\delta \Rightarrow|\sqrt{x}-\sqrt{y}|=\frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{y}{\sqrt{y}}=\sqrt{y}=\epsilon
$$
Hence:
$$
|-y|=|y|<\delta \Rightarrow \sqrt{y}=\epsilon \Rightarrow \sqrt{\delta}<\epsilon \Rightarrow \delta<\epsilon^{2}
$$
Choose $\delta=\epsilon^{2}$.
We have thus proved that the square root function is continuous.
数值方法代写
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|INTRODUCTION AND OBJECTIVES
在本章中，我们介绍了许多构成本书许多主题的数学概念和方法。最紧迫的关注点围绕着实变量的函数、它们的属性以及它们在应用程序中的使用方式。我们讨论了实际分析中最重要的主题，以帮助我们理解偏微分方程 (PDE)。实分析的定义是：
在数学中，实分析是数学分析的一个分支，它研究实数、实数序列和级数以及实函数的行为。实分析研究的实值序列和函数的一些特殊性质包括收敛性、极限、连续性、平滑性、可微性和可积性。
实分析与复分析不同，复分析涉及复数及其函数的研究。
（维基百科）
一个相关的数学分支是微积分，我们在学校学习：
微积分，最初称为无穷小微积分或“无穷小微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何是对形状的研究一样代数是对算术运算的推广的研究。
它有两个主要分支，微积分和积分；前者关注瞬时变化率和曲线的斜率，而积分微积分关注数量的累积，以及曲线下方或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分基本定理相互关联，它们利用无限序列和无限级数收敛到明确定义的极限的基本概念。
（维基百科）
在实践中，微积分和实数分析是有区别的。微积分需要技术（和技巧）来区分和整合功能。它没有讨论函数连续或可微的条件。它假定允许对函数执行这些操作。另一方面，实际分析确实讨论了这些问题以及更多问题。例如：
- 连续函数：我们如何识别它们并证明函数是连续的？
= 不同种类的不连续函数。 - 从实分析的观点看微分。
- 泰勒定理。
= 度量空间和柯西序列的介绍。
我们认为，这些主题是本书其余部分的必要先决条件。矢量（线性）分析和数值线性代数的知识也是计算金融的先决条件。为此，我们将第 4 章和第 5 章专门讨论这些主题。最后，第 16 章介绍了复变量和复函数（它们是复分析的核心）。我们使用符号∀意思是“为所有人”和∃意思是“存在”。
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|CONTINUOUS FUNCTIONS
在本节中，我们主要关注实变量的实值函数，即F:R→R. 粗略地说，连续函数是无需从纸上拿笔就可以用手绘制的函数。换句话说，连续函数没有跳跃或中断，但允许有急剧的弯曲和扭结。连续函数的例子有：
F:R→R,F(X)=X2 F:R→R,F(X)=最大限度(0,X)
我们可以看到这些函数只是通过绘制它们是连续的。第一个函数比第二个函数“更平滑”，后者类似于单因素调用或一方面支付收益和一个整流线性单元 (ReLU) 激活函数
另一方面（Goodfellow、Bengio 和 Courville (2016)）。直观地说，一个函数F是连续的，如果F(X)→F(p)什么时候X→p， 不管怎样X方法p. 或者，在X导致小的变化F(X).
如果我们对上述 ReLU 函数 (1.1) 进行形式化微分，我们得到著名的不连续 Heaviside 函数：
$$
H(x)=\left{0,X<0 1,X≥0\对。
$$
不连续函数是不连续的。另一个不连续函数是：
X∈R,[X]≡最大整数n英石n≤X≤n+1.
定义F(X)=[X]; 让p∈从（整数）。
然后取左右极限给出了不同的答案，表明该函数是不连续的。
- X<p⇒F(X)=p−1
- X>p⇒F(X)=p
因此林X→p−F(X)=p−1,林X→p+F(X)=p.
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Formal Definition of Continuity
以下定义基于以下事实：X导致小的变化F(X).
定义1.1
林X→pF(X)=一种 方法 ∀e>0∃d>0 英石 |F(X)−一种|<e 什么时候 0<|X−p|<d.连续函数的一些性质F(X)和G(X)是：林X→p(F(X)±G(X))=林X→pF(X)±林X→pG(X) 林X→p(F(X)G(X))=林X→pF(X)林X→pG(X) 林X→pF(X)G(X)=林X→pF(X)林X→pG(X),G(X)≠0.
使用定义 1.1 中的上述“epsilon-delta”方法来证明一个函数是连续的可能是一个数学挑战。一种方法是使用众所周知的技术，将问题拆分为几个互斥的案例，分别解决每个案例，然后合并相应的部分解决方案以形成所需的解决方案。为此，让我们检查平方根函数：
F:R+→R+,F(X)=X.
我们证明存在d>0这样对于X≥0 :
|X−是|<d⇒|X−是|<ε∀是∈R+.然后：X−是=X−是X+是我们现在考虑两种情况：1:X>0. 然后：
|X−是|<d⇒|X−是|≤|X−是|X=dX=ε
选择d=εX.
案子2:X=0. 然后：
|X−是|<d⇒|X−是|=|X−是|X+是=是是=是=ε
因此：
|−是|=|是|<d⇒是=ε⇒d<ε⇒d<ε2
选择d=ε2.
因此，我们证明了平方根函数是连续的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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