### 数学代写|数论代写Number theory代考|MTH3003

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## 数学代写|数论代写Number theory代考|CONTINUED FRACTIONS OF IRRATIONAL NUMBERS

Consider again our (presumed) continued fraction for $\sqrt{2}$. Using the tabular method, or otherwise, we find that the first few convergents to $\sqrt{2}$ are
$$\frac{1}{1}, \quad \frac{3}{2}, \quad \frac{7}{5}, \quad \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \quad \frac{239}{169}, \quad \frac{577}{408}, \ldots$$
Evaluating these convergents (and, if necessary, a few more) as decimals, it is not hard to convince ourselves that the convergents $p_{2 k} / q_{2 k}$ with even indices form an increasing sequence converging to the limit $\sqrt{2}$, while the convergents $p_{2 k+1} / q_{2 k+1}$ with odd indices form a decreasing sequence which converges to the same limit. In fact, this observation is the key to proving that an infinite simple continued fraction always converges; having done so, we shall find it easy to confirm that the continued fraction for $\sqrt{2}$ is as we have conjectured.
Lemma 4.4. Oscillation of convergents. Let $p_{k} / q_{k}$ be the $k$ th convergent to the infinite simple continued fraction $\alpha=\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots\right]$. Then
$$\frac{p_{0}}{q_{0}}<\frac{p_{2}}{q_{2}}<\frac{p_{4}}{q_{4}}<\cdots<\frac{p_{5}}{q_{5}}<\frac{p_{3}}{q_{3}}<\frac{p_{1}}{q_{1}} .$$
Moreover, $q_{k}$ increases without limit as $k \rightarrow \infty$.
Proof. It is obvious that $p_{0} / q_{0}<p_{1} / q_{1}$. For any $k \geq 2$, we have
$$\frac{p_{k}}{q_{k}}=\frac{a_{k} p_{k-1}+p_{k-2}}{a_{k} q_{k-1}+q_{k-2}}$$
since all terms involved are positive, a result from elementary algebra (see appendix 1) shows that $p_{k} / q_{k}$ lies between $p_{k-1} / q_{k-1}$ and $p_{k-2} / q_{k-2}$. Applying this result repeatedly proves (4.1). To prove the second part of the lemma, note first that $q_{0}=1$ and $q_{1}=a_{1} \geq 1$; then for $k \geq 2$, we have
$$q_{k}=a_{k} q_{k-1}+q_{k-2} \geq q_{k-1}+q_{k-2} \geq q_{k-1}+1$$
and so $q_{k} \rightarrow \infty$ as $k \rightarrow \infty$

## 数学代写|数论代写Number theory代考|APPROXIMATION PROPERTIES OF CONVERGENTS

Having proved all that we need about representation of numbers by continued fractions, we proceed to investigate what continued fractions can tell us about the approximation of irrationals by rationals. This will link the present topic with that of the previous chapter. First, some equalities and inequalities concerning the difference between a number and its convergents.

Lemma 4.10. Let $\alpha=\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots\right]$ be an infinite simple continued fraction with convergents $p_{k} / q_{k}$ and complete quotients $\alpha_{k}$. Then for $k \geq 0$ we have
$$\left|\alpha-\frac{p_{k}}{q_{k}}\right|=\frac{1}{\left(\alpha_{k+1} q_{k}+q_{k-1}\right) q_{k}}<\frac{1}{q_{k+1} q_{k}} \leq \frac{1}{a_{k+1} q_{k}^{2}} .$$

## 数学代写|数论代写Number theory代考|How many days should we count in a calendar year

Euler 在 [25] 中解决了这个问题。难点在于，为了方便使用，日历确实应该包含整数天数，而一个太阳年的实际长度（即从一个北春分到下一个春分的时间）可以测量为 365天 5 小时 48 分 46 秒。如果一年包含准确的天数，并且总是相同的数字，日历将无法与季节同步；喜欢在 12 月初左右完成考试然后前往海滩的学生1会在某个（不是很遥远！）日期发现十二月的天气相当不适合这个。现代历法创造的主要动力来自于中世纪时期，当时人们意识到历法中累积的错误最终会导致复活节，这是北半球传统上的春节，在隆冬庆祝。

pq=1046343200.

1046343200=14+17+11+13+15+164,

14,729,833,31128,163673 和 1046343200.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。