数学代写|数论代写Number theory代考|MATH4304

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数论(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数论代写Number theory代考|MATH4304

数学代写|数论代写Number theory代考|How many semitones should there be in an octave

In musical theory, the interval of an octave contains twelve semitones. Musically inclined mathematicians (or mathematically talented musicians) may have wondered if there is anything special about the number twelve. Could one work with a musical system of, say, eleven, thirteen or forty-one semitones to the octave? In this section we shall use continued fractions to see that there are very good reasons for having twelve notes in an octave. For readers who may be unfamiliar with basic musical terminology, a brief summary is given in appendix 4 at the end of this chapter.

There are coherent acoustical reasons for asserting that a combination of two musical notes at different pitches will be pleasing to the ear if the ratio of their frequencies is a “simple” rational number. The simplest ratios are $\frac{2}{1}$ and $\frac{3}{2}$; in musical terminology these correspond to the intervals of the octave and the (perfect) fifth respectively. Suppose that we take a fixed note as the basis of a tonal system, and build upon this foundation two sequences of intervals, one consisting of fifths and the other of octaves. In order to obtain a coherent system of finitely many notes rather than an infinite mess, we require these two sequences to meet again at some point. Suppose, then, that $p$ perfect fifths exactly equal $q$ octaves; in terms of frequencies, we have
$$
\left(\frac{3}{2}\right)^{p}=2^{q}
$$
Unfortunately, as is easily proved, this equation has no solutions in integers except for $p=q=0$, which is musically trivial. So we shall once again employ continued fractions to find the best possible approximate solutions. Rewriting the above equation to find the desired (but unachievable) value of $p / q$, and then computing its continued fraction, we obtain
$$
\frac{p}{q} \approx \frac{\log 2}{\log \frac{3}{2}}=1+\frac{1}{1+} \frac{1}{2+} \frac{1}{2+} \frac{1}{3+} \frac{1}{1+} \frac{1}{5+} \frac{1}{2+} \frac{1}{23+} \frac{1}{2+} \ldots
$$
whose first few convergents are
$$
\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{5}{3}, \frac{12}{7}, \frac{41}{24}, \frac{53}{31}
$$

数学代写|数论代写Number theory代考|A “COMPUTATIONAL” TEST FOR RATIONALITY

Continued fractions can sometimes be used to give us an idea (though not necessarily a proof) that a certain number, presented as an infinite decimal, may be rational. For example, in connection with Apéry’s irrationality proof for $\zeta(3)$ it was conjectured, see $[66]$, that $\zeta(4)$ can be written as a sum
$$
\zeta(4)=c \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}\left(\begin{array}{c}
2 n \
n
\end{array}\right)}
$$
with $c \in \mathbb{Q}$. Since it is known that $\zeta(4)=\pi^{4} / 90$, the claim is, in effect, that
$$
c=\pi^{4} / 90 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}\left(\begin{array}{c}
2 n \
n
\end{array}\right)}
$$
is rational. Evaluating $c$ to 10 significant figures (which can be done by taking the first 10 terms of the sum) and then calculating its continued fraction gives
$$
c \approx 2.117647059=2+\frac{1}{8+} \frac{1}{2+} \frac{1}{19607842+} \ldots .
$$
Now the partial quotients in the continued fraction of a “sensible” real number generally consist of fairly small integers. In fact it can be shown (see, for example, Khinchin [35], section 16) that for a “randomly chosen” real number, a proportion about
$$
\log _{2}\left(\frac{a+1}{a} / \frac{a+2}{a+1}\right)
$$
of the partial quotients should be equal to a given positive integer $a$; doing the appropriate calculations, we find that about $42 \%$ of the partial quotients should be 1 , about $17 \%$ should be 2 , and so on. One suspects, then, that the partial quotient 19607842 is due to numerical inaccuracy, and that the continued fraction should have terminated at the previous partial quotient. Therefore, it seems reasonable to believe that
$$
c=2+\frac{1}{8+} \frac{1}{2}=\frac{36}{17} .
$$
Obviously this does not constitute a rigorous proof, but in fact, it is possible to prove that $c$ has the value $\frac{36}{17}$, as conjectured.

数学代写|数论代写Number theory代考|FURTHER APPROXIMATION PROPERTIES OF CONVERGENTS

We know that for every irrational $\alpha$ the inequality
$$
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{2}}
$$
has infinitely many solutions, and that for certain $\alpha$ the right-hand side can be decreased by substituting for $q^{2}$ a higher power $q^{s}$. Indeed, if $\alpha$ is a Liouville number then we can choose arbitrarily large $s$ and still find infinitely many solutions; on the other hand, we know from Liouville’s Theorem, page 49 , that if $\alpha$ is a quadratic irrational then the exponent 2 cannot be increased at all.
Thus, if we want a result which is true for all $\alpha$, we cannot decrease the right-hand side of the above inequality by increasing $s$. Perhaps, however, we could replace the 1 in the numerator by something smaller. Indeed, we can, for the comment following Theorem $4.13$ shows that 1 can be replaced by $\frac{1}{2}$. Can we do even better than this?

Recall that convergents give “the best” approximations to a real number $\alpha$, and that the approximations are especially good when the next partial quotient is large. Consider what happens if the “next partial quotient” of $\alpha$ is never large. An extreme example of such a number is
$$
\alpha=1+\frac{1}{1+} \frac{1}{1+} \frac{1}{1+\ldots}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
$$
In this case it is plain that every complete quotient $\alpha_{k}$ is equal to $\alpha$. Moreover, if we calculate the first few convergents to $\alpha$ it is very easy to conjecture, and equally easy to prove by induction, that $q_{k}=p_{k-1}$ for $k \geq-1$. (It is also easy to show, though unimportant at present, that the numerators $p_{k}$ and denominators $q_{k}$ are just the Fibonacci numbers.) Therefore, from equation $(4.5)$, we have
$$
\left|\alpha-\frac{p_{k}}{q_{k}}\right|=\frac{1}{\left(\alpha q_{k}+q_{k-1}\right) q_{k}}=\frac{1}{\left(\alpha+q_{k-1} / q_{k}\right) q_{k}^{2}} \approx \frac{1}{\left(\alpha+\alpha^{-1}\right) q_{k}^{2}}=\frac{1}{\sqrt{5} q_{k}^{2}}
$$
Since we do not expect that any real irrational number will have worse rational approximations than $\alpha$, the following result is plausible.

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数论代考

数学代写|数论代写Number theory代考|How many semitones should there be in an octave

在音乐理论中,一个八度的音程包含十二个半音。有音乐倾向的数学家(或有数学天赋的音乐家)可能想知道十二这个数字是否有什么特别之处。一个人可以使用一个八度音阶为十一个、十三个或四十一个半音的音乐系统吗?在本节中,我们将使用连分数来了解在一个八度音程中有十二个音符有很好的理由。对于可能不熟悉基本音乐术语的读者,本章末尾的附录 4 给出了简要总结。

如果两个音符的频率之比是一个“简单的”有理数,那么断言不同音高的两个音符的组合会令人悦耳,这是有连贯的声学原因的。最简单的比率是21和32; 在音乐术语中,它们分别对应于八度音程和(完美)五度的音程。假设我们将一个固定的音符作为音调系统的基础,并在此基础上建立两个音程序列,一个由五度组成,另一个由八度组成。为了获得一个由有限多个音符组成的连贯系统,而不是无限混乱,我们要求这两个序列在​​某个点再次相遇。那么,假设p完全五度完全相等q八度;在频率方面,我们有

(32)p=2q
不幸的是,很容易证明,这个方程没有整数解,除了p=q=0,这在音乐上是微不足道的。因此,我们将再次使用连分数来找到可能的最佳近似解。重写上述等式以找到所需(但无法实现)的值p/q,然后计算它的连分数,我们得到

pq≈日志⁡2日志⁡32=1+11+12+12+13+11+15+12+123+12+…
其前几个收敛点是

11,21,53,127,4124,5331

数学代写|数论代写Number theory代考|A “COMPUTATIONAL” TEST FOR RATIONALITY

连分数有时可以用来给我们一个想法(尽管不一定是证明),即以无限小数表示的某个数字可能是有理数。例如,关于 Apéry 的非理性证明G(3)推测,见[66], 那G(4)可以写成总和

G(4)=C∑n=1∞1n4(2n n)
和C∈问. 既然众所周知G(4)=圆周率4/90, 该主张实际上是

C=圆周率4/90∑n=1∞1n4(2n n)
是理性的。评估C到 10 位有效数字(可以通过取和的前 10 项来完成),然后计算其连分数给出

C≈2.117647059=2+18+12+119607842+….
现在,“合理”实数的连分数中的部分商通常由相当小的整数组成。事实上,可以证明(例如,参见 Khinchin [35],第 16 节)对于“随机选择的”实数,大约

日志2⁡(一个+1一个/一个+2一个+1)
的部分商应该等于给定的正整数一个; 做适当的计算,我们发现大约42%的部分商应该是 1 ,大约17%应该是 2 ,依此类推。因此,有人怀疑部分商 19607842 是由于数值不准确造成的,并且连分数应该在前一个部分商处终止。因此,似乎有理由相信

C=2+18+12=3617.
显然这并不构成严格的证明,但事实上,可以证明C有价值3617,正如推测的那样。

数学代写|数论代写Number theory代考|FURTHER APPROXIMATION PROPERTIES OF CONVERGENTS

我们知道,对于每一个非理性的一个不平等

|一个−pq|<1q2
有无穷多个解,而且肯定一个右边可以通过代入来减少q2更高的权力qs. 确实,如果一个是一个刘维尔数,那么我们可以选择任意大s仍然可以找到无限多的解决方案;另一方面,我们从刘维尔定理第 49 页知道,如果一个是二次无理数,则指数 2 根本无法增加。
因此,如果我们想要一个对所有人都正确的结果一个,我们不能通过增加s. 然而,也许我们可以用更小的东西代替分子中的 1。事实上,我们可以,对于以下定理的评论4.13表明 1 可以替换为12. 我们还能做得比这更好吗?

回想一下,收敛函数给出了实数的“最佳”近似值一个,并且当下一个部分商很大时,近似值特别好。考虑如果“下一个部分商”会发生什么一个永远不会很大。这种数字的一个极端例子是

一个=1+11+11+11+…=1+52
在这种情况下,很明显每个完全商一个ķ等于一个. 此外,如果我们计算前几个收敛一个很容易推测,同样容易通过归纳证明,qķ=pķ−1为了ķ≥−1. (虽然目前并不重要,但也很容易证明分子pķ和分母qķ只是斐波那契数。)因此,从等式(4.5), 我们有

|一个−pķqķ|=1(一个qķ+qķ−1)qķ=1(一个+qķ−1/qķ)qķ2≈1(一个+一个−1)qķ2=15qķ2
因为我们不期望任何实数无理数的有理逼近比一个,下面的结果是合理的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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