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数学代写|数论代写Number theory代考|IRRATIONALITY OF π
Similar ideas can be used to prove the irrationality of $\pi$, and more generally, of $\cos r$ if $r$ is rational and non-zero. Our aim will be to integrate $f(x) \sin x$ for suitable functions $f$; we shall find that the polynomial used in previous proofs is not always suitable.
Theorem 2.4. $\pi$ is irrational.
Proof. Suppose that $\pi=a / b$; define
$$
f(x)=\frac{\left(a x-b x^{2}\right)^{n}}{n !}=\frac{x^{n}(a-b x)^{n}}{n !}
$$
and once again integrate by parts:
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x d x &=(f(\pi)+f(0))+\int_{0}^{\pi} f^{\prime}(x) \cos x d x \
&=(f(\pi)+f(0))-\int_{0}^{\pi} f^{\prime \prime}(x) \sin x d x
\end{aligned}
$$
In the second integration, we have used the fact that $\sin \pi=\sin 0=0$. Continuing to integrate in the same way we obtain
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x d x &=(f(\pi)+f(0))-\left(f^{\prime \prime}(\pi)+f^{\prime \prime}(0)\right)+\cdots \
&=F(\pi)+F(0)
\end{aligned}
$$
where
$$
F(x)=f(x)-f^{\prime \prime}(x)+f^{(\mathrm{iv})}(x)-f^{(\mathrm{vi})}(x)+\cdots
$$
Using Lemma $2.1$ (derivatives of polynomials), and recalling that by assumption $\pi=a / b$, we see that both $F(\pi)$ and $F(0)$ are integers. But $f(x) \sin x$ is always positive for $0<x<\pi$ and we have
$$
0<\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x d x \leq \pi \frac{(a \pi)^{n}}{n !} .
$$
If $n$ is sufficiently large, the right-hand side is less than 1 , and we have a contradiction in the usual manner. Therefore, $\pi$ is irrational.
Comment. We might reasonably expect to obtain a similar proof by using the integral
$$
\int_{0}^{\pi} f(x) \cos x d x
$$
with the same polynomial $f(x)$. In fact, the attempt fails utterly! (Exercise. Explain why.) We can, however, prove the irrationality of $\pi$ by considering
$$
\int_{-\pi}^{\pi} \frac{(a-b x)^{n}(a+b x)^{n}}{n !} \cos x d x
$$
though in this case, the integrand is not always positive for $-\pi<x<\pi$, and the fact that the integral is non-zero (while possibly “obvious” from figure 2.1) is slightly tricky to prove carefully.
Figure 2.1 The graph of $y=\left(a^{2}-b^{2} x^{2}\right)^{n} \cos x$.
数学代写|数论代写Number theory代考|SOME RESULTS OF ELEMENTARY CALCULUS
Theorem 2.5. Irrationality of cosines. If $r$ is rational and not zero, then $\cos r$ is irrational.
Proof. Let $r=a / b$ be a non-zero rational; assume that $\cos r=p / q$. Without loss of generality assume that $a$ and $b$, and hence $r$, are positive. Choose
$$
f(x)=x^{n}(a-b x)^{2 n}(2 a-b x)^{n} ;
$$
in this case we find it more convenient not to include $n$ ! in the denominator. Integrating twice by parts yields
$$
\int_{0}^{r} f(x) \sin x d x=f(0)-f(r) \cos r+f^{\prime}(r) \sin r-\int_{0}^{r} f^{\prime \prime}(x) \sin x d x
$$
repeating the procedure and writing
$$
F(x)=f(x)-f^{\prime \prime}(x)+f^{(\mathrm{iv})}(x)-f^{(\mathrm{vi})}(x)+\cdots
$$
gives eventually
$$
\int_{0}^{r} f(x) \sin x d x=F(0)-F(r) \cos r+F^{\prime}(r) \sin r .
$$
Now observe that $f(x)$ is a polynomial in $(a-b x)^{2}$, since
$$
f(x)=\frac{(a-b x)^{2 n}\left(a^{2}-(a-b x)^{2}\right)^{n}}{b^{n}} ;
$$
if we set $g(x)=x^{2 n}\left(a^{2}-x^{2}\right)^{n}$, then $g$ is an even function and so $g^{(k)}(0)=0$ whenever $k$ is odd. But we have
$$
\begin{aligned}
f(x)=b^{-n} g(a-b x) & \Rightarrow f^{(k)}(x)=(-b)^{k} b^{-n} g^{(k)}(a-b x) \
& \Rightarrow \quad f^{(k)}(r)=-b^{k-n} g^{(k)}(0)=0 \quad \text { for odd } k,
\end{aligned}
$$
and so $F^{\prime}(r)=0$. Therefore, we can rewrite (2.6) as
$$
q \int_{0}^{r} f(x) \sin x d x=q F(0)-p F(r) .
$$
Now applying the lemma on derivatives of polynomials shows that $f^{(k)}(r)$ is a multiple of $(2 n) !$, and hence also a multiple of $(n+1)$ !, for all $k$. In the case of $f^{(k)}(0)$, we need a little more information than is given by the lemma. Since
$$
f^{(k)}(0)=k ! \times\left{\text { coefficient of } x^{k}\right}
$$
we see that $f^{(k)}(0)$ is zero for $kn$. Moreover, for $k=n$ we have
$$
f^{(n)}(0)=n ! 2^{n} a^{3 n}
$$
The proof of Theorem $2.4$ can be viewed in a slightly different light. Taking $r=\pi$, we assumed that $r$ is rational and used the fact that $\cos r$ is rational to reach a contradiction. However, the proof relied vitally on the fact that $\sin \pi=0$, so one could not expect exactly the same proof to work for arbitrary rational $r$. Nevertheless, it turns out that by modifying the proof somewhat, we can prove the following result.
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Proofs of the following results are again left up to the reader. If assistance is required, any basic calculus text should suffice.
Lemma 2.7. For any real constants $\beta$ and $\gamma$, we have
$$
\frac{\beta \gamma^{n}}{n !} \rightarrow 0 \quad \text { as } n \rightarrow \infty
$$
Corollary 2.8. Comparison of exponentials and factorials. If $\beta$ and $\gamma$ are real constants, then $\left|\beta \gamma^{n}\right|<n$ ! for all sufficiently large integers $n$.
Lemma 2.9. Derivatives of even and odd functions. Let $f$ be a differentiable function from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$. Then
- $f$ is even if and only if $f^{\prime}$ is odd;
- if $f$ is odd then $f^{\prime}$ is even.
Exercise. Why is the converse of the second result not true? Fill in the gap and then prove the statement:
“if $f^{\prime}$ is even and … then $f$ is odd”.
Corollary 2.10. If $g$ is an odd function, then $g^{(k)}(0)=0$ for all even $k$. If $g$ is an even function, then $g^{(k)}(0)=0$ for all odd $k$.
Lemma 2.11. Derivatives of a product (Leibniz’ rule). If $k \geq 0$, then
$$
\frac{d^{k}(u v)}{d x^{k}}=\sum_{j=0}^{k}\left(\begin{array}{l}
k \
j
\end{array}\right) \frac{d^{j} u}{d x^{j}} \frac{d^{k-j} v}{d x^{k-j}}
$$
数论代考
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类似的想法可以用来证明圆周率，更一般地说，因r如果r是有理且非零的。我们的目标是整合F(X)罪X适合功能F; 我们会发现以前证明中使用的多项式并不总是合适的。
定理 2.4。圆周率是不合理的。
证明。假设圆周率=一个/b; 定义
F(X)=(一个X−bX2)nn!=Xn(一个−bX)nn!
并再次按部分集成：
∫0圆周率F(X)罪XdX=(F(圆周率)+F(0))+∫0圆周率F′(X)因XdX =(F(圆周率)+F(0))−∫0圆周率F′′(X)罪XdX
在第二个集成中，我们使用了以下事实罪圆周率=罪0=0. 继续以我们获得的相同方式整合
∫0圆周率F(X)罪XdX=(F(圆周率)+F(0))−(F′′(圆周率)+F′′(0))+⋯ =F(圆周率)+F(0)
在哪里
F(X)=F(X)−F′′(X)+F(一世在)(X)−F(在一世)(X)+⋯
使用引理2.1（多项式的导数），并通过假设回忆圆周率=一个/b, 我们看到两者F(圆周率)和F(0)是整数。但F(X)罪X总是积极的0<X<圆周率我们有
0<∫0圆周率F(X)罪XdX≤圆周率(一个圆周率)nn!.
如果n足够大，右手边小于 1 ，我们以通常的方式有一个矛盾。所以，圆周率是不合理的。
评论。我们可以合理地期望通过使用积分来获得类似的证明
∫0圆周率F(X)因XdX
具有相同的多项式F(X). 事实上，尝试完全失败了！（练习。解释原因。）然而，我们可以证明圆周率通过考虑
∫−圆周率圆周率(一个−bX)n(一个+bX)nn!因XdX
虽然在这种情况下，被积函数并不总是积极的−圆周率<X<圆周率，并且积分不为零的事实（虽然从图 2.1 中可能“显而易见”）要仔细证明有点棘手。
图 2.1是=(一个2−b2X2)n因X.
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定理 2.5。余弦的非理性。如果r是有理数而不是零，那么因r是不合理的。
证明。让r=一个/b是一个非零有理数；假使，假设因r=p/q. 不失一般性假设一个和b， 因此r, 为正。选择
F(X)=Xn(一个−bX)2n(2一个−bX)n;
在这种情况下，我们发现不包括在内更方便n！在分母中。按零件积分两次产量
∫0rF(X)罪XdX=F(0)−F(r)因r+F′(r)罪r−∫0rF′′(X)罪XdX
重复该过程并写入
F(X)=F(X)−F′′(X)+F(一世在)(X)−F(在一世)(X)+⋯
最终给出
∫0rF(X)罪XdX=F(0)−F(r)因r+F′(r)罪r.
现在观察F(X)是多项式(一个−bX)2， 自从
F(X)=(一个−bX)2n(一个2−(一个−bX)2)nbn;
如果我们设置G(X)=X2n(一个2−X2)n， 然后G是一个偶函数，所以G(ķ)(0)=0每当ķ很奇怪。但是我们有
F(X)=b−nG(一个−bX)⇒F(ķ)(X)=(−b)ķb−nG(ķ)(一个−bX) ⇒F(ķ)(r)=−bķ−nG(ķ)(0)=0 对于奇数 ķ,
所以F′(r)=0. 因此，我们可以将（2.6）式改写为
q∫0rF(X)罪XdX=qF(0)−pF(r).
现在将引理应用于多项式的导数表明F(ķ)(r)是的倍数(2n)!，因此也是(n+1)！， 对所有人ķ. 如果是F(ķ)(0)，我们需要比引理提供的更多信息。自从
f^{(k)}(0)=k ！\times\left{\text { } x^{k}\right} 的系数f^{(k)}(0)=k ！\times\left{\text { } x^{k}\right} 的系数
我们看到F(ķ)(0)为零ķn. 此外，对于ķ=n我们有
F(n)(0)=n!2n一个3n
定理的证明2.4可以在稍微不同的光线下观看。服用r=圆周率, 我们假设r是理性的并且使用了这样一个事实因r达到矛盾是理性的。然而，证明主要依赖于这样一个事实：罪圆周率=0，所以不能指望完全相同的证明适用于任意理性r. 然而，事实证明，通过稍微修改证明，我们可以证明以下结果。
数学代写|数论代写Number theory代考|SOME RESULTS OF ELEMENTARY CALCULUS
以下结果的证明再次留给读者。如果需要帮助，任何基本的微积分文本就足够了。
引理 2.7。对于任何实常数b和C， 我们有
bCnn!→0 作为 n→∞
推论 2.8。指数和阶乘的比较。如果b和C是实常数，那么|bCn|<n！对于所有足够大的整数n.
引理 2.9。偶函数和奇函数的导数。让F是一个可微函数R至R. 然后
- F是即使且仅当F′很奇怪；
- 如果F那么奇怪F′甚至。
锻炼。为什么第二个结果的反面不成立？填补空白，然后证明陈述：
“如果F′是偶数，然后……然后F很奇怪”。
推论 2.10。如果G是奇函数，那么G(ķ)(0)=0甚至所有人ķ. 如果G是偶函数，那么G(ķ)(0)=0对于所有奇怪的ķ.
引理 2.11。产品的衍生物（莱布尼茨规则）。如果ķ≥0， 然后
dķ(在在)dXķ=∑j=0ķ(ķ j)dj在dXjdķ−j在dXķ−j
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
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时间序列分析代写
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回归分析代写
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