数学代写|数论代写Number theory代考|MTH3003

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数论(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数论代写Number theory代考|MTH3003

数学代写|数论代写Number theory代考|CONTINUED FRACTIONS OF IRRATIONAL NUMBERS

Consider again our (presumed) continued fraction for $\sqrt{2}$. Using the tabular method, or otherwise, we find that the first few convergents to $\sqrt{2}$ are
$$
\frac{1}{1}, \quad \frac{3}{2}, \quad \frac{7}{5}, \quad \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \quad \frac{239}{169}, \quad \frac{577}{408}, \ldots
$$
Evaluating these convergents (and, if necessary, a few more) as decimals, it is not hard to convince ourselves that the convergents $p_{2 k} / q_{2 k}$ with even indices form an increasing sequence converging to the limit $\sqrt{2}$, while the convergents $p_{2 k+1} / q_{2 k+1}$ with odd indices form a decreasing sequence which converges to the same limit. In fact, this observation is the key to proving that an infinite simple continued fraction always converges; having done so, we shall find it easy to confirm that the continued fraction for $\sqrt{2}$ is as we have conjectured.
Lemma 4.4. Oscillation of convergents. Let $p_{k} / q_{k}$ be the $k$ th convergent to the infinite simple continued fraction $\alpha=\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots\right]$. Then
$$
\frac{p_{0}}{q_{0}}<\frac{p_{2}}{q_{2}}<\frac{p_{4}}{q_{4}}<\cdots<\frac{p_{5}}{q_{5}}<\frac{p_{3}}{q_{3}}<\frac{p_{1}}{q_{1}} .
$$
Moreover, $q_{k}$ increases without limit as $k \rightarrow \infty$.
Proof. It is obvious that $p_{0} / q_{0}<p_{1} / q_{1}$. For any $k \geq 2$, we have
$$
\frac{p_{k}}{q_{k}}=\frac{a_{k} p_{k-1}+p_{k-2}}{a_{k} q_{k-1}+q_{k-2}}
$$
since all terms involved are positive, a result from elementary algebra (see appendix 1) shows that $p_{k} / q_{k}$ lies between $p_{k-1} / q_{k-1}$ and $p_{k-2} / q_{k-2}$. Applying this result repeatedly proves (4.1). To prove the second part of the lemma, note first that $q_{0}=1$ and $q_{1}=a_{1} \geq 1$; then for $k \geq 2$, we have
$$
q_{k}=a_{k} q_{k-1}+q_{k-2} \geq q_{k-1}+q_{k-2} \geq q_{k-1}+1
$$
and so $q_{k} \rightarrow \infty$ as $k \rightarrow \infty$

数学代写|数论代写Number theory代考|APPROXIMATION PROPERTIES OF CONVERGENTS

Having proved all that we need about representation of numbers by continued fractions, we proceed to investigate what continued fractions can tell us about the approximation of irrationals by rationals. This will link the present topic with that of the previous chapter. First, some equalities and inequalities concerning the difference between a number and its convergents.

Lemma 4.10. Let $\alpha=\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots\right]$ be an infinite simple continued fraction with convergents $p_{k} / q_{k}$ and complete quotients $\alpha_{k}$. Then for $k \geq 0$ we have
$$
\left|\alpha-\frac{p_{k}}{q_{k}}\right|=\frac{1}{\left(\alpha_{k+1} q_{k}+q_{k-1}\right) q_{k}}<\frac{1}{q_{k+1} q_{k}} \leq \frac{1}{a_{k+1} q_{k}^{2}} .
$$

If $\alpha=\left[a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}\right]$ is a finite continued fraction, then the same relations hold for $0 \leq ka_{k+1} q_{k}+q_{k-1}=q_{k+1} \geq a_{k+1} q_{k} .
$$

数学代写|数论代写Number theory代考|How many days should we count in a calendar year

This problem was addressed by Euler in [25]. The difficulty is that for convenience of use, the calendar really should contain an integral number of days per year, whereas the actual length of a solar year (that is, the period from one northern spring equinox to the next) can be measured as 365 days, 5 hours, 48 minutes and 46 seconds. If a year were to contain an exact number of days, and always the same number, the calendar would not keep pace with the seasons; students who like to finish their exams around the beginning of December and then head for the beach ${ }^{1}$ would at some (not very distant!) date find the weather in December rather unsuitable for this. The main impetus for the creation of the modern calendar came in the mediæval period, when it was realised that accumulated errors in the calendar would eventually lead to Easter, traditionally a spring festival in the northern hemisphere, being celebrated in midwinter.

The solution to the calendar problem is, in outline, simple and well known: we adopt 365 days as the standard length of a year, and decree that certain leap years shall be allocated one extra day. The difficulty lies in the details. How shall we determine precisely which years are to be leap years?

Suppose that in a cycle of $q$ years we add an extra day in each of $p$ years. Then the average length of a calendar year will be $365+p / q$ days, and we would like this to equal the observed length of a solar year. Converting the above data into a rational number of days, and deducting 365 , we want
$$
\frac{p}{q}=\frac{10463}{43200} .
$$
While we could obtain an exact fit to the observations by choosing 10463 years in every 432 centuries as leap years, and then repeating the pattern, it is clear that such a scheme would be too cumbersome for practical use. What we need, therefore, is a good approximation to $p / q$ having a much smaller denominator; and as we have seen, this is a question which can be answered by examining the convergents of $p / q$. We may compute the continued fraction
$$
\frac{10463}{43200}=\frac{1}{4+} \frac{1}{7+} \frac{1}{1+} \frac{1}{3+} \frac{1}{5+} \frac{1}{64},
$$

from which we find the convergents
$$
\frac{1}{4}, \frac{7}{29}, \frac{8}{33}, \frac{31}{128}, \frac{163}{673} \text { and } \frac{10463}{43200} .
$$

数学代写|数论代写Number theory代考|MTH3003

数论代考

数学代写|数论代写Number theory代考|CONTINUED FRACTIONS OF IRRATIONAL NUMBERS

再次考虑我们的(假定的)连分数2. 使用表格方法或其他方法,我们发现前几个收敛于2是

11,32,75,1712,4129,9970,239169,577408,…
将这些收敛(如果有必要的话,更多)评估为小数,不难说服我们自己p2ķ/q2ķ偶数索引形成一个递增的序列,收敛到极限2, 而收敛p2ķ+1/q2ķ+1奇数索引形成一个收敛到相同极限的递减序列。事实上,这个观察是证明无限简单连分数总是收敛的关键;这样做之后,我们会发现很容易确认2就像我们猜想的那样。
引理 4.4。收敛的振荡。让pķ/qķ成为ķth 收敛到无限简单连分数一个=[一个0,一个1,一个2,…]. 然后

p0q0<p2q2<p4q4<⋯<p5q5<p3q3<p1q1.
而且,qķ无限制地增加ķ→∞.
证明。很明显,p0/q0<p1/q1. 对于任何ķ≥2, 我们有

pķqķ=一个ķpķ−1+pķ−2一个ķqķ−1+qķ−2
由于所涉及的所有项都是正数,初等代数的结果(见附录 1)表明pķ/qķ介于pķ−1/qķ−1和pķ−2/qķ−2. 反复应用这个结果证明(4.1)。为了证明引理的第二部分,首先注意q0=1和q1=一个1≥1; 那么对于ķ≥2, 我们有

qķ=一个ķqķ−1+qķ−2≥qķ−1+qķ−2≥qķ−1+1
所以qķ→∞作为ķ→∞

数学代写|数论代写Number theory代考|APPROXIMATION PROPERTIES OF CONVERGENTS

在证明了关于用连分数表示数字所需的一切之后,我们继续研究连分数可以告诉我们有理数对无理数的逼近。这将把当前主题与上一章的主题联系起来。首先,关于数与其收敛数之差的一些等式和不等式。

引理 4.10。让一个=[一个0,一个1,一个2,…]是具有收敛性的无限简单连分数pķ/qķ和完全商一个ķ. 那么对于ķ≥0我们有

|一个−pķqķ|=1(一个ķ+1qķ+qķ−1)qķ<1qķ+1qķ≤1一个ķ+1qķ2.

如果一个=[一个0,一个1,…,一个n]是一个有限连分数,那么同样的关系成立0≤ķ一个ķ+1qķ+qķ−1=qķ+1≥一个ķ+1qķ.$

数学代写|数论代写Number theory代考|How many days should we count in a calendar year

Euler 在 [25] 中解决了这个问题。难点在于,为了方便使用,日历确实应该包含整数天数,而一个太阳年的实际长度(即从一个北春分到下一个春分的时间)可以测量为 365天 5 小时 48 分 46 秒。如果一年包含准确的天数,并且总是相同的数字,日历将无法与季节同步;喜欢在 12 月初左右完成考试然后前往海滩的学生1会在某个(不是很遥远!)日期发现十二月的天气相当不适合这个。现代历法创造的主要动力来自于中世纪时期,当时人们意识到历法中累积的错误最终会导致复活节,这是北半球传统上的春节,在隆冬庆祝。

历法问题的解决方案,概括地说,简单而广为人知:我们采用 365 天作为一年的标准长度,并规定某些闰年应多分配一天。困难在于细节。我们如何准确地确定哪些年份是闰年?

假设在一个循环中q年我们每增加一天p年。那么一个日历年的平均长度将是365+p/q天,我们希望这等于观测到的一个太阳年的长度。将上述数据转换为有理天数,再减去 365 ,我们要

pq=1046343200.
虽然我们可以通过在每 432 个世纪中选择 10463 年作为闰年,然后重复该模式来获得与观测结果的精确拟合,但显然这样的方案对于实际使用来说过于繁琐。因此,我们需要的是一个很好的近似p/q分母要小得多;正如我们已经看到的,这是一个可以通过检查p/q. 我们可以计算连分数

1046343200=14+17+11+13+15+164,

我们从中找到收敛点

14,729,833,31128,163673 和 1046343200.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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