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随机过程是随机量在时间或空间上演变的概率模型。演变受不同时间或地点的随机量之间的某种依赖关系所支配。

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Solutions to Assignment 1

1. Let $X$ and $Y$ be random variables defined on a common probability space. Assuming $\operatorname{Var}(X)<\infty$, show that $\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E} \operatorname{Var}(X \mid Y)+\operatorname{Var}(\mathbb{E}[X \mid Y])$. [Hint: Use defn. of $\operatorname{Var}(X)$ and conditional expectation tricks.]

Solution: Recall that provided $\mathbb{E}|Z|<\infty$, we have that $\mathbb{E} Z=\mathbb{E E}[Z \mid Y]$. Applying this to $X$ and $X^{2}$, we know that $\mathbb{E} X=\mathbb{E}[X \mid Y]$ and $\mathbb{E} X^{2}=\mathbb{E E}\left[X^{2} \mid Y\right]$, both of which exist and are finite since $\operatorname{Var}(X)<\infty$ by assumption. Now, $\operatorname{Var}(X)=$ $\mathbb{E} X^{2}-(\mathbb{E} X)^{2}$, and $\operatorname{Var}(X \mid Y)=\mathbb{E}\left[X^{2} \mid Y\right]-(\mathbb{E}[X \mid Y])^{2}$. Hence
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Var}(X) &=\mathbb{E} E\left[X^{2} \mid Y\right]-(\mathbb{E} E[X \mid Y])^{2} \
&=\mathbb{E E}\left[X^{2} \mid Y\right]-\mathbb{E}\left[(\mathbb{E}[X \mid Y])^{2}\right]+\mathbb{E}\left[(\mathbb{E}[X \mid Y])^{2}\right]-(\mathbb{E} E[X \mid Y])^{2} \
&=\mathbb{E} \operatorname{Var}(X \mid Y)+\operatorname{Var}(\mathbb{E}[X \mid Y])
\end{aligned}
$$
$[1]$

2. Let $X$ be a non-negative random variable with probability density function (pdf) $f$
   (a) Show that $\mathbb{E} X=\int_{0}^{\infty} \mathbb{P}(X \geqslant x) \mathrm{d} x$.
   Solution: Note that $\mathbb{P}(X \geqslant x)=\int_{x}^{\infty} f(u)$ du. Hence
   $$
   \begin{aligned}
   \int_{0}^{\infty} \mathbb{P}(X \geqslant x) \mathrm{d} x &=\int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty} f(u) \mathrm{d} u \mathrm{~d} x \
   &=\int_{0}^{\infty} f(u) \int_{0}^{u} 1 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} u \
   &=\int_{0}^{\infty} u f(u) \mathrm{d} u=\mathbb{E} X
   \end{aligned}
   $$
   where the second line follows from swapping integration order.
   $[1]$
   (b) Using (a), show that $\mathbb{E}\left[X^{\alpha}\right]=\int_{0}^{\infty} \alpha x^{\alpha-1} \mathbb{P}(X \geqslant x) \mathrm{d} x$ for any $\alpha>0$.
   Solution: Write $Y=X^{\alpha}$ which is still a non-negative random variable with some pdf. Then, from (a), we know that $\mathbb{E Y = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } ( Y \geqslant y ) \mathrm { d } y \text { . Change }}$ variables via $y=x^{\alpha}$ so $\mathrm{d} y=\alpha x^{\alpha-1} \mathrm{~d} x$; note that $x=y^{1 / \alpha}$ has the same limits as $y$ for any $\alpha>0$. Hence $\mathbb{E}\left[X^{\alpha}\right]=\mathbb{E} Y=\int_{0}^{\infty} \mathbb{P}(X \geqslant x) \alpha x^{\alpha-1} \mathrm{~d} x$. A minor rearrangement yields the result.
3. Suppose $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ are independent random variables, with cdfs $F_{1}, F_{2}, \ldots$, $F_{n}$, respectively. Express the cdf of $M=\min \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$ in terms of the $\left{F_{i}\right}$.

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Assignment 2

1. Suppose a stochastic wallaby is hopping along-side the length of an infinitely long road in search of a tasty snack in the form of Livistona Rand. palm seeds. Each hop that our stochastic wallaby takes is of size 1. Our stochastic wallaby hops up the road with probability $p \in(0,1)$, and down the road with probability $q=1-p$.
   (a) Suppose there is a single Livistona Rand. palm which has dropped its seeds $u$ hops up the road from where our stochastic wallaby currently is, and no such palm anywhere down the road. As a function of $p, q$, and $u$, what is the probability that the wallaby ever gets the opportunity to have its tasty snack of palm seeds?
   (b) Continuing, suppose $p=q=\frac{1}{2}$. As a function of $u$, what is the expected number of hops required?
   (c) * Continuing, as a function of $u$, what is the variance of the number of hops required?
   (d) * Now for general $p \in(0,1)$, determine the expected number of hops and the variance of the number of hops required as a function of $p, q$, and $u$.
   (e) Suppose now that is an additional Livistona Rand. palm which has dropped its seeds $d$ hops down the road from where our stochastic wallaby currently is. As a function of $p, q, u$, and $d$, what is the probability that the wallaby ever gets the opportunity to have its tasty snack of palm seeds?
   $[1]$
   (f) Continuing, as a function of $p, q, u$, and $d$, what is the expected number of hops required?
2. Let $X=\left(X_{n}, n=0,1, \ldots\right)$ be a Markov chain with state-space $E={0,1,2}$, initial distribution $\pi^{(0)}=(0,1,0)$, and one-step transition matrix
   $$
   \mathbf{P}=\frac{1}{15}\left(\begin{array}{lll}
   8 & 1 & 6 \
   3 & 5 & 7 \
   4 & 9 & 2
   \end{array}\right)
   $$
   (a) Draw the transition diagram for this Markov chain.
   $[1]$
   (b) Calculate the probability that $X_{3}=1$.
   $[1]$
   (c) Find the unique stationary (and limiting) distribution of the chain.
   $[1]$

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Solutions to Assignment 2

1. Suppose a stochastic wallaby is hopping along-side the length of an infinitely long road in search of a tasty snack in the form of Livistona Rand. palm seeds. Each hop that our stochastic wallaby takes is of size 1. Our stochastic wallaby hops up the road with probability $p \in(0,1)$, and down the road with probability $q=1-p$.
   (a) Suppose there is a single Livistona Rand. palm which has dropped its seeds $u$ hops up the road from where our stochastic wallaby currently is, and no such palm anywhere down the road. As a function of $p, q$, and $u$, what is the probability that the wallaby ever gets the opportunity to have its tasty snack of palm seeds?

Solution: Let $\left(S_{n}, n=0,1, \ldots\right)$ be the position of the stochastic wallaby, and denote its initial location as 0 ; that is, $S_{0}=0$. Then its position on the $(n+1)$-st hop can be written in terms of its position at the $n$-th step as $S_{n+1}=S_{n}+2 B_{n+1}-1$, for $n=0,1,2, \ldots$, where $B_{1}, B_{2}, \ldots$ iid $\operatorname{Ber}(p)$. Denote the (random) time at which the stochastic wallaby first visits position $x$ as $\tau_{x}=\inf \left{n \in \mathbb{N}: S_{n}=x\right}$. Then we seek $\mathbb{P}{0}\left(\tau{u}<\infty\right)$.

Let us introduce a new Livistona Rand. palm at position $-d$, and consider $r_{x}^{u,-d}=\mathbb{P}{x}\left(\tau{u}<\tau_{-d}\right)$. Then in particular we know that $\lim {d \rightarrow \infty} \tau{-d} \rightarrow \infty$, and so the original quantity of interest can be obtained as $\mathbb{P}{0}\left(\tau{u}<\infty\right)=$ $\lim {d \rightarrow \infty} r{0}^{u,-d}$.
Now, we know $r_{u}^{u,-d}=\mathbb{P}{u}\left(\tau{u}<\tau_{-d}\right)=1$ and $r_{-d}^{u,-d}=\mathbb{P}{-d}\left(\tau{u}<\tau_{-d}\right)=0$.
By one step analysis we also have that, for $-d<x<u$,
$$
r_{x}^{u,-d}=p r_{x+1}^{u,-d}+q r_{x-1}^{u,-d} .
$$
Recalling $1=p+q$, we may rearrange this to read
$$
(p+q) r_{x}^{u,-d}=p r_{x+1}^{u,-d}+q r_{x-1}^{u,-d} \Longleftrightarrow \underbrace{\left(r_{x+1}^{u,-d}-r_{x}^{u,-d}\right)}{v{x+1}}=\underbrace{\frac{q}{p}}{e} \cdot \underbrace{\left(r{x}^{u,-d}-r_{x-1}^{u,-d}\right)}{v{x}} .
$$
That is, $v_{x+1}=\varrho v_{x}$. Repeated application of this recursion yields $v_{x}=$ $\varrho^{x+d-1} v_{-(d-1)}$

Now, we also have (dropping the superscripts for notational convenience) that
$$
r_{x}=r_{x}-r_{-d}=\sum_{y=-(d-1)}^{x} v_{y},
$$
and so
$$
\begin{aligned}
r_{x} &=v_{-(d-1)} \sum_{y=-(d-1)}^{x} \varrho^{y+d-1}=\left(r_{-(d-1)}-r_{-d}\right) \sum_{z=0}^{x+d-1} \varrho^{z} \
&=r_{-(d-1)} \times \begin{cases}\frac{1-g^{z+d}}{1-\varrho}, & \varrho \neq 1, \
(x+d), & \varrho=1 .\end{cases}
\end{aligned}
$$

概率模型和随机过程代考

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Solutions to Assignment 1

1. 让X和是是在公共概率空间上定义的随机变量。假设曾是⁡(X)<∞， 显示曾是⁡(X)=和曾是⁡(X∣是)+曾是⁡(和[X∣是]). [提示：使用定义。的曾是⁡(X)和条件期望技巧。]

解决方案：回想一下提供的和|从|<∞, 我们有和从=和和[从∣是]. 将此应用于X和X2， 我们知道和X=和[X∣是]和和X2=和和[X2∣是]，两者都存在并且是有限的，因为曾是⁡(X)<∞通过假设。现在，曾是⁡(X)= 和X2−(和X)2， 和曾是⁡(X∣是)=和[X2∣是]−(和[X∣是])2. 因此

曾是⁡(X)=和和[X2∣是]−(和和[X∣是])2 =和和[X2∣是]−和[(和[X∣是])2]+和[(和[X∣是])2]−(和和[X∣是])2 =和曾是⁡(X∣是)+曾是⁡(和[X∣是])
[1]

2. 让X是具有概率密度函数的非负随机变量 (pdf)F
   (a) 证明和X=∫0∞磷(X⩾X)dX.
   解决方案：注意磷(X⩾X)=∫X∞F(在)你。因此
   ∫0∞磷(X⩾X)dX=∫0∞∫X∞F(在)d在 dX =∫0∞F(在)∫0在1 dX d在 =∫0∞在F(在)d在=和X
   其中第二行来自交换集成顺序。
   [1]
   (b) 使用 (a)，证明和[X一个]=∫0∞一个X一个−1磷(X⩾X)dX对于任何一个>0.
   解决方案：写是=X一个这仍然是一个带有一些 pdf 的非负随机变量。那么，从（a），我们知道和是=∫0∞磷(是⩾是)d是 . 改变 变量通过是=X一个所以d是=一个X一个−1 dX; 注意X=是1/一个具有相同的限制是对于任何一个>0. 因此和[X一个]=和是=∫0∞磷(X⩾X)一个X一个−1 dX. 一个小的重排产生结果。
3. 认为X1,X2,…,Xn是独立的随机变量，用 cdfsF1,F2,…, Fn， 分别。表达 cdf 的米=分钟(X1,…,Xn)方面\left{F_{i}\right}\left{F_{i}\right}.

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Assignment 2

1. 假设一只随机的小袋鼠沿着一条无限长的道路跳跃，以寻找 Livistona Rand 形式的美味小吃。棕榈种子。我们的随机小袋鼠跳的每一跳的大小都是 1。我们的随机小袋鼠有概率在路上跳跃p∈(0,1), 并且有概率地走下去q=1−p.
   (a) 假设有一个 Livistona Rand。落下种子的棕榈在从我们的随机小袋鼠目前所在的地方跳上马路，而且在路上的任何地方都没有这样的手掌。作为一个函数p,q， 和在，小袋鼠有机会吃到美味的棕榈籽零食的概率是多少？
   (b) 继续，假设p=q=12. 作为一个函数在，所需的预期跳数是多少？
   (c) * 继续，作为以下函数的函数在，所需跳数的方差是多少？
   (d) * 现在一般p∈(0,1), 确定预期的跳数和所需跳数的方差p,q， 和在.
   (e) 现在假设这是一个额外的 Livistona Rand。落下种子的棕榈d从我们的随机小袋鼠目前所在的地方跳下来。作为一个函数p,q,在， 和d，小袋鼠有机会吃到美味的棕榈籽零食的概率是多少？
   [1]
   (f) 继续，作为p,q,在， 和d，所需的预期跳数是多少？
2. 让X=(Xn,n=0,1,…)是具有状态空间的马尔可夫链和=0,1,2, 初始分布圆周率(0)=(0,1,0), 和一步转移矩阵
   磷=115(816 357 492)
   (a) 画出这条马尔可夫链的转移图。
   [1]
   (b) 计算概率X3=1.
   [1]
   (c) 找出链的唯一平稳（和限制）分布。
   [1]

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Solutions to Assignment 2

1. 假设一只随机的小袋鼠沿着一条无限长的道路跳跃，以寻找 Livistona Rand 形式的美味小吃。棕榈种子。我们的随机小袋鼠跳的每一跳的大小都是 1。我们的随机小袋鼠有概率在路上跳跃p∈(0,1), 并且有概率地走下去q=1−p.
   (a) 假设有一个 Livistona Rand。落下种子的棕榈在从我们的随机小袋鼠目前所在的地方跳上马路，而且在路上的任何地方都没有这样的手掌。作为一个函数p,q， 和在，小袋鼠有机会吃到美味的棕榈籽零食的概率是多少？

解决方案：让(小号n,n=0,1,…)是随机小袋鼠的位置，并将其初始位置表示为 0 ；那是，小号0=0. 然后它的位置在(n+1)-st hop 可以根据它在n- 步骤为小号n+1=小号n+2乙n+1−1， 为了n=0,1,2,…， 在哪里乙1,乙2,…独立同居贝尔⁡(p). 表示随机小袋鼠首次访问位置的（随机）时间X作为\tau_{x}=\inf \left{n \in \mathbb{N}: S_{n}=x\right}\tau_{x}=\inf \left{n \in \mathbb{N}: S_{n}=x\right}. 然后我们寻求磷0(τ在<∞).

让我们介绍一个新的 Livistona Rand。掌心位置−d, 并考虑rX在,−d=磷X(τ在<τ−d). 然后我们特别知道林d→∞τ−d→∞，因此原始感兴趣的数量可以得到为磷0(τ在<∞)= 林d→∞r0在,−d.
现在，我们知道r在在,−d=磷在(τ在<τ−d)=1和r−d在,−d=磷−d(τ在<τ−d)=0.
通过一步分析，我们也有，因为−d<X<在,

rX在,−d=prX+1在,−d+qrX−1在,−d.
召回1=p+q，我们可以重新排列它来阅读

(p+q)rX在,−d=prX+1在,−d+qrX−1在,−d⟺(rX+1在,−d−rX在,−d)⏟在X+1=qp⏟和⋅(rX在,−d−rX−1在,−d)⏟在X.
那是，在X+1=ϱ在X. 重复应用此递归会产生在X= ϱX+d−1在−(d−1)

现在，我们也有（为了符号方便，去掉上标）

rX=rX−r−d=∑是=−(d−1)X在是,
所以

rX=在−(d−1)∑是=−(d−1)Xϱ是+d−1=(r−(d−1)−r−d)∑和=0X+d−1ϱ和 =r−(d−1)×{1−G和+d1−ϱ,ϱ≠1, (X+d),ϱ=1.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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