数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Math 632

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随机过程是随机量在时间或空间上演变的概率模型。演变受不同时间或地点的随机量之间的某种依赖关系所支配。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Math 632

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Proof of the Strong Law of Large Numbers

In this section we give a proof of the strong law of large numbers. Our proof of the strong law makes use of the Borel-Cantelli lemma.

Borel-Cantelli Lemma. For a sequence of events $A_{i}, i \geq 1$, let $N$ denote the number of these events that occur. If $\sum_{i=1}^{\infty} P\left(A_{i}\right)<\infty$, then $P(N=\infty)=0$.

Proof. Suppose that $\sum_{i=1}^{\infty} P\left(A_{i}\right)<\infty$. Now, if $N=\infty$, then for every $n<\infty$ at least one of the events $A_{n}, A_{n+1}, \ldots$ will occur. That is, $N=\infty$ implies that $\cup_{i=n}^{\infty} A_{i}$ occurs for every $n$. Thus, for every $n$
$$
\begin{aligned}
P(N=\infty) & \leq P\left(\cup_{i=n}^{\infty} A_{i}\right) \
& \leq \sum_{i=n}^{\infty} P\left(A_{i}\right)
\end{aligned}
$$

where the final inequality follows from Boole’s inequality. Because $\sum_{i=1}^{\infty} P\left(A_{i}\right)<\infty$ implies that $\sum_{i=n}^{\infty} P\left(A_{i}\right) \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$, we obtain from the preceding upon letting $n \rightarrow \infty$ that $P(N=\infty)=0$, which proves the result.

Remark. The Borel-Cantelli lemma is actually quite intuitive, for if we define the indicator variable $I_{i}$ to equal 1 if $A_{i}$ occurs and to equal 0 otherwise, then $N=\sum_{i=1}^{\infty} I_{i}$, implying that
$$
E[N]=\sum_{i=1}^{\infty} E\left[I_{i}\right]=\sum_{i=1}^{\infty} P\left(A_{i}\right)
$$
Consequently, the Borel-Cantelli theorem states that if the expected number of events that occur is finite then the probability that an infinite number of them occur is 0 , which is intuitive because if there were a positive probability that an infinite number of events could occur then $E[N]$ would be infinite.

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Stochastic Processes

A stochastic process ${X(t), t \in T}$ is a collection of random variables. That is, for each $t \in T, X(t)$ is a random variable. The index $t$ is often interpreted as time and, as a result, we refer to $X(t)$ as the state of the process at time $t$. For example, $X(t)$ might equal the total number of customers that have entered a supermarket by time $t$; or the number of customers in the supermarket at time $t$; or the total amount of sales that have been recorded in the market by time $t$; etc.

The set $T$ is called the index set of the process. When $T$ is a countable set the stochastic process is said to be a discrete-time process. If $T$ is an interval of the real line, the stochastic process is said to be a continuous-time process. For instance, $\left{X_{n}, n=0,1, \ldots\right}$ is a discrete-time stochastic process indexed by the nonnegative integers; while ${X(t), t \geq 0}$ is a continuous-time stochastic process indexed by the nonnegative real numbers.

The state space of a stochastic process is defined as the set of all possible values that the random variables $X(t)$ can assume.

Thus, a stochastic process is a family of random variables that describes the evolution through time of some (physical) process. We shall see much of stochastic processes in the following chapters of this text.

Example 2.54. Consider a particle that moves along a set of $m+1$ nodes, labeled $0,1, \ldots, m$, that are arranged around a circle (see Fig. 2.3). At each step the particle is equally likely to move one position in either the clockwise or counterclockwise direction. That is, if $X_{n}$ is the position of the particle after its $n$th step then
$$
P\left{X_{n+1}=i+1 \mid X_{n}=i\right}=P\left{X_{n+1}=i-1 \mid X_{n}=i\right}=\frac{1}{2}
$$ where $i+1 \equiv 0$ when $i=m$, and $i-1 \equiv m$ when $i=0$. Suppose now that the particle starts at 0 and continues to move around according to the preceding rules until all the nodes $1,2, \ldots, m$ have been visited. What is the probability that node $i, i=1, \ldots, m$, is the last one visited?

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|The Discrete Case

Recall that for any two events $E$ and $F$, the conditional probability of $E$ given $F$ is defined, as long as $P(F)>0$, by
$$
P(E \mid F)=\frac{P(E F)}{P(F)}
$$
Hence, if $X$ and $Y$ are discrete random variables, then it is natural to define the conditional probability mass function of $X$ given that $Y=y$, by
$$
\begin{aligned}
p_{X \mid Y}(x \mid y) &=P{X=x \mid Y=y} \
&=\frac{P{X=x, Y=y}}{P{Y=y}} \
&=\frac{p(x, y)}{p_{Y}(y)}
\end{aligned}
$$
for all values of $y$ such that $P{Y=y}>0$. Similarly, the conditional probability distribution function of $X$ given that $Y=y$ is defined, for all $y$ such that $P{Y=y}>0$, by
$$
\begin{aligned}
F_{X \mid Y}(x \mid y) &=P{X \leq x \mid Y=y} \
&=\sum_{a \leq x} p_{X \mid Y}(a \mid y)
\end{aligned}
$$
Finally, the conditional expectation of $X$ given that $Y=y$ is defined by
$$
E[X \mid Y=y]=\sum_{x} x P{X=x \mid Y=y}
$$ $$
=\sum_{x} x p_{X \mid Y}(x \mid y)
$$
In other words, the definitions are exactly as before with the exception that everything is now conditional on the event that $Y=y$. If $X$ is independent of $Y$, then the conditional mass function, distribution, and expectation are the same as the unconditional ones. This follows, since if $X$ is independent of $Y$, then
$$
\begin{aligned}
p_{X \mid Y}(x \mid y) &=P{X=x \mid Y=y} \
&=P{X=x}
\end{aligned}
$$

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Math 632

概率模型和随机过程代考

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Proof of the Strong Law of Large Numbers

在本节中,我们将证明大数的强定律。我们对强定律的证明使用了 Borel-Cantelli 引理。

Borel-Cantelli引理。对于一系列事件一个一世,一世≥1, 让ñ表示发生的这些事件的数量。如果∑一世=1∞磷(一个一世)<∞, 然后磷(ñ=∞)=0.

证明。假设∑一世=1∞磷(一个一世)<∞. 现在,如果ñ=∞,那么对于每个n<∞至少其中一项事件一个n,一个n+1,…会发生。那是,ñ=∞暗示∪一世=n∞一个一世发生在每个n. 因此,对于每个n

磷(ñ=∞)≤磷(∪一世=n∞一个一世) ≤∑一世=n∞磷(一个一世)

其中最终的不等式来自布尔不等式。因为∑一世=1∞磷(一个一世)<∞暗示∑一世=n∞磷(一个一世)→0作为n→∞,我们在让n→∞那磷(ñ=∞)=0,这证明了结果。

评论。Borel-Cantelli 引理实际上非常直观,因为如果我们定义指标变量我一世等于 1 如果一个一世发生并等于0,然后ñ=∑一世=1∞我一世, 意味着

和[ñ]=∑一世=1∞和[我一世]=∑一世=1∞磷(一个一世)
因此,Borel-Cantelli 定理指出,如果发生的事件的预期数量是有限的,那么发生无限数量的事件的概率为 0,这是直观的,因为如果存在无限数量的事件可能发生的正概率然后和[ñ]将是无限的。

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Stochastic Processes

随机过程X(吨),吨∈吨是随机变量的集合。也就是说,对于每个吨∈吨,X(吨)是一个随机变量。指数吨通常被解释为时间,因此,我们指的是X(吨)作为当时的过程状态吨. 例如,X(吨)可能等于按时间进入超市的顾客总数吨; 或当时超市的顾客数量吨; 或按时间记录在市场上的总销售额吨; 等等

套装吨称为过程的索引集。什么时候吨是一个可数集,随机过程被称为离散时间过程。如果吨是实线的区间,随机过程称为连续时间过程。例如,\left{X_{n}, n=0,1, \ldots\right}\left{X_{n}, n=0,1, \ldots\right}是由非负整数索引的离散时间随机过程;尽管X(吨),吨≥0是由非负实数索引的连续时间随机过程。

随机过程的状态空间定义为随机变量的所有可能值的集合X(吨)可以假设。

因此,随机过程是一组随机变量,描述了某些(物理)过程随时间的演变。我们将在本文的后续章节中看到许多随机过程。

例 2.54。考虑一个粒子沿着一组米+1节点,标记0,1,…,米,这些排列在一个圆圈周围(见图2.3)。在每个步骤中,粒子同样有可能在顺时针或逆时针方向上移动一个位置。也就是说,如果Xn是粒子在它之后的位置n然后步骤

P\left{X_{n+1}=i+1 \mid X_{n}=i\right}=P\left{X_{n+1}=i-1 \mid X_{n}=i\right }=\frac{1}{2}P\left{X_{n+1}=i+1 \mid X_{n}=i\right}=P\left{X_{n+1}=i-1 \mid X_{n}=i\right }=\frac{1}{2}在哪里一世+1≡0什么时候一世=米, 和一世−1≡米什么时候一世=0. 现在假设粒子从0开始,并继续根据前面的规则继续四处移动,直到所有节点1,2,…,米被访问过。节点的概率是多少一世,一世=1,…,米, 是最后一个访问吗?

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|The Discrete Case

回想一下任何两个事件和和F,条件概率和给定F被定义,只要磷(F)>0, 经过

磷(和∣F)=磷(和F)磷(F)
因此,如果X和是是离散随机变量,那么定义条件概率质量函数是很自然的X鉴于是=是, 经过

pX∣是(X∣是)=磷X=X∣是=是 =磷X=X,是=是磷是=是 =p(X,是)p是(是)
对于所有值是这样磷是=是>0. 类似地,条件概率分布函数为X鉴于是=是定义,所有是这样磷是=是>0, 经过

FX∣是(X∣是)=磷X≤X∣是=是 =∑一个≤XpX∣是(一个∣是)
最后,条件期望X鉴于是=是定义为

和[X∣是=是]=∑XX磷X=X∣是=是

=∑XXpX∣是(X∣是)
换句话说,定义与以前完全相同,只是现在一切都取决于以下事件是=是. 如果X独立于是,那么有条件的质量函数、分布和期望与无条件的相同。随之而来的是X独立于是, 然后

pX∣是(X∣是)=磷X=X∣是=是 =磷X=X

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考 请认准statistics-lab™

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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