数学代写|数论代写Number theory代考|MXB 251

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数论代写Number theory代考|MXB 251

数学代写|数论代写Number theory代考|COMPUTING THE CONTINUED FRACTION OF AN ALGEBRAIC IRRATIONAL

Let $\alpha$ be a root of a known irreducible polynomial $f$ with degree $n \geq 2$ and integral coefficients. We shall assume that $\alpha>1$, and that $f$ has no other roots $\beta>1$. In this case there is a very simple algorithm to find the zeroth partial quotient $a_{0}=\lfloor\alpha\rfloor$ : calculate $f(1), f(2), f(3), \ldots$ until a change of sign occurs; then $a_{0}$ is the last argument before the change of sign. Since $\alpha$ is irrational we have $a_{0}<\alpha1$ since $0<\alpha-a_{0}<1$; so $f_{1}$ has a real root greater than 1 . Conversely, if $\beta$ is any such root of $f_{1}$, then $a_{0}+1 / \beta$ is a root of $f$ and hence $a_{0}+1 / \beta=\alpha$. Because $f_{1}$ is a polynomial having integral coefficients and a unique real root $\alpha_{1}>1$, the procedure can be iterated to find the sequence of partial quotients of $\alpha$. Observe that the complete quotients $\alpha=\alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots$ need never be calculated, so we do not have the problem of calculating decimal expansions to many places: all our calculations will be performed in terms of integer arithmetic, and so the process will be free of rounding errors.

Example. We can find the continued fraction for $\sqrt[3]{2}$ by starting with the polynomial $f(z)=f_{0}(z)=z^{3}-2$. We have
$$
\begin{aligned}
f_{0}(z)=z^{3}-2, & a_{0}=1 \
f_{1}(z)=-z^{3}+3 z^{2}+3 z+1, & a_{1}=3 \
f_{2}(z)=10 z^{3}-6 z^{2}-6 z-1, & a_{2}=1 \
f_{3}(z)=-3 z^{3}+12 z^{2}+24 z+10, & a_{3}=5 \
f_{4}(z)=55 z^{3}-81 z^{2}-33 z-3, & a_{4}=1 \
f_{5}(z)=-62 z^{3}-30 z^{2}+84 z+55, & a_{5}=1 \
f_{6}(z)=47 z^{3}-162 z^{2}-216 z-62, & a_{6}=4
\end{aligned}
$$
and so
$$
\sqrt[3]{2}=1+\frac{1}{3+} \frac{1}{1+} \frac{1}{5+} \frac{1}{1+} \frac{1}{1+} \frac{1}{4+} \cdots
$$

数学代写|数论代写Number theory代考|THE CONTINUED FRACTION OF e

We shall determine the continued fractions for a class of numbers related to the exponential constant $e$. To do so, we first consider the functions defined by the infinite series
$$
f(c ; z)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{c(c+1) \cdots(c+k-1)} \frac{z^{k}}{k !}
$$
here the parameter $c$ is any real number except $0,-1,-2, \ldots$, and it is easy to show that the series converges for all $z$. To simplify the notation we write $c^{(k)}=c(c+1) \cdots(c+k-1)$, with the understanding that $c^{(0)}=1$; thus
$$
f(c ; z)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{c^{(k)}} \frac{z^{k}}{k !} .
$$
The expression $c^{(k)}$ is referred to as ” $c$ rising factorial $k$ “. It satisfies the two important recurrences
$$
c^{(k+1)}=c^{(k)}(c+k)=c(c+1)^{(k)},
$$
both of which are instances of the more general relation $c^{(k+m)}=c^{(k)}(c+k)^{(m)}$.
Lemma 4.18. Let $c$ be a positive real number, $z$ a non-zero real number and $k$ a non-negative integer; then
$$
\frac{c}{z} \frac{f\left(c ; z^{2}\right)}{f\left(c+1 ; z^{2}\right)}=\left[\frac{c}{z}, \frac{c+1}{z}, \ldots, \frac{c+k-1}{z}, \frac{c+k}{z} \frac{f\left(c+k ; z^{2}\right)}{f\left(c+k+1 ; z^{2}\right)}\right] .
$$
Proof. First, observe that under the stated conditions $f\left(c+k+1 ; z^{2}\right)$ is given by a series of positive terms, so it does not vanish and the last term in the continued fraction makes sense. From (4.14) the rising factorials satisfy
$$
\frac{1}{c^{(k)}}=\frac{c+k}{c^{(k+1)}}=\frac{1}{(c+1)^{(k)}}+\frac{k}{c^{(k+1)}},
$$
and hence
$$
f(c ; z)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(c+1)^{(k)}} \frac{z^{k}}{k !}+\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k}{c^{(k+1)}} \frac{z^{k}}{k !} .
$$
The first series on the right-hand side is evidently $f(c+1 ; z)$. The second may be written
$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{c^{(k+1)}} \frac{z^{k}}{(k-1) !}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{c^{(k+2)}} \frac{z^{k+1}}{k !}=\frac{z}{c(c+1)} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(c+2)^{(k)}} \frac{z^{k}}{k !},
$$
and we have the second-order recurrence
$$
f(c ; z)=f(c+1 ; z)+\frac{z}{c(c+1)} f(c+2 ; z)
$$

数学代写|数论代写Number theory代考|SIMULTANEOUS EQUATIONS WITH INTEGRAL COEFFICIENTS

Let $a, b, c, d$ and $p, q$ be integers. If $a d-b c=\pm 1$, then the simultaneous equations
$$
\left{\begin{array}{l}
a x+b y=p \
c x+d y=q
\end{array}\right.
$$
have an integral solution $x, y$. Conversely, if the system has an integral solution for all integers $p, q$, then $a d-b c=\pm 1$.
Proof. The solution can be written
$$
\left(\begin{array}{l}
x \
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
a & b \
c & d
\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{l}
p \
q
\end{array}\right)=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc}
d & -b \
-c & a
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
p \
q
\end{array}\right)=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{l}
d p-b q \
a q-c p
\end{array}\right)
$$
provided that $a d-b c \neq 0$. It is clear that if $a d-b c=\pm 1$, then $x$ and $y$ are integers. Conversely, suppose that $|a d-b c|>1$ and consider the solutions when $p=1, q=0$ and when $p=0, q=1$. If these solutions are to be integers, then $a d-b c$ must be a factor of $a, b, c$ and $d$. But this leads to
$$
(a d-b c)^{2} \mid a d-b c
$$
which is impossible. Finally note that if $a d-b c=0$, then there exist $p, q$ for which the system has no solution at all, and therefore certainly no integral solution.

Exercise. Let $A$ be an $n \times n$ matrix with integral entries. Show that the linear equations $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ have a solution $\mathbf{x}$ with integral components for all integer vectors $\mathbf{b}$, if and only if $\operatorname{det}(A)=\pm 1$.

数学代写|数论代写Number theory代考|MXB 251

数论代考

数学代写|数论代写Number theory代考|COMPUTING THE CONTINUED FRACTION OF AN ALGEBRAIC IRRATIONAL

让一个是已知不可约多项式的根F有学位n≥2和积分系数。我们将假设一个>1, 然后F没有其他根源b>1. 在这种情况下,有一个非常简单的算法可以找到第零个部分商一个0=⌊一个⌋: 计算F(1),F(2),F(3),…直到符号发生变化;然后一个0是符号改变前的最后一个参数。自从一个是不合理的,我们有一个0<一个1自从0<一个−一个0<1; 所以F1有一个大于 1 的实根。相反,如果b是任何这样的根F1, 然后一个0+1/b是一个根F因此一个0+1/b=一个. 因为F1是具有整数系数和唯一实根的多项式一个1>1,可以迭代该过程以找到部分商的序列一个. 观察完全商一个=一个0,一个1,一个2,…永远不需要计算,所以我们不存在计算多位小数扩展的问题:我们所有的计算都将以整数运算的形式进行,因此该过程不会出现舍入误差。

例子。我们可以找到连分数23从多项式开始F(和)=F0(和)=和3−2. 我们有

F0(和)=和3−2,一个0=1 F1(和)=−和3+3和2+3和+1,一个1=3 F2(和)=10和3−6和2−6和−1,一个2=1 F3(和)=−3和3+12和2+24和+10,一个3=5 F4(和)=55和3−81和2−33和−3,一个4=1 F5(和)=−62和3−30和2+84和+55,一个5=1 F6(和)=47和3−162和2−216和−62,一个6=4
所以

23=1+13+11+15+11+11+14+⋯

数学代写|数论代写Number theory代考|THE CONTINUED FRACTION OF e

我们将确定与指数常数相关的一类数字的连分数和. 为此,我们首先考虑由无穷级数定义的函数

F(C;和)=∑ķ=0∞1C(C+1)⋯(C+ķ−1)和ķķ!
这里的参数C是任何实数,除了0,−1,−2,…,并且很容易证明该级数对所有人都收敛和. 为了简化我们写的符号C(ķ)=C(C+1)⋯(C+ķ−1), 理解为C(0)=1; 因此

F(C;和)=∑ķ=0∞1C(ķ)和ķķ!.
表达方式C(ķ)被称为“C上升阶乘ķ“。它满足两个重要的递归

C(ķ+1)=C(ķ)(C+ķ)=C(C+1)(ķ),
两者都是更一般关系的实例C(ķ+米)=C(ķ)(C+ķ)(米).
引理 4.18。让C为正实数,和一个非零实数和ķ一个非负整数;然后

C和F(C;和2)F(C+1;和2)=[C和,C+1和,…,C+ķ−1和,C+ķ和F(C+ķ;和2)F(C+ķ+1;和2)].
证明。首先,在规定的条件下观察F(C+ķ+1;和2)由一系列正项给出,因此它不会消失并且连分数中的最后一项是有意义的。从 (4.14) 上升阶乘满足

1C(ķ)=C+ķC(ķ+1)=1(C+1)(ķ)+ķC(ķ+1),
因此

F(C;和)=∑ķ=0∞1(C+1)(ķ)和ķķ!+∑ķ=0∞ķC(ķ+1)和ķķ!.
右边的第一个系列显然是F(C+1;和). 第二个可以写

∑ķ=1∞1C(ķ+1)和ķ(ķ−1)!=∑ķ=0∞1C(ķ+2)和ķ+1ķ!=和C(C+1)∑ķ=0∞1(C+2)(ķ)和ķķ!,
我们有二阶递归

F(C;和)=F(C+1;和)+和C(C+1)F(C+2;和)

数学代写|数论代写Number theory代考|SIMULTANEOUS EQUATIONS WITH INTEGRAL COEFFICIENTS

让一个,b,C,d和p,q是整数。如果一个d−bC=±1, 那么联立方程
$$
\left{

一个X+b是=p CX+d是=q\正确的。

H一个在和一个n一世n吨和Gr一个ls○l在吨一世○n$X,是$.C○n在和rs和l是,一世F吨H和s是s吨和米H一个s一个n一世n吨和Gr一个ls○l在吨一世○nF○r一个ll一世n吨和G和rs$p,q$,吨H和n$一个d−bC=±1$.磷r○○F.吨H和s○l在吨一世○nC一个nb和在r一世吨吨和n
\剩下(

X 是\右)=\左(

一个b Cd\right)^{-1}\left(

p q\right)=\frac{1}{a db c}\left(

d−b −C一个\右左(

p q\right)=\frac{1}{a db c}\left(

dp−bq 一个q−Cp\正确的)

pr○在一世d和d吨H一个吨$一个d−bC≠0$.我吨一世sCl和一个r吨H一个吨一世F$一个d−bC=±1$,吨H和n$X$一个nd$是$一个r和一世n吨和G和rs.C○n在和rs和l是,s在pp○s和吨H一个吨$|一个d−bC|>1$一个ndC○ns一世d和r吨H和s○l在吨一世○ns在H和n$p=1,q=0$一个nd在H和n$p=0,q=1$.我F吨H和s和s○l在吨一世○ns一个r和吨○b和一世n吨和G和rs,吨H和n$一个d−bC$米在s吨b和一个F一个C吨○r○F$一个,b,C$一个nd$d$.乙在吨吨H一世sl和一个ds吨○
(a db c)^{2} \mid a db c
$$
这是不可能的。最后注意如果一个d−bC=0, 那么存在p,q系统根本没有解,因此肯定没有积分解。

锻炼。让一个豆n×n具有整数项的矩阵。证明线性方程一个X=b有解决办法X具有所有整数向量的整数分量b, 当且仅当这⁡(一个)=±1.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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