数学代写|数论代写Number theory代考|MATH2O88

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数论代写Number theory代考|MATH2O88

数学代写|数论代写Number theory代考|DEFINITIONS AND BASIC PROPERTIES

We begin with a definition which was given in a slightly different, but equivalent, form in Chapter $1 .$
Definition 3.1. If the complex number $\alpha$ is a root of a polynomial
$$
a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{1} z+a_{0}
$$
with rational coefficients and $a_{n} \neq 0$, then $\alpha$ is said to be algebraic. Any (complex) number which is not algebraic is called a transcendental number. More generally, if $\alpha$ is a root of a polynomial such as (3.1) with coefficients in a field $\mathbb{F}$, then $\alpha$ is said to be algebraic over $\mathbb{F}$; if there is no such polynomial then $\alpha$ is transcendental over $F$.

Lemma 3.1. Properties of algebraic numbers.

  • A complex number $\alpha$ is algebraic (over $\mathbb{Q}$ ) if and only if it is a root of a non-zero polynomial with integral coefficients.
  • If $\alpha$ is algebraic, then there exists a unique monic polynomial $f_{\alpha}$ having rational coefficients and smallest possible degree, such that $f_{\alpha}(\alpha)=0$. If $g$ is any polynomial with rational coefficients such that $g(\alpha)=0$, then $g$ is a multiple of $f_{\alpha}$.
  • The polynomial $f_{\alpha}$ is irreducible over $\mathbb{Q}$. That is, $f_{\alpha}$ cannot be factorised as the product of two polynomials with rational coefficients and degree smaller than that of $f_{\alpha}$.

Proof. To prove the first assertion, just multiply a polynomial with rational coefficients by a common denominator for its coefficients. In the second statement the existence of $f_{\alpha}$ is clear; if $g(\alpha)=0$ then dividing $g$ by $f_{\alpha}$ gives
$$
g(z)=f_{\alpha}(z) q(z)+r(z)
$$
with $r(\alpha)=0$. But $r$ has smaller degree than $f_{\alpha}$, so $r$ is the zero polynomial and hence $g$ is a multiple of $f_{\alpha}$. The uniqueness of $f_{\alpha}$ follows since if there are two polynomials with the minimal-degree property then each is a factor of the other. To prove irreducibility note that if there is a proper factorisation $f_{\alpha}=g h$ then either $g$ or $h$ has $\alpha$ as a root, thus contradicting the minimality of $f_{\alpha}$.

数学代写|数论代写Number theory代考|Proving polynomials irreducible

The next two results are often useful for proving irreducibility of polynomials.
Lemma 3.4. Eisenstein’s Lemma. Let $f$ be a polynomial with integral coefficients,
$$
f(z)=a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{1} z+a_{0}
$$

suppose that there is a prime $p$ such that $p$ is a factor of $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}$ but not of $a_{n}$, and such that $p^{2}$ is not a factor of $a_{0}$. Then $f$ is irreducible over the field $Q$ of rational numbers.

Proof. By Gauss’ Lemma, we need only show that $f$ cannot be written as the product of two polynomials with integer coefficients and degree less than $n$. Suppose that there are two such polynomials; without loss of generality we may assume that they have the same number of terms, say
$$
f(z)=g(z) h(z)=\left(b_{m} z^{m}+\cdots+b_{1} z+b_{0}\right)\left(c_{m} z^{m}+\cdots+c_{1} z+c_{0}\right)
$$
with $m<n$. Looking at the constant terms, $b_{0} c_{0}=a_{0}$ is divisible by $p$ but not by $p^{2}$; by symmetry, we may assume that $p \mid b_{0}$ and $p \nmid c_{0}$. Multiplying out all the other coefficients shows that $p$ is a factor of $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}$ too. But then $p$ is a factor of every $a_{k}$, including $a_{n}$, and this is contrary to our initial assumption. So $f$ is irreducible.
Examples.

  • The polynomial $z^{3}-12 z^{2}+345 z-6789$ is irreducible since 3 is a prime factor of 12 , of 345 and of 6789 but not of the leading coefficient, and since $3^{2}$ is not a factor of 6789 .
  • A slightly more subtle application of Eisenstein’s Lemma simplifies the proof of irreducibility for
    $$
    f(z)=\frac{z^{5}-1}{z-1}=z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1 .
    $$
    It is not hard to see that we can factorise $f(z)$ if and only if we can factorise
    $$
    f(z+1)=\frac{(z+1)^{5}-1}{z}=z^{4}+5 z^{3}+10 z^{2}+10 z+5
    $$
    but Eisenstein’s Lemma with $p=5$ shows immediately that $f(z+1)$ is irreducible, and hence so is $f(z)$.
  • In fact, if $p$ is any prime then $f(z)=z^{p-1}+z^{p-2}+\cdots+z+1$ can be proved irreducible by the same method. Exercise. Give the details!

数学代写|数论代写Number theory代考|Closure properties of algebraic numbers

Next we shall sketch proofs that the set of (complex) algebraic numbers forms a subfield of $\mathbb{C}$, and that the algebraic integers form an integral domain. These proofs require a certain acquaintance with basic properties of vector spaces and abelian groups; however, the level required is probably too much to summarise in an appendix. Therefore, on this occasion only, we invite the interested reader to refer to other sources for background material. Two of many possibilities are Axler $[8]$ for linear algebra, Stewart and Tall [62] for groups. The reader who prefers to continue with the main topics of this book can safely proceed to section $3.2$ after noting carefully the results of Theorem 3.10, Corollary $3.11$ and Theorem 3.12.
Lemma 3.8. Let $S=\left{\alpha_{k} \mid k \in K\right}$ be a set of complex numbers. Then

  • the set of linear combinations
    $$
    \sum r_{k} \alpha_{k}
    $$
    with finitely many terms and rational coefficients $r_{k}$ is a vector space over the field $\mathbb{Q}$;
  • the set of linear combinations
    $$
    \sum m_{k} \alpha_{k}
    $$
    with finitely many terms and integer coefficients $m_{k}$ is an abelian group under addition.

Lemma 3.9. Finiteness criteria for algebraic numbers. Let $\alpha \in \mathbb{C}$; in the previous lemma take $S=\left{1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots\right}$. Then

  • $\alpha$ is algebraic if and only if the vector space of rational linear combinations of $S$ is finite-dimensional;
  • $\alpha$ is an algebraic integer if and only if the group of integer linear combinations of $S$ is finitely generated.

Sketch of proof. If $\alpha$ is algebraic of degree $n$, then all powers of $\alpha$ can be written as linear combinations of $\left{1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{n-1}\right}$, so the vector space has a spanning set (in fact, a basis) with $n$ elements, and so is finite dimensional. Conversely, if the vector space has dimension $n$, then $\left{1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{n}\right}$ is a linearly dependent set, and this yields a polynomial identity satisfied by $\alpha$.
If $\alpha$ is an algebraic integer of degree $n$, then every power of $\alpha$ can be written as an integral linear combination of $\left{1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{n-1}\right}$, and so this set generates the group. Conversely, suppose that the group is generated by $n$ elements $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. Each of these is an integer linear combination of powers of $\alpha$; therefore so are $\alpha p_{1}, \alpha p_{2}, \ldots, \alpha p_{n}$, and we can write equations
$$
\alpha p_{k}=m_{k 1} p_{1}+m_{k 2} p_{2}+\cdots+m_{k n} p_{n} \quad \text { for } \quad k=1,2, \ldots, n
$$

数学代写|数论代写Number theory代考|MATH2O88

数论代考

数学代写|数论代写Number theory代考|DEFINITIONS AND BASIC PROPERTIES

我们从一个定义开始,这个定义在第1.
定义 3.1。如果复数一个是多项式的根

一个n和n+一个n−1和n−1+⋯+一个1和+一个0
有理系数和一个n≠0, 然后一个据说是代数的。任何不是代数的(复)数都称为超越数。更一般地说,如果一个是多项式的根,例如 (3.1),其系数在域中F, 然后一个据说是代数的F; 如果没有这样的多项式,那么一个是超越的F.

引理 3.1。代数数的性质。

  • 一个复数一个是代数的(超过问) 当且仅当它是具有整数系数的非零多项式的根。
  • 如果一个是代数的,则存在唯一的一元多项式F一个具有有理系数和最小可能度数,使得F一个(一个)=0. 如果G是任何具有有理系数的多项式,使得G(一个)=0, 然后G是的倍数F一个.
  • 多项式F一个是不可约的问. 那是,F一个不能被分解为两个有理系数和次数小于的多项式的乘积F一个.

证明。为了证明第一个断言,只需将具有有理系数的多项式乘以其系数的公分母即可。在第二个陈述中,存在F一个清楚了; 如果G(一个)=0然后除G经过F一个给

G(和)=F一个(和)q(和)+r(和)
和r(一个)=0. 但r度数小于F一个, 所以r是零多项式,因此G是的倍数F一个. 的独特性F一个遵循,因为如果有两个多项式具有最小度属性,那么每个多项式都是另一个的因子。为了证明不可约性,请注意如果存在适当的因式分解F一个=GH然后要么G或者H有一个作为一个根,因此与最小性相矛盾F一个.

数学代写|数论代写Number theory代考|Proving polynomials irreducible

接下来的两个结果通常可用于证明多项式的不可约性。
引理 3.4。爱森斯坦引理。让F是具有整数系数的多项式,

F(和)=一个n和n+一个n−1和n−1+⋯+一个1和+一个0

假设有一个素数p这样p是一个因素一个0,一个1,…,一个n−1但不是一个n,这样p2不是一个因素一个0. 然后F在场上是不可约的问的有理数。

证明。根据高斯引理,我们只需证明F不能写成两个具有整数系数且次数小于的多项式的乘积n. 假设有两个这样的多项式;在不失一般性的情况下,我们可以假设它们具有相同数量的术语,例如

F(和)=G(和)H(和)=(b米和米+⋯+b1和+b0)(C米和米+⋯+C1和+C0)
和米<n. 看着常数项,b0C0=一个0可以被p但不是通过p2; 通过对称性,我们可以假设p∣b0和p∤C0. 乘以所有其他系数表明p是一个因素b1,b2,…,b米也。但是之后p是每一个因素一个ķ, 包含一个n,这与我们最初的假设相反。所以F是不可约的。
例子。

  • 多项式和3−12和2+345和−6789是不可约的,因为 3 是 12 、 345 和 6789 的质因数,但不是主要系数,并且因为32不是 6789 的因数。
  • 爱森斯坦引理的稍微更微妙的应用简化了不可约性的证明
    F(和)=和5−1和−1=和4+和3+和2+和+1.
    不难看出我们可以分解F(和)当且仅当我们可以分解
    F(和+1)=(和+1)5−1和=和4+5和3+10和2+10和+5
    但是爱森斯坦的引理p=5立即表明F(和+1)是不可约的,因此也是F(和).
  • 事实上,如果p是任何素数F(和)=和p−1+和p−2+⋯+和+1可以用同样的方法证明不可约。锻炼。给个细节!

数学代写|数论代写Number theory代考|Closure properties of algebraic numbers

接下来,我们将勾勒出(复)代数数集形成的子域的证明C,并且代数整数形成一个积分域。这些证明需要对向量空间和阿贝尔群的基本性质有一定的了解;但是,所需的级别可能太多,无法在附录中进行总结。因此,仅在这种情况下,我们邀请感兴趣的读者参考其他来源的背景材料。许多可能性中的两种是 Axler[8]对于线性代数,Stewart 和 Tall [62] 用于组。喜欢继续阅读本书主要主题的读者可以安全地继续阅读章节3.2在仔细注意定理 3.10 的结果后,推论3.11和定理 3.12。
引理 3.8。让S=\left{\alpha_{k} \mid k \in K\right}S=\left{\alpha_{k} \mid k \in K\right}是一组复数。然后

  • 线性组合的集合
    ∑rķ一个ķ
    具有有限多项和有理系数rķ是场上的向量空间问;
  • 线性组合的集合
    ∑米ķ一个ķ
    具有有限多项和整数系数米ķ是加法下的阿贝尔群。

引理 3.9。代数数的有限性准则。让一个∈C; 在前面的引理中S=\left{1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots\right}S=\left{1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots\right}. 然后

  • 一个是代数的当且仅当小号是有限维的;
  • 一个是一个代数整数当且仅当整数线性组合的群小号是有限生成的。

证明草图。如果一个是度数的代数n, 那么所有的权力一个可以写成的线性组合\left{1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{n-1}\right}\left{1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{n-1}\right},所以向量空间有一个生成集(实际上是一个基)n元素,有限维也是。相反,如果向量空间有维度n, 然后\left{1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{n}\right}\left{1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{n}\right}是一个线性相关的集合,这会产生一个满足的多项式恒等式一个.
如果一个是度的代数整数n,那么每一个幂一个可以写成一个整数线性组合\left{1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{n-1}\right}\left{1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{n-1}\right},所以这个集合生成组。相反,假设该组是由n元素p1,p2,…,pn. 这些中的每一个都是幂的整数线性组合一个; 因此也是一个p1,一个p2,…,一个pn, 我们可以写出方程

一个pķ=米ķ1p1+米ķ2p2+⋯+米ķnpn 为了 ķ=1,2,…,n

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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