### 数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH2088

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## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Simple Criteria of Divisibility

We say that $d$ divides (without remainder) a natural number $n$, if there exists $k \in \mathbb{N}$ such that $n=d \cdot k$. In this case we shall write
$$d \mid n$$
for instance, $3 \mid 6$. The number $d$ is called a divisor of the number $n$ and the numbers 1 and $n$ are called trivial divisors of $n$. If $1<d<n$, then $d$ is called a nontrivial divisor, and if $d<n$, then $d$ is called a proper divisor of $n$. If $m$ does not divide $n$, we shall write $m \nmid n$, for instance, $5 \nmid 6$. Similar definitions can also be introduced for integer numbers when $m \neq 0$. An integer divisible by 2 is called even, otherwise odd.
Theorem 1.1 A natural number $n$ written in the decimal system is divisible by
(a) two, if its last digit is even,
(b) three, if the sum of all its digits is divisible by 3 ,
(c) four, if the number formed by the last two digits of $n$ is divisible by 4 ,
(d) five, if its last digit is 0 or 5 ,
(e) $\operatorname{six}$, if it is even and divisible by 3 ,
(f) seven, if twice the number of hundreds increased by the number formed by the last two digits is divisible by 7,
(g) eight, if the number formed by the last three digits of $n$ is divisible by 8 ,
(h) nine, if the sum of all its digits is divisible by 9 ,
(i) ten, if its last digit is 0 .

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Least Common Multiple and the Greatest

Let $m$ and $n$ be arbitrary natural numbers. Denote by $M \subset \mathbb{N}$ a subset of all common multiples of $m$ and $n$. The set $M$ is clearly nonempty, because it contains e.g. the product $m n$. Since $\mathbb{N}$ is well ordered, $M$ must contain a smallest element, which we denote by $[m, n]$ and call the least common multiple of the numbers $m, n \in \mathbb{N}$. Thus, it is the smallest natural number divisible by both $m$ and $n$.

Similarly, the greatest common divisor of two integer numbers $m$ and $n$, which are not zero at the same time, is the largest integer that divides both $m$ and $n$. The greatest common divisor of numbers $m$ and $n$ will be denoted by $(m, n)$.

A basic property of the largest common divisor and least common multiple is obviously
$$(m, n)=(n, m), \quad[m, n]=[n, m] .$$
For $k, m, n \in \mathbb{N}$ the following distributive properties hold
$$[k,(m, n)]=([k, m],[k, n]) \text { and }(k,[m, n])=[(k, m),(k, n)] .$$

Theorem $1.2$ For any natural numbers $m$ and $n$ we have
$$m n=(m, n)[m, n] .$$
Proof Denote by $d \geq 1$ an arbitrary common divisor of $m$ and $n$. Then $\frac{m}{d}$ and $\frac{n}{d}$ are natural numbers, $\frac{m}{d} n$ is an integer multiple of the number $n$, and $\frac{n}{d} m$ is an integer multiple of the number $m$. Therefore, $\frac{m n}{d}$ is a common multiple of the numbers $m$ and $n$. Now if $d$ is the greatest common divisor of the numbers $m$ and $n$, then $\frac{m n}{d}$ has to be the least common multiple $m$ and $n$.

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Simple Criteria of Divisibility

$$d \mid n$$

(a) 2整除，如果它的最后一位是偶数，
(b) 三，如果所有数字的总和可以被 3 整除，
(c) 四，如果最后两位组成的数字的位数 $n$ 能被 4 整除，
(d) 5 ，如果最后一位是 0 或 5 ，
(e)six，如果它是偶数并且能被 3 整除，
(f) 七，如果百位数的两倍加上最后两位数字组成的数字可以被 7 整除，
(g) 八，如果最后三位数字组成的数字的 $n$ 可被 8 整除，
(h) 九，如果其所有数字的总和可被 9 整除，
(i) 十，如果其最后一位为 0 。

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Least Common Multiple and the Greatest

$$(m, n)=(n, m), \quad[m, n]=[n, m] .$$

$$[k,(m, n)]=([k, m],[k, n]) \text { and }(k,[m, n])=[(k, m),(k, n)] .$$

$$m n=(m, n)[m, n]$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。