数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Common Schemes

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如果所有导数的近似值(有限差分、有限元、有限体积等)在步长(Δt、Δx等)趋于零时都趋于精确值,则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间(或迭代)增长,则表示数值方法是稳定的(如IVPs)。

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GraphPad Prism 9 Curve Fitting Guide - Exponential plateau
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Common Schemes

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Common Schemes

We now introduce a number of important and useful difference schemes that approximate the solution of Equation (2.1). These schemes will pop up all over the place in later chapters. Understanding how the schemes work in a simpler context will help you appreciate them when we tackle partial differential equations based on the Black-Scholes model. They also help in our understanding of notation, jargon, and syntax.
The main schemes are:

  • Explicit Euler
  • Implicit Euler
  • Crank-Nicolson (or Box scheme)
  • The trapezoidal method.
    The explicit Euler method is given by:
    $$
    \begin{aligned}
    &\frac{u^{n+1}-u^{n}}{k}+a^{n} u^{n}=f^{n}, n=0, \ldots, N-1 \
    &u^{0}=A
    \end{aligned}
    $$

whereas the implicit Euler method is given by:
$$
\begin{aligned}
&\frac{u^{n+1}-u^{n}}{k}+a^{n+1} u^{n+1}=f^{n+1}, n=0, \ldots, N-1 \
&u^{0}=A
\end{aligned}
$$
Notice the difference: in Equation (2.10) the solution at level $n+1$ can be directly calculated in terms of the solution at level $n$, while in Equation (2.11) we must rearrange terms in order to calculate the solution at level $n+1$.

The next scheme is called the Crank-Nicolson or box scheme, and it can be seen as an average of explicit and implicit Euler schemes. It is given as (see notation in Equation (2.7)):
$\frac{u^{n+1}-u^{n}}{k}+a^{n, \frac{1}{2}} u^{n, \frac{1}{2}}=f^{n, \frac{1}{2}}, n=0, \ldots, N-1$ $u^{0}=A$ where $u^{n, \frac{1}{2}} \equiv \frac{1}{2}\left(u^{n}+u^{n+1}\right)$
It is useful to know that the three schemes can be merged into one generic scheme as it were by introducing a parameter $\theta$ (the scheme is sometimes called the Theta method):
$$
\begin{aligned}
&L(k) u^{n} \equiv \frac{u^{n+1}-u^{n}}{k}+a^{n, \theta} u^{n, \theta}=f^{n, \theta} \
&u^{n, \theta} \equiv \theta u^{n}+(1-\theta) u^{n+1}, 0 \leq \theta \leq 1 \
&f^{n, \theta} \equiv f\left(\theta t_{n}+(1-\theta) t_{n+1}\right)
\end{aligned}
$$
and the special cases are given by:
$$
\begin{aligned}
&\theta=1, \text { explicit Euler } \
&\theta=0, \text { implicit Euler } \
&\theta=\frac{1}{2}, \text { Crank-Nicolson. }
\end{aligned}
$$
The solution of Equation (2.13) is given by:
$$
u^{n+1, \theta} \equiv u^{n+1,}=\frac{\left(1-k \theta a^{n, \theta}\right) u^{n}+k f^{n, \theta}}{1+k(1-\theta) a^{n, \theta}} .
$$
This equation is useful because it can be mapped to $\mathrm{C}++$ code and will be used by other schemes by defining the appropriate value of the parameter $\theta$.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Discrete Maximum Principle

Having developed some difference schemes, we would like to have a way of determining if the discrete solution is a good approximation to the exact solution in some sense. Although we do not deal with this issue in great detail, we do look at stability and convergence issues.

Definition 2.1 The one-step difference scheme $L(k)$ of the form (2.13) is said to be positive if:
$$
L(k) w^{n} \geq 0, n=0, \ldots, N-1, w^{0} \geq 0
$$
implies that $w^{n} \geq 0 \forall n=0, \ldots, N$. Here, $w^{n}$ is a mesh function defined at the mesh points $t_{n}$.

Based on this definition, we see that the implicit Euler scheme is always positive while the explicit Euler scheme is positive if the term:
$$
1-k a^{n} \geq 0 \text { or } k \leq \frac{1}{a^{n}}, n \geq 0
$$
is positive. Thus, if the function $a(t)$ achieves large values (and this happens in practice), we will have to make $k$ very small in order to produce good results. Even worse, if $k$ does not satisfy the constraint in (2.18) then the discrete solution looks nothing like the exact solution, and so-called spurious oscillations occur. This phenomenon occurs in other finite difference schemes, and we propose a number of remedies later in this book.
Definition $2.2$ A difference scheme is stable if its solution is based in much the same way as the solution of the continuous problem (2.1) (see Theorem 2.1), that is:
$$
\left|u^{n}\right| \leq \frac{N}{\alpha}+|A|, \quad n \geq 0
$$
where:
$$
a\left(t_{n}\right) \geq \alpha, n \geq 0,\left|f\left(t_{n}\right)\right| \leq N, n \geq 0
$$
and:
$$
u^{0}=A
$$

Based on the fact that a scheme is stable and consistent (see Dahlquist and Björck (1974)), we can state in general that the error between the exact and discrete solutions is bounded by some polynomial power of the step-size $k$ :
$$
\left|u^{n}-u\left(t_{n}\right)\right| \leq M k^{p}, \quad p=1,2, \ldots, n \geq 0
$$
where $M$ is a constant that is independent of $k$. For example, in the case of schemes $2.10$, $2.11$ and $2.12$ we have:
Implicit Euler: $\left|u^{n}-u\left(t_{n}\right)\right| \leq M k, n=0, \ldots, N$
Crank-Nicolson (Box): $\left|u^{n}-u\left(t_{n}\right)\right| \leq M k^{2}, n=0, \ldots, N$
Explicit Euler: $\left|u^{n}-u\left(t_{n}\right)\right| \leq M k, n=0, \ldots, N$ if $1-a^{n} k>0$.
Thus, we see that the Box method is second-order accurate and is better than the implicit Euler scheme, which is only first-order accurate.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Exponential Fitting

We now introduce a special class of schemes with desirable properties. These are schemes that are suitable for problems with rapidly increasing or decreasing solutions. In the literature these are called stiff or singular perturbation problems (see Duffy (1980)). We can motivate these schemes in the present context. Let us take the problem (2.1) when $a(t)$ is constant and $f(t)$ is zero. The solution $u(t)$ is given by a special case of (2.2), namely:
$$
u(t)=A e^{-a t} .
$$
If $a$ is large then the derivatives of $u(t)$ tend to increase; in fact, at $t=0$, the derivatives are given by:
$$
\frac{d^{k} u(0)}{d t^{k}}=A(-a)^{k}, \quad k=0,1,2, \ldots
$$
The physical interpretation of this fact is that a boundary layer exits near $t=0$ where $u$ is changing rapidly, and it has been shown that classical finite difference schemes fail to give acceptable answers when $a$ is large (typically values between 1000 and 10000). We get so-called spurious oscillations, and this problem is also encountered when solving one-factor and multifactor Black-Scholes equations using finite difference methods. We have resolved this problem using so-called exponentially fitted schemes. We motivate the scheme in the present context, and later chapters describe how to apply it to more complicated cases.

In order to motivate the fitted scheme, consider the case of constant $a(t)$ and $f(t)=0$. We wish to produce a difference scheme in such a way that the discrete solution is equal to the exact solution at the mesh points for this constant-coefficient case. We introduce a so-called fitting factor $\sigma$ in the new scheme:
$$
\left{\begin{array}{l}
\sigma\left(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{k}\right)+a^{n, \theta} u^{n, \theta}=f^{n, \theta}, n=0, \ldots, N-1,0 \leq \theta \leq 1 \
u^{0}=A .
\end{array}\right.
$$
The motivation for finding the fitting factor is to demand that the exact solution of (2.1) (which is known) has the same values as the discrete solution of (2.24) at the mesh points.

Plugging the exact solution (2.22) into $(2.24)$ and doing some simple arithmetic, we get the following representation for the fitting factor $\sigma$ :
$$
\sigma=\frac{a k\left(\theta+(1-\theta) e^{-a k}\right)}{1-e^{-a k}}
$$
Having found the fitting factor for the constant coefficient case, we generalise to a scheme for the case (2.1) as follows:
$$
\begin{aligned}
&\sigma^{n, \theta} \frac{u^{n+1}-u^{n}}{k}+a^{n, \theta} u^{n, \theta}=f^{n, \theta}, n=0, \ldots, N-1,0 \leq \theta \leq 1 \
&u^{0}=A \
&\sigma^{n, \theta}=\frac{a^{n, \theta}\left(\theta+(1-\theta) e^{-a^{n, \theta} k}\right)}{1-e^{-a^{n}, \theta_{k}}} k .
\end{aligned}
$$
In practice we work with a number of special cases:
In the final case coth $(x)$ is the hyperbolic cotangent function.

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数值方法代写

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我们现在介绍一些重要且有用的差分方案,它们近似于方程(2.1)的解。这些方案将在后面的章节中到处出现。当我们处理基于 Black-Scholes 模型的偏微分方程时,了解这些方案如何在更简单的环境中工作将有助于您理解它们。它们还有助于我们理解符号、行话和语法。
主要方案有:

  • 显式欧拉
  • 隐式欧拉
  • Crank-Nicolson(或 Box 方案)
  • 梯形法。
    显式欧拉方法由下式给出:
    在n+1−在nķ+一种n在n=Fn,n=0,…,ñ−1 在0=一种

而隐式欧拉方法由下式给出:
在n+1−在nķ+一种n+1在n+1=Fn+1,n=0,…,ñ−1 在0=一种
注意区别:在方程(2.10)中,水平的解n+1可以根据水平的解直接计算n,而在等式(2.11)中,我们必须重新排列项才能计算水平的解n+1.

下一个方案称为 Crank-Nicolson 或盒方案,它可以看作是显式和隐式 Euler 方案的平均值。它被给出(见公式(2.7)中的符号):
在n+1−在nķ+一种n,12在n,12=Fn,12,n=0,…,ñ−1 在0=一种在哪里在n,12≡12(在n+在n+1)
知道这三个方案可以通过引入一个参数合并为一个通用方案是很有用的θ(该方案有时称为 Theta 方法):
大号(ķ)在n≡在n+1−在nķ+一种n,θ在n,θ=Fn,θ 在n,θ≡θ在n+(1−θ)在n+1,0≤θ≤1 Fn,θ≡F(θ吨n+(1−θ)吨n+1)
特殊情况由下式给出:
θ=1, 显式欧拉  θ=0, 隐式欧拉  θ=12, 曲柄-尼科尔森。 
方程 (2.13) 的解由下式给出:
在n+1,θ≡在n+1,=(1−ķθ一种n,θ)在n+ķFn,θ1+ķ(1−θ)一种n,θ.
这个方程很有用,因为它可以映射到C++代码并将通过定义参数的适当值被其他方案使用θ.

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在开发了一些差分方案之后,我们希望有一种方法来确定离散解在某种意义上是否是精确解的良好近似。虽然我们没有非常详细地处理这个问题,但我们确实关注稳定性和收敛性问题。

定义 2.1 一阶差分方案大号(ķ)如果满足以下条件,则称 (2.13) 形式的为正数:
大号(ķ)在n≥0,n=0,…,ñ−1,在0≥0
暗示在n≥0∀n=0,…,ñ. 这里,在n是在网格点处定义的网格函数吨n.

基于这个定义,我们看到隐式欧拉方案总是正的,而显式欧拉方案是正的,如果以下项:
1−ķ一种n≥0 或者 ķ≤1一种n,n≥0
是积极的。因此,如果函数一种(吨)达到大的价值(这在实践中发生),我们将不得不使ķ非常小才能产生良好的效果。更糟糕的是,如果ķ不满足 (2.18) 中的约束,则离散解看起来不像精确解,并且会出现所谓的寄生振荡。这种现象发生在其他有限差分格式中,我们在本书后面提出了一些补救措施。
定义2.2如果差分方案的解决方案与连续问题 (2.1) 的解决方案基本相同(参见定理 2.1),则差分方案是稳定的,即:
|在n|≤ñ一种+|一种|,n≥0
在哪里:
一种(吨n)≥一种,n≥0,|F(吨n)|≤ñ,n≥0
和:
在0=一种

基于一个方案是稳定和一致的这一事实(参见 Dahlquist 和 Björck (1974)),我们可以概括地说,精确解和离散解之间的误差受步长的一些多项式幂的限制ķ :
|在n−在(吨n)|≤米ķp,p=1,2,…,n≥0
在哪里米是一个独立于ķ. 例如,在方案的情况下2.10, 2.11和2.12我们有:
隐式欧拉:|在n−在(吨n)|≤米ķ,n=0,…,ñ
曲柄-尼科尔森(盒子):|在n−在(吨n)|≤米ķ2,n=0,…,ñ
显式欧拉:|在n−在(吨n)|≤米ķ,n=0,…,ñ如果1−一种nķ>0.
因此,我们看到 Box 方法具有二阶精度,并且优于仅具有一阶精度的隐式 Euler 方案。

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我们现在介绍一类具有理想性质的特殊方案。这些方案适用于解决方案快速增加或减少的问题。在文献中,这些被称为刚性或奇异扰动问题(参见 Duffy (1980))。我们可以在目前的情况下激发这些计划。让我们把问题(2.1)当一种(吨)是恒定的并且F(吨)为零。解决方案在(吨)由 (2.2) 的一个特例给出,即:
在(吨)=一种和−一种吨.
如果一种大,然后的导数在(吨)趋于增加;事实上,在吨=0,导数由下式给出:
dķ在(0)d吨ķ=一种(−一种)ķ,ķ=0,1,2,…
这一事实的物理解释是边界层存在于附近吨=0在哪里在正在迅速变化,并且已经表明经典的有限差分格式在以下情况下无法给出可接受的答案一种很大(通常值在 1000 到 10000 之间)。我们得到所谓的寄生振荡,在使用有限差分法求解单因子和多因子 Black-Scholes 方程时也会遇到这个问题。我们已经使用所谓的指数拟合方案解决了这个问题。我们在当前上下文中提出该方案,后面的章节将描述如何将其应用于更复杂的情况。

为了激发拟合方案,考虑常数的情况一种(吨)和F(吨)=0. 我们希望以这样一种方式产生一个差分方案,即对于这种常数系数情况,离散解等于网格点处的精确解。我们引入一个所谓的拟合因子σ在新方案中:
$$
\left{σ(在n+1−在nķ)+一种n,θ在n,θ=Fn,θ,n=0,…,ñ−1,0≤θ≤1 在0=一种.\对。
$$
寻找拟合因子的动机是要求 (2.1) 的精确解(已知)在网格点处与 (2.24) 的离散解具有相同的值。

将精确解(2.22)代入(2.24)并做一些简单的算术,我们得到拟合因子的以下表示σ :
σ=一种ķ(θ+(1−θ)和−一种ķ)1−和−一种ķ
找到常系数情况的拟合因子后,我们推广到情况(2.1)的方案如下:
σn,θ在n+1−在nķ+一种n,θ在n,θ=Fn,θ,n=0,…,ñ−1,0≤θ≤1 在0=一种 σn,θ=一种n,θ(θ+(1−θ)和−一种n,θķ)1−和−一种n,θķķ.
在实践中,我们处理一些特殊情况:
在最后的情况下 coth(X)是双曲余切函数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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