数学代写|数论代写Number theory代考|MATH 2068

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数论(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数论代写Number theory代考|MATH 2068

数学代写|数论代写Number theory代考|COUNTABLE AND UNCOUNTABLE SETS

Definition 3.6. A set $S$ is said to be countable if there exists a one-to-one function from $S$ to $\mathbb{N}$, the set of natural numbers, and uncountable if it is not countable.

Lemma 3.28. Any finite set is countable; the set of integers is countable.
Lemma 3.29. Let $f$ be a function from $A$ to $B$ and $g$ a function from $B$ to $C$. If $f$ and $g$ are both one-to-one, so is the composite function $g \circ f$. If $g \circ f$ is one-to-one, then so is $f$.

Corollary 3.30. If $T$ is countable and there is a one-to-one function from $S$ to $T$, then $S$ is countable.

Exercise. Give an example to show that if $g \circ f$ is one-to-one, $g$ need not be one-to-one.

Theorem 3.31. If $S$ and $T$ are countable, then so are $S \times T$ and $S \cup T$. If $S$ is countable and $R \subseteq S$, then $R$ is countable.
Proof. Let $f: S \rightarrow \mathbb{N}$ and $g: T \rightarrow \mathbb{N}$ be one-to-one functions. Then
$$
h: S \times T \rightarrow \mathbb{N}, \quad h(s, t)=2^{f(s)} 3^{g(t)}
$$
and
$$
k: S \cup T \rightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N}, \quad k(x)= \begin{cases}(0, f(x)) & \text { if } x \in S \ (1, g(x)) & \text { if } x \notin S\end{cases}
$$
are one-to-one. If $R \subseteq S$, then the restriction $\left.f\right|{R}$ of $f$ to $R$ is one-one. The above constructions can easily be generalised to prove the following. Theorem 3.32. Suppose that the sets $S{0}, S_{1}, S_{2}, \ldots$ are countable. Then

  • $S_{0} \times S_{1} \times \cdots \times S_{n}$ is countable for each natural number $n$;
  • $S_{0} \cup S_{1} \cup S_{2} \cup \cdots$ is countable.
    Exercise. Explain why we need to restrict the Cartesian product in this result to finitely many terms, but do not need to restrict the union in the same way. The second of the above properties can also be extended a little further.
    Theorem 3.33. Let $T$ be countable and suppose that for every $t \in T$, the set $S_{t}$ is countable. Then
    $$
    S=\bigcup_{t \in T} S_{t}
    $$
    is a countable set.

数学代写|数论代写Number theory代考|THE PRIME NUMBER THEOREM

For any real number $x$, we denote by $\pi(x)$ the number of primes less than or equal to $x$. For example, $\pi(1)=0$ and $\pi(10)=4$ and $\pi(100)=\pi(100.5)=25$. The symbol $\pi$ is customary and is used because it is the Greek equivalent of “p”, the first letter of the word “prime” – it has, of course, nothing to do with the trigonometric constant $\pi$. The following result, which gives an estimate for $\pi(x)$ in terms of elementary functions, was proved independently and more or less simultaneously in 1896 by Hadamard [27] and de la Vallée Poussin [65]. A proof is given by Hardy and Wright [29].

Theorem 3.37. The Prime Number Theorem. The number of primes not exceeding $x$ satisfies
$$
\frac{\pi(x)}{x / \log x} \rightarrow 1 \text { as } x \rightarrow \infty
$$
where log denotes the natural (base e) logarithm.

We may use the Prime Number Theorem to estimate the least common multiple of the first $n$ positive integers. Given a prime $p$ and a positive integer $n$, there is a unique non-negative integer $\alpha$ such that $p^{\alpha} \leq n<p^{\alpha+1}$; the least common multiple will be the product of all these powers $p^{\alpha}$. Therefore
$$
L_{n}=\operatorname{lcm}(1,2, \ldots, n)=\prod_{\substack{p \leq n \ p \text { prime }}} p^{\alpha} \leq \prod_{\substack{p \leq n \ p \text { prime }}} n=n^{\pi(n)}
$$
the last equality being true because the product consists of $\pi(n)$ equal factors. Let $c$ be a constant greater than $e$. It follows from the Prime Number Theorem that if $n$ is sufficiently large then
$$
\frac{\pi(n)}{n / \log n}<\log c
$$
and hence
$$
L_{n} \leq n^{\pi(n)}=e^{\pi(n) \log n}<c^{n} .
$$
In section $3.4$ we chose $c=3$ to keep things simple. We could have taken a slightly smaller value, which would have resulted in a slightly larger value for $s$; however, this would have made no significant difference to the result.

数学代写|数论代写Number theory代考|DEFINITION AND BASIC PROPERTIES

Definition 4.1. A finite or infinite expression of the form
$$
a_{0}+\frac{b_{1}}{a_{1}+\frac{b_{2}}{a_{2}+\frac{b_{3}}{a_{3}+\cdots}}}
$$
is called a continued fraction. A simple continued fraction is one in which every $b_{k}$ is 1 , every $a_{k}$ is an integer, and every $a_{k}$ except possibly $a_{0}$ is positive. For a (finite or infinite) simple continued fraction we shall also use the notations
$$
a_{0}+\frac{1}{a_{1}+} \frac{1}{a_{2}+} \frac{1}{a_{3}+\ldots} \quad \text { and } \quad\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\right] .
$$
A finite simple continued fraction is said to represent the number obtained by performing the arithmetic in the obvious way; an infinite simple continued fraction $\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\right]$ represents the real number $\alpha$ if
$$
\alpha=\lim {n \rightarrow \infty}\left[a{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}\right]
$$ Let $k \in \mathbb{N}$. The integer $a_{k}$ is called the $k$ th partial quotient of the continued fraction $\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots\right]$, or of the number $\alpha$ it represents; the continued fraction $\alpha_{k}=\left[a_{k}, a_{k+1}, a_{k+2}, \ldots\right]$ is the kth complete quotient of $\alpha$; and the continued fraction $\left[a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}\right]$ is the kth convergent to $\alpha$.

数学代写|数论代写Number theory代考|MATH 2068

数论代考

数学代写|数论代写Number theory代考|COUNTABLE AND UNCOUNTABLE SETS

定义 3.6。一套小号如果存在一对一的函数,则称它是可数的小号至ñ,自然数的集合,如果不可数,则不可数。

引理 3.28。任何有限集都是可数的;整数集是可数的。
引理 3.29。让F成为一个函数一个至乙和G一个函数乙至C. 如果F和G都是一对一的,复合函数也是G∘F. 如果G∘F是一对一的,那么也是F.

推论 3.30。如果吨是可数的,并且有一个一对一的函数小号至吨, 然后小号是可数的。

锻炼。举个例子说明如果G∘F是一对一的,G不必是一对一的。

定理 3.31。如果小号和吨是可数的,那么也是小号×吨和小号∪吨. 如果小号是可数的并且R⊆小号, 然后R是可数的。
证明。让F:小号→ñ和G:吨→ñ是一对一的函数。然后

H:小号×吨→ñ,H(s,吨)=2F(s)3G(吨)

ķ:小号∪吨→ñ×ñ,ķ(X)={(0,F(X)) 如果 X∈小号 (1,G(X)) 如果 X∉小号
是一对一的。如果R⊆小号, 那么限制 $\left.f\right| {R}○FF吨○R一世s○n和−○n和.吨H和一个b○在和C○ns吨r在C吨一世○nsC一个n和一个s一世l是b和G和n和r一个l一世s和d吨○pr○在和吨H和F○ll○在一世nG.吨H和○r和米3.32.小号在pp○s和吨H一个吨吨H和s和吨sS {0}、S_{1}、S_{2}、\ldots$ 是可数的。然后

  • 小号0×小号1×⋯×小号n对每个自然数都是可数的n;
  • 小号0∪小号1∪小号2∪⋯是可数的。
    锻炼。解释为什么我们需要将这个结果中的笛卡尔积限制为有限多个项,但不需要以相同的方式限制并集。上述第二个属性也可以进一步扩展。
    定理 3.33。让吨是可数的并且假设对于每个吨∈吨, 集合小号吨是可数的。然后
    小号=⋃吨∈吨小号吨
    是可数集。

数学代写|数论代写Number theory代考|THE PRIME NUMBER THEOREM

对于任何实数X,我们表示为圆周率(X)小于或等于的素数个数X. 例如,圆周率(1)=0和圆周率(10)=4和圆周率(100)=圆周率(100.5)=25. 符号圆周率是习惯性的,被使用是因为它在希腊语中相当于“p”,“prime”这个词的第一个字母——当然,它与三角常数无关圆周率. 下面的结果,它给出了一个估计圆周率(X)就初等函数而言,Hadamard [27] 和 de la Vallée Poussin [65] 在 1896 年或多或少地同时独立地证明了。Hardy 和 Wright [29] 给出了证明。

定理 3.37。素数定理。质数不超过X满足

圆周率(X)X/日志⁡X→1 作为 X→∞
其中 log 表示自然(以 e 为底)对数。

我们可以使用素数定理来估计第一个的最小公倍数n正整数。给定一个素数p和一个正整数n, 存在唯一的非负整数一个这样p一个≤n<p一个+1; 最小公倍数将是所有这些幂的乘积p一个. 所以

大号n=厘米⁡(1,2,…,n)=∏p≤n p 主要 p一个≤∏p≤n p 主要 n=n圆周率(n)
最后一个等式为真,因为产品由圆周率(n)等因素。让C是一个大于和. 从素数定理可以得出,如果n那么足够大

圆周率(n)n/日志⁡n<日志⁡C
因此

大号n≤n圆周率(n)=和圆周率(n)日志⁡n<Cn.
在部分3.4我们选择了C=3保持简单。我们本可以取一个稍小的值,这会产生一个稍大的值s; 但是,这不会对结果产生重大影响。

数学代写|数论代写Number theory代考|DEFINITION AND BASIC PROPERTIES

定义 4.1。形式的有限或无限表达

一个0+b1一个1+b2一个2+b3一个3+⋯
称为连分数。简单连分数是其中每bķ是 1 ,每个一个ķ是一个整数,并且每个一个ķ除非可能一个0是积极的。对于(有限或无限)简单连分数,我们还将使用符号

一个0+1一个1+1一个2+1一个3+… 和 [一个0,一个1,一个2,一个3,…].
一个有限简单连分数被称为表示通过以显而易见的方式执行算术获得的数字;一个无限简单连分数[一个0,一个1,一个2,一个3,…]代表实数一个如果

一个=林n→∞[一个0,一个1,一个2,一个3,…,一个n]让ķ∈ñ. 整数一个ķ被称为ķ连分数的部分商[一个0,一个1,一个2,…], 或数一个它代表; 连分数一个ķ=[一个ķ,一个ķ+1,一个ķ+2,…]是的第 k 个完全商一个; 和连分数[一个0,一个1,…,一个ķ]是第 k 个收敛到一个.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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