数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Jointly Distributed Random Variables

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随机过程是随机量在时间或空间上演变的概率模型。演变受不同时间或地点的随机量之间的某种依赖关系所支配。

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  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Jointly Distributed Random Variables

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Joint Distribution Functions

Thus far, we have concerned ourselves with the probability distribution of a single random variable. However, we are often interested in probability statements concerning two or more random variables. To deal with such probabilities, we define, for any

two random variables $X$ and $Y$, the joint cumulative probability distribution function of $X$ and $Y$ by
$$
F(a, b)=P{X \leq a, Y \leq b}, \quad-\infty0} p(x, y)
$$
Similarly,
$$
p_{Y}(y)=\sum_{x: p(x, y)>0} p(x, y)
$$

The probability mass function of $X$ may be obtained from $p(x, y)$ by
$$
p_{X}(x)=\sum_{y: p(x, y)>0} p(x, y)
$$
Similarly,
$$
p_{Y}(y)=\sum_{x: p(x, y)>0} p(x, y)
$$
We say that $X$ and $Y$ are jointly continuous if there exists a function $f(x, y)$, defined for all real $x$ and $y$, having the property that for all sets $A$ and $B$ of real numbers
$$
P{X \in A, Y \in B}=\int_{B} \int_{A} f(x, y) d x d y
$$
The function $f(x, y)$ is called the joint probability density function of $X$ and $Y$. The probability density of $X$ can be obtained from a knowledge of $f(x, y)$ by the following reasoning:
$$
\begin{aligned}
P{X \in A} &=P{X \in A, Y \in(-\infty, \infty)} \
&=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{A} f(x, y) d x d y \
&=\int_{A} f_{X}(x) d x
\end{aligned}
$$

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Independent Random Variables

The random variables $X$ and $Y$ are said to be independent if, for all $a, b$,
$$
P{X \leq a, Y \leq b}=P{X \leq a} P{Y \leq b}
$$
In other words, $X$ and $Y$ are independent if, for all $a$ and $b$, the events $E_{a}={X \leq a}$ and $F_{b}={Y \leq b}$ are independent.

In terms of the joint distribution function $F$ of $X$ and $Y$, we have that $X$ and $Y$ are independent if
$$
F(a, b)=F_{X}(a) F_{Y}(b) \quad \text { for all } a, b
$$
When $X$ and $Y$ are discrete, the condition of independence reduces to
$$
p(x, y)=p_{X}(x) p_{Y}(y)
$$
while if $X$ and $Y$ are jointly continuous, independence reduces to
$$
f(x, y)=f_{X}(x) f_{Y}(y)
$$

To prove this statement, consider first the discrete version, and suppose that the joint probability mass function $p(x, y)$ satisfies Eq. (2.13). Then
$$
\begin{aligned}
P{X \leq a, Y \leq b} &=\sum_{y \leq b} \sum_{x \leq a} p(x, y) \
&=\sum_{y \leq b} \sum_{x \leq a} p_{X}(x) p_{Y}(y) \
&=\sum_{y \leq b} p_{Y}(y) \sum_{x \leq a} p_{X}(x) \
&=P{Y \leq b} P{X \leq a}
\end{aligned}
$$
and so $X$ and $Y$ are independent. That Eq. (2.14) implies independence in the continuous case is proven in the same manner and is left as an exercise.
An important result concerning independence is the following.

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Covariance and Variance of Sums of Random Variables

The covariance of any two random variables $X$ and $Y$, denoted by $\operatorname{Cov}(X, Y)$, is defined by
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Cov}(X, Y) &=E[(X-E[X])(Y-E[Y])] \
&=E[X Y-Y E[X]-X E[Y]+E[X] E[Y]] \
&=E[X Y]-E[Y] E[X]-E[X] E[Y]+E[X] E[Y] \
&=E[X Y]-E[X] E[Y]
\end{aligned}
$$
Note that if $X$ and $Y$ are independent, then by Proposition $2.3$ it follows that $\operatorname{Cov}(X, Y)=0$

Let us consider now the special case where $X$ and $Y$ are indicator variables for whether or not the events $A$ and $B$ occur. That is, for events $A$ and $B$, define
$$
X=\left{\begin{array}{ll}
1, & \text { if } A \text { occurs } \
0, & \text { otherwise, }
\end{array} \quad Y= \begin{cases}1, & \text { if } B \text { occurs } \
0, & \text { otherwise }\end{cases}\right.
$$
Then,
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=E[X Y]-E[X] E[Y]
$$
and, because $X Y$ will equal 1 or 0 depending on whether or not both $X$ and $Y$ equal 1 , we see that
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=P{X=1, Y=1}-P{X=1} P{Y=1}
$$
From this we see that
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Cov}(X, Y)>0 & \Leftrightarrow P{X=1, Y=1}>P{X=1} P{Y=1} \
& \Leftrightarrow \frac{P{X=1, Y=1}}{P{X=1}}>P{Y=1} \
& \Leftrightarrow P{Y=1 \mid X=1}>P{Y=1}
\end{aligned}
$$
That is, the covariance of $X$ and $Y$ is positive if the outcome $X=1$ makes it more likely that $Y=1$ (which, as is easily seen by symmetry, also implies the reverse).
In general it can be shown that a positive value of $\operatorname{Cov}(X, Y)$ is an indication that $Y$ tends to increase as $X$ does, whereas a negative value indicates that $Y$ tends to decrease as $X$ increases.

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Jointly Distributed Random Variables

概率模型和随机过程代考

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Joint Distribution Functions

到目前为止,我们关注的是单个随机变量的概率分布。然而,我们经常对涉及两个或多个随机变量的概率陈述感兴趣。为了处理这样的概率,我们定义,对于任何

两个随机变量X和是, 的联合累积概率分布函数X和是经过

F(a, b)=P{X \leq a, Y \leq b}, \quad-\infty0} p(x, y)F(a, b)=P{X \leq a, Y \leq b}, \quad-\infty0} p(x, y)
相似地,

p是(是)=∑X:p(X,是)>0p(X,是)

的概率质量函数X可以从p(X,是)经过

pX(X)=∑是:p(X,是)>0p(X,是)
相似地,

p是(是)=∑X:p(X,是)>0p(X,是)
我们说X和是如果存在函数,则联合连续F(X,是), 为所有实数定义X和是, 具有对所有集合的属性一个和乙实数

磷X∈一个,是∈乙=∫乙∫一个F(X,是)dXd是
功能F(X,是)称为联合概率密度函数X和是. 的概率密度X可以从知识中获得F(X,是)通过以下推理:

磷X∈一个=磷X∈一个,是∈(−∞,∞) =∫−∞∞∫一个F(X,是)dXd是 =∫一个FX(X)dX

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Independent Random Variables

随机变量X和是据说是独立的,如果,对于所有一个,b,

磷X≤一个,是≤b=磷X≤一个磷是≤b
换句话说,X和是是独立的,如果,对于所有一个和b, 事件和一个=X≤一个和Fb=是≤b是独立的。

就联合分布函数而言F的X和是, 我们有X和是是独立的,如果

F(一个,b)=FX(一个)F是(b) 对所有人 一个,b
什么时候X和是是离散的,独立的条件简化为

p(X,是)=pX(X)p是(是)
而如果X和是是共同连续的,独立性简化为

F(X,是)=FX(X)F是(是)

为了证明这个陈述,首先考虑离散版本,并假设联合概率质量函数p(X,是)满足方程。(2.13)。然后

磷X≤一个,是≤b=∑是≤b∑X≤一个p(X,是) =∑是≤b∑X≤一个pX(X)p是(是) =∑是≤bp是(是)∑X≤一个pX(X) =磷是≤b磷X≤一个
所以X和是是独立的。那个方程。(2.14) 意味着连续情况下的独立性以相同的方式证明,并留作练习。
关于独立性的一个重要结果如下。

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Covariance and Variance of Sums of Random Variables

任意两个随机变量的协方差X和是,表示为这⁡(X,是), 定义为

这⁡(X,是)=和[(X−和[X])(是−和[是])] =和[X是−是和[X]−X和[是]+和[X]和[是]] =和[X是]−和[是]和[X]−和[X]和[是]+和[X]和[是] =和[X是]−和[X]和[是]
请注意,如果X和是是独立的,然后由命题2.3它遵循这⁡(X,是)=0

现在让我们考虑一下特殊情况X和是是事件是否发生的指示变量一个和乙发生。也就是说,对于事件一个和乙, 定义
$$
X=\left{

1, 如果 一个 发生  0, 否则, \四Y=

{1, 如果 乙 发生  0, 否则 \正确的。

吨H和n,
\operatorname{Cov}(X, Y)=E[XY]-E[X] E[Y]

一个nd,b和C一个在s和$X是$在一世ll和q在一个l1○r0d和p和nd一世nG○n在H和吨H和r○rn○吨b○吨H$X$一个nd$是$和q在一个l1,在和s和和吨H一个吨
\ 操作员名称 {Cov} (X, Y) = P {X = 1, Y = 1} -P {X = 1} P {Y = 1}

Fr○米吨H一世s在和s和和吨H一个吨

这⁡(X,是)>0⇔磷X=1,是=1>磷X=1磷是=1 ⇔磷X=1,是=1磷X=1>磷是=1 ⇔磷是=1∣X=1>磷是=1
$$
即协方差X和是如果结果是肯定的X=1更有可能是=1(从对称性很容易看出,这也意味着相反)。
一般来说,可以证明一个正值这⁡(X,是)是一个迹象,表明是趋于增加X确实如此,而负值表示是趋于减少X增加。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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