数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Random Walks

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随机过程是随机量在时间或空间上演变的概率模型。演变受不同时间或地点的随机量之间的某种依赖关系所支配。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Random Walks

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Random Walks in 1D

Consider a “random walker” on a one-dimensional lattice. Time will be discrete, and at every time step the walker will take a step in one of the possible two directions, with equal probability. What is the mean value of, say, coordinate $x$, after $N$ steps? From symmetry, it is clearly zero. But we certainly don’t expect the walker to be precisely at the origin after a large number of steps. Its typical magnitude away from the origin may be found by calculating the RMS (root-mean-square) of the trajectories, i.e., the second moment of the distance from the origin.

Let’s say the walker was at position $x$ after $N$ steps. After an additional step, it could be in one of two possible positions. Averaging the squared distance between these two possibilities, conditioned on being at position $x$ at time $N$, gives us
$$
\frac{1}{2}\left[(x+1)^{2}+(x-1)^{2}\right]=x^{2}+1 .
$$
Upon averaging over the value of $x^{2}$ at time $N$, we find that
$$
\left\langle x_{N+1}^{2}\right\rangle=\left\langle x_{N}^{2}\right\rangle+1
$$
therefore, repeating the argument $N-1$ times, we find that
$$
\left\langle x_{N}^{2}\right\rangle=N
$$

This implies that the typical distance from the origin scales like $\sqrt{N}$. What about the position distribution? If $N$ is even, then it is clear that the probability to be a distance $M$ from the origin after $N$ steps is zero for odd $M$, and for even $M$ it is
$$
p_{M}=\frac{1}{2^{N}}\left(\begin{array}{l}
N \
R
\end{array}\right)=\frac{1}{2^{N}} \frac{N !}{R !(N-R) !}
$$
where $R$ is the number of steps to the right, thus $R-(N-R)=2 R-N=M$. We can now evaluate this probability for $N \gg M$ using Stirling’s formula, which provides an (excellent) approximation for $N$ !, namely $N ! \approx \sqrt{2 \pi N}\left(\frac{N}{e}\right)^{N}$. This leads to
$$
\begin{aligned}
p_{M} & \approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{2^{N}} \frac{N^{N+1 / 2}}{R^{R+1 / 2}(N-R)^{N-R+1 / 2}} \
&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-N \log (2)+(N+1 / 2) \log (N)-(R+1 / 2) \log (R)-(N-R+1 / 2) \log (N-R)}
\end{aligned}
$$
We can proceed by using our assumption that $N \gg M$, implying that $R$ is approximately equal to $N / 2$.

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Derivation of the Diffusion Equation for Random Walks

We shall now approach the problem with more generality, following nearly precisely the derivation by Einstein. We will work in $3 \mathrm{D}$ but the approach would be the same

in any dimension. The approach will have discrete time steps, but the step direction will be a continuous random variable, described by a probability distribution $g(\vec{\Delta})$ (here $\vec{\Delta}$ is a vector describing the step in the 3D space – not to be confused with the Laplacian operator!). We will not limit the random walker to a lattice, though it is possible to implement such a scenario by taking $g(\vec{\Delta})$ to be a sum of $\delta$-functions (can you see how?).

We will seek to obtain the probability distribution $p(\vec{r})$, i.e., $p(\vec{r}) d V$ will be the probability to find the particle in a volume $d V$ around the point $\vec{r}$ (at some point in time corresponding to a a given number of steps). If the original problem is cast on a lattice, this distribution will be relevant to describe the coarse grained problem, when we shall zoom-out far enough such that we will not care about the details at the level of the lattice constant.

If at time $t$ the probability distribution is described by $p(\vec{r}, t)$, let us consider what it will be a time $\tau$ later, where $\tau$ denotes the duration of each step. As you can guess, in a realistic scenario the time of a step is non-constant, and $\tau$ would be the mean step time. Thus, we haven’t lost too much in making time discrete – but we did make an assumption that a mean time exists. In Chapter 7 we will revisit this point, and show that in certain situations when the mean time diverges, we can get subdiffusion (slower spread of the probability distribution over time compared with diffusion).

To find $p(\vec{r}, t+\tau)$, we need to integrate over all space, and consider the probability to have the “right” jump size to bring us to $\vec{r}$. This leads to
$$
p(\vec{r}, t+\tau)=\int p(\vec{r}-\vec{\Delta}, t) d^{3} \vec{\Delta} g(\vec{\Delta}) .
$$
To proceed, we will Taylor expand $p$, assuming that the probability distribution is smooth on the scale of the typical jump. If we expand it to first order, we will find that
$$
p(\vec{r}-\vec{\Delta}) \approx p(\vec{r})-(\nabla p) \cdot \vec{\Delta} .
$$
If the diffusion process is isotropic in space, there is no difference between a jump in the $\pm \vec{\Delta}$ direction, so the integral associated with the second term trivially vanishes:
$$
\int((\nabla p) \cdot \vec{\Delta}) g(\vec{\Delta}) d^{3} \vec{\Delta}=0 .
$$
This means we have to expand to second order:
$$
p(\vec{r}-\vec{\Delta}) \approx p(\vec{r})-(\nabla p) \cdot \vec{\Delta}+\left.\frac{1}{2} \sum_{i, j} \frac{\partial^{2} p}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right|{\vec{r}} \Delta{i} \Delta_{j}
$$

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Markov Processes and Markov Chains

Let us approach our analysis of the random walker from a new perspective, which will be easier to generalize to other networks. Within our model for diffusion on a 1D lattice, the probability to go to site $j$ does not depend on the history of the random walker, but only on its current state – this is an example of a Markov process (named after Andrey Markov). A familiar childhood example of a Markov process is the game Chutes and Ladders (as well as many other board games – see also Problem 2.15). But we emphasize that whether a process is Markovian depends on the space: Consider, for example, a game where we throw a die at each round, and keep track of the running sum. This is clearly a Markov process – knowing the current sum determines the probabilities to go to the next states. But what about a game in which we reset the sum to zero each time we get two identical numbers in a row? In this case, the process is memory dependent, so it is non-Markovian. But, if we work in the space where a state is defined by a pair, the running sum, and the result of the last throw – then the process becomes Markovian again. It is also worth noting that in cases where time steps are discrete, the process is referred to as a Markov chain. In what follows we will deal with Markov chains, though in the next chapter we will study Markov processes with continuous time. For an extended discussion of Markov chains, see Feller (2008).

Let us denote by $\boldsymbol{P}$ the matrix describing the transition probabilities, i.e., $\boldsymbol{P}{i j}$ will be the probability to go from $i$ to $j$. The key insight to note is that for a Markov chain if we know the current probabilities to be at every site, which we will denote by the vector $\vec{p}$, and we know the matrix $P$, we can easily find the vector of probabilities to be at every site after an additional move. By the definition of the matrix $P$, the probability to be in the $i$ th site after an additional move is given by $$ p{i}^{n+1}=\sum_{j} p_{j}^{n} \boldsymbol{P}_{j i}
$$

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Random Walks

概率模型和随机过程代考

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Random Walks in 1D

考虑一维晶格上的“随机游走者”。时间将是离散的,并且在每个时间步,步行者将以相等的概率朝可能的两个方向之一迈出一步。比如坐标的平均值是多少X, 后ñ脚步?从对称性来看,它显然是零。但是我们当然不期望步行者在经过大量的步骤后精确地在原点。其远离原点的典型幅度可以通过计算轨迹的RMS(均方根)来找到,即距离原点的距离的二阶矩。

假设步行者在位置X后ñ脚步。在一个额外的步骤之后,它可能处于两个可能的位置之一。平均这两种可能性之间的平方距离,以位置为条件X有时ñ, 给我们

12[(X+1)2+(X−1)2]=X2+1.
在平均超过的值X2有时ñ, 我们发现

⟨Xñ+12⟩=⟨Xñ2⟩+1
因此,重复论证ñ−1次,我们发现

⟨Xñ2⟩=ñ

这意味着与原点的典型距离像ñ. 位置分布呢?如果ñ是偶数,那么很明显是距离的概率米从起源之后ñ奇数的步数为零米, 甚至对于米这是

p米=12ñ(ñ R)=12ññ!R!(ñ−R)!
在哪里R是向右的步数,因此R−(ñ−R)=2R−ñ=米. 我们现在可以评估这个概率ñ≫米使用斯特林公式,它提供了一个(极好的)近似值ñ!,即ñ!≈2圆周率ñ(ñ和)ñ. 这将导致

p米≈12圆周率12ñññ+1/2RR+1/2(ñ−R)ñ−R+1/2 =12圆周率和−ñ日志⁡(2)+(ñ+1/2)日志⁡(ñ)−(R+1/2)日志⁡(R)−(ñ−R+1/2)日志⁡(ñ−R)
我们可以继续使用我们的假设:ñ≫米, 意味着R大约等于ñ/2.

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Derivation of the Diffusion Equation for Random Walks

我们现在将更普遍地处理这个问题,几乎完全遵循爱因斯坦的推导。我们将在3D但方法是一样的

在任何维度。该方法将具有离散的时间步长,但步长方向将是一个连续的随机变量,由概率分布描述G(Δ→)(这里Δ→是描述 3D 空间中步骤的向量——不要与拉普拉斯算子混淆!)。我们不会将随机游走者限制在一个格上,尽管可以通过采用G(Δ→)是总和d-functions(你能看到怎么做吗?)。

我们将寻求获得概率分布p(r→), IE,p(r→)d在将是在体积中找到粒子的概率d在围绕点r→(在某个时间点对应于给定数量的步骤)。如果将原始问题投射到格上,则该分布将与描述粗粒度问题相关,当我们将缩小到足够远以至于我们不会关心格常数级别的细节时。

如果当时吨概率分布描述为p(r→,吨), 让我们考虑一下这将是什么时候τ后来,在哪里τ表示每个步骤的持续时间。正如您可以猜到的,在现实场景中,步骤的时间是非恒定的,并且τ将是平均步长。因此,我们在使时间离散方面并没有损失太多——但我们确实假设存在平均时间。在第 7 章中,我们将重新讨论这一点,并表明在某些情况下,当平均时间发散时,我们可以得到次扩散(与扩散相比,概率分布随时间的扩散更慢)。

寻找p(r→,吨+τ),我们需要对所有空间进行积分,并考虑具有“正确”跳跃大小的概率以将我们带到r→. 这将导致

p(r→,吨+τ)=∫p(r→−Δ→,吨)d3Δ→G(Δ→).
为了继续,我们将泰勒展开p,假设概率分布在典型跳跃的尺度上是平滑的。如果我们把它展开到一阶,我们会发现

p(r→−Δ→)≈p(r→)−(∇p)⋅Δ→.
如果扩散过程在空间中是各向同性的,则在空间中的跳跃之间没有区别±Δ→方向,因此与第二项相关的积分微不足道地消失:

∫((∇p)⋅Δ→)G(Δ→)d3Δ→=0.
这意味着我们必须扩展到二阶:

p(r→−Δ→)≈p(r→)−(∇p)⋅Δ→+12∑一世,j∂2p∂X一世∂Xj|r→Δ一世Δj

数学代写|概率模型和随机过程代写Probability Models and Stochastic Processes代考|Markov Processes and Markov Chains

让我们从一个新的角度来分析随机游走者,这将更容易推广到其他网络。在我们的一维晶格扩散模型中,到达现场的概率j不依赖于随机游走者的历史,而只依赖于它的当前状态——这是马尔科夫过程的一个例子(以安德烈马尔科夫命名)。马尔可夫过程的一个熟悉的童年例子是滑梯和梯子游戏(以及许多其他棋盘游戏——另见习题 2.15)。但我们强调,一个过程是否是马尔可夫取决于空间:例如,考虑一个游戏,我们在每一轮掷骰子,并跟踪运行总和。这显然是一个马尔科夫过程——知道当前的总和决定了进入下一个状态的概率。但是,如果每次我们连续获得两个相同的数字时,我们将总和重置为零,那又会怎样呢?在这种情况下,该过程是依赖于内存的,因此它是非马尔可夫的。但是,如果我们在一个状态由一对定义的空间中工作,运行总和,以及最后一次抛出的结果——然后该过程再次变为马尔可夫。还值得注意的是,在时间步长离散的情况下,该过程称为马尔可夫链。接下来我们将处理马尔可夫链,尽管在下一章中我们将研究具有连续时间的马尔可夫过程。有关马尔可夫链的详细讨论,请参阅 Feller (2008)。

让我们用磷描述转移概率的矩阵,即磷一世j将是从一世至j. 要注意的关键见解是,对于马尔可夫链,如果我们知道每个站点的当前概率,我们将用向量表示p→,我们知道矩阵磷,我们可以很容易地找到在额外移动后在每个站点的概率向量。通过矩阵的定义磷, 出现在一世额外移动后的第一个站点由

p一世n+1=∑jpjn磷j一世

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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