数学代写|理论计算机代写theoretical computer science代考| Hardness of Exact Computation

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数学代写|理论计算机代写theoretical computer science代考| Hardness of Exact Computation

数学代写|理论计算机代写theoretical computer science代考|Hardness of Exact Computation

In this section we provide several hardness results for the DOUBLE UPPER EC and the UPPER $r$-EC in some graph classes as regular graphs and split graphs.
Theorem 11. Let $G=(V, E)$ be an $(r+1)$-regular graph with $r \geq 2$. Then,
$$
\operatorname{uec}{r}(G)=|E|-\operatorname{eds}(G) . $$ Proof. In order to prove this equation, first we will show that if $S \subseteq E$ is a $r$-tec of $G$, then $\bar{S}=E \backslash S$ is an edge dominating set of $G$. Let $\left(V{1}, V_{2}\right)$ be the associated partition related to $S$. By the Property 1 we know that $V_{2}$ is an independent set. Because our graph is $(r+1)$-regular, it is easy to see that $\forall v \in V_{1}, d_{G_{S}}(v)=r$ and $\forall u \in V_{2}, d_{G_{S}}(u)=r+1$. This observation gives us that the set $\bar{S}$ covers each vertex of $V_{1}$ (they have degree $r$ ) and that all the edges in $E$ are incident to a vertex in $V_{1}$ (because $V_{2}$ is an independent set). So, $\bar{S}$ is an edge dominating set.

Conversely, let $S$ be a solution of EDS. We will show that there exists a $r$-tec of size $|\bar{S}|$. Because EDS is equivalent to Lower EM, we consider the edge set $S$ as a maximal matching. Now, let $V^{\prime}=V \backslash V[S]$. Observe that $V^{\prime}$ is an independent set in $G$ and each vertex $v \in V^{\prime}$ has $d_{G_{S}}(v)=r+1$. The first holds because if there exists an edge $e$ between two vertices of $V^{\prime}$ then $S \cup{e}$ will be a matching with size greater than $S$, which contradicts the maximality of $S$. The second holds because the edges in $S$ are not incident to vertices of $V^{\prime}$ by definition, and thus, all the edges in $\bar{S}$ are incident to at least one vertex in $V[S]$. Finally, because $S$ is a matching we have that all the vertices in $V[S]$ have degree $r$ in $G_{\bar{S}}$ so by the Property $1, \bar{S}$ is a $r$-tec. So the Eq. (6) holds.
Corollary 12. UPPER $r$-EC is $\mathbf{N P}$-hard in $(r+1)$-regular bipartite graphs.
Proof. Using the NP-hardness proof of EDS in $r$-regular bipartite graphs given in $[15]$, the results follows from Theorem $11 .$
Corollary 13. DOUBLE UPPER EC is NP-hard in cubic planar graphs.
Proof. Using the NP-hardness proof of EDS for cubic planar graphs given in [23], the results follows from Theorem $11 .$

Theorem 14. UPPER $(r+1)$-EC is NP-hard in graphs of maximum degree $\Delta+1$ if UPPER $r$-EC is $N P$-hard in graphs of maximum degree $\Delta$, and this holds even for bipartite graphs.

Proof. Let $G=(V, E)$ be a bipartite graph of maximum degree $\Delta$, we construct a new graph $G^{\prime}=\left(V^{\prime}, E^{\prime}\right)$ by starting from $r+1$ copies of $G$. Then for each vertex $v \in V$ we add a new vertex $u_{v}$ in $G^{\prime}$ and connect it to each one of the $r+1$ copies of the vertex $v$.

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In the following theorems we provide some inapproximability results for the UPPER EC and the DOUBLE UPPER EC.

Theorem 17. It is NP-hard to approximate the solution of UPPER EC to within $\frac{593}{594}$ and $\frac{363}{364}$ in graphs of max degree 4 and 5 respectively.

Proof. In order to prove this we will use a reduction from Min VC. Starting from an $r$-regular graph $G=(V, E)$ we will construct a new graph $G^{\prime}$; first we add a $P_{2}$ to each vertex $v \in V$. Then for each edge $e=v u \in E$ we add a new vertex $v_{e}$ adjacent to $v$ and $u$. In the end we remove all the starting edges $E$. Since Min VC can not be approximated to within a factor $\frac{100}{99}$ (resp. $\frac{53}{52}$ ) in 3-regular (resp. 4-regular) graphs [11], it deduces the expected results.

Theorem 18. It is NP-hard to approximate the solution of DOUBLE UPPER EC to within $\frac{883}{884}$ in graphs of max degree 6 .

Proof. In order to get the inapproximability result, we first make a reduction from MiN VC to UPPER. EC similar to Theorem 17, then we reduce it to DOUBLE UPPER EC using a reduction proposed in Theorem $14 .$

Theorem 19. It is NP-hard to approximate the solution of DOUBLE UPPER. EC to within $\frac{571}{572}$ in graphs of max degree 9 .

Proof. Again, we will make a reduction from VerTex Cover problem. Starting from a 4-regular graph $G=(V, E)$ we construct a new graph by adding a set of new vertices $V_{E}$ which has one vertex $v_{e}$ for each edge $e \in E$, and then adding new edges $v_{\varepsilon} u$ if the edge $e$ was incident to $u$ in the original graph $G$. Let $G^{\prime}=\left(V^{\prime}, E^{\prime}\right)$ be the new graph. It is easy to see that $\left|V^{\prime}\right|=|V|+|E|$ and $\Delta\left(G^{\prime}\right)=2 \Delta(G)=8$. Furthermore, we can show that from any $V C$ of $G$ we can

construct a tec of $G^{\prime}$ of size $|T E C|=|E|+|V|-|V C|$ and conversely, from any tec of $G^{\prime}$ we can construct a $V C$ of $G$ of size $|V C|=|E|+|V|-|T E C|$. In order to prove the first direction we will start from a $V C$ of $G$. Let $S$ be the set of all the edges $v_{c} u$ where $u \in V C . S$ is a partial tec of $G$ because it covers only the vertices in $V C \cup V_{E}$, any vertex of $V_{E}$ has degree one in $G_{S}^{\prime}$ and the vertices of $V C$ are independent in $G_{S}^{\prime}$. It is easy to extend $S$ to a tec of $G^{\prime}$ by adding one edge for every vertex $v \in V \backslash V C$ that is adjacent to a vertex in $V C$ (there exists because $v \in V$ and $V C$ is a vertex cover of $G$ ). The extended $S$ is a tec due to the fact that the vertices that may have greater degree than one are all in $V C$, which is independent in $G_{S}$ and all the vertices are covered. Now we have to observe that this tec contains exactly one edge for each vertex in $V_{E}$ and one for each vertex in $V \backslash V C$ so the size is exactly
$$
|T E C|=|E|+|V|-|V C| .
$$
Conversely, we will start from a tec of $G^{\prime}$ and we will construct a vertex cover of $G$ of the wanted size. First we have to show that for any tec $S$ of $G^{\prime}$, if there exists $v_{e} \in V_{E}$ such that $d_{G_{s}^{\prime}}\left(v_{e}\right)=2$ (it can not be greater because $d_{G^{\prime}}\left(v_{c}\right)=2$ ) then there exists an other tec $S^{\prime}$ of $G^{\prime}$ that has the same size and every vertex $v_{e} \in V_{E}$ has degree $d_{G_{S^{\prime}}}\left(v_{e}\right)=1$. This is easy to prove by repeating the following:
If there exists $e=u v \in E$ such that $d_{G_{S^{\prime}}}\left(v_{e}\right)=2$ then $S^{\prime}:=S^{\prime}+v_{e} u-v_{e} v$.

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Typically, supervised learning methods are useful when there is enough labeled data, but in many real word tasks, unlabeled data is available. Furthermore, in practice, labeling is an expensive and time consuming task, because it needs human experience and efforts [14]. Therefore, finding an approach which can employ both labeled and unlabeled data to construct a proper model is crucial. Such a learning approach is named semi-supervised learning. In semi-supervised learning algorithms, we use labeled data as well as unlabeled data. The main goal of semi-supervised learning is to employ unlabeled instances and combine the information in the unlabeled data with the explicit classification information of labeled data to improve the classification performance. The main challenge

in semi-supervised learning is how to extract knowledge from the unlabeled data $[4,21,30]$. Several different algorithms for semi-supervised learning have been introduced, such as the Expectation Maximization (EM) based algorithms $[11,13,15]$, self-training $[7,9,23]$, co-training $[19,27]$, Transduction Support Vector Machine (TSVM) $[1,12,26]$, Semi-Supervised SVM (S3VM) [3], graph-based methods $[2,28]$, and boosting based semi-supervised learning methods $[5,16,24]$.
Most of the semi-supervised algorithms follow two main approaches, extension of a specific base learner to learn from labeled and unlabeled examples and using a framework to learn from both labeled and unlabeled data regardless of the used base learner. Examples of the first approach include S3VM. TSVM. and LapSVM. Wrapper-based and Boosting-based methods follow the second approach, like Co-training, SemiBoost [16], MSAB [24], and MSSBoost [22]. In this article, we focus on both approaches and propose a novel semi-supervised approach based on the SVM base learner.

Support vector machine is proposed by Cortes and Vapnik $[6]$ and is one of the promising base learners in many practical domains, such as object detection, document and web-page categorization. It is a supervised learning method based on margin as well as statistical learning theory [8]. The purpose of the support vector machine algorithm is to find an optimal hyperplane in an N-dimensional space in order to classify the data points. As shown in Fig. 1 , there are many possible hyperplanes that could be selected. The optimal classification hyperplane of SVM needs not only segregating the data points correctly, but also maximizing the margin [8]. Maximizing the margin leads to a strong classification model. The standard form of SVM is only used for supervised learning tasks. This base learner can not directly handle the semi-supervised classification tasks. There are several extensions to SVM, like S3VM and TSVM. These methods use the unlabeled data to regularize the decision boundary. These methods mainly extend the SVM base classifier to semi-supervised learning, which are computationally expensive $[16]$. Therefore, these approaches are suitable only for small datasets. More recently, a semi-supervised self-training has been used to handle the semi-supervised classification tasks $[7,23,29]$. Self-training is a wrapper-based algorithm that repeatedly uses a supervised learning method. It starts to train on labeled data only. At each step, a set of unlabeled points is labeled according to the current decision function; then the supervised method is retrained using its own predictions as additional labeled points [23]. However, the performance of this method depends on correctly predicting the labels of unlabeled data. This is important, because the selection of incorrect predictions will propagate to produce further classification errors. In general, there are two main challenges. The first is to select the appropriate candidate set of unlabeled examples to label at each iteration of the training procedure. The second is to correctly predict labels to unlabeled examples. To handle these issues, the recent studies tend to find a set of high-confidence predictions at each iteration $[7,23,29]$. These selected examples are typically far away from the decision boundary. Hence, this type of algorithm cannot effectively exploit information from the unlabeled data and the final decision boundary will be very close to that of the initial classifier [22].

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理论计算机代写

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在本节中,我们提供了 DOUBLE UPPER EC 和 UPPER 的几种硬度结果r-EC 在某些图类中作为常规图和分割图。
定理 11. 让G=(在,和)豆(r+1)- 正则图r≥2. 然后,
统考⁡r(G)=|和|−编辑⁡(G).证明。为了证明这个等式,首先我们将证明如果小号⊆和是一个r-技术G, 然后小号¯=和∖小号是一个边支配集G. 让(在1,在2)是相关的分区小号. 根据属性 1,我们知道在2是一个独立的集合。因为我们的图表是(r+1)- 常规,很容易看出∀在∈在1,dG小号(在)=r和∀在∈在2,dG小号(在)=r+1. 这个观察让我们知道集合小号¯覆盖每个顶点在1(他们有学位r) 并且所有的边在和发生在一个顶点上在1(因为在2是一个独立的集合)。所以,小号¯是一个边支配集。

反之,让小号成为EDS的解决方案。我们将证明存在一个r-tec 尺寸|小号¯|. 因为EDS等价于Lower EM,所以我们考虑边集小号作为最大匹配。现在,让在′=在∖在[小号]. 请注意在′是一个独立的集合G和每个顶点在∈在′拥有dG小号(在)=r+1. 第一个成立,因为如果存在边缘和的两个顶点之间在′然后小号∪和将是大小大于的匹配小号,这与最大值相矛盾小号. 第二个成立,因为边缘在小号不与 的顶点发生事件在′根据定义,因此,所有边缘小号¯至少有一个顶点发生在在[小号]. 最后,因为小号是我们拥有的所有顶点的匹配在[小号]有学位r在G小号¯所以由物业1,小号¯是一个r-技术。所以方程。(6) 持有。
推论 12. UPPERr-EC 是ñ磷-很难(r+1)- 正则二部图。
证明。使用 EDS 的 NP 硬度证明r- 给出的正则二部图[15], 结果来自定理11.
推论 13. DOUBLE UPPER EC 在三次平面图中是 NP 难的。
证明。使用 [23] 中给出的三次平面图的 EDS 的 NP 硬度证明,结果来自定理11.

定理 14. UPPER(r+1)-EC 在最大度数图中是 NP-hardΔ+1如果上r-EC 是ñ磷-在最大度数的图中很难Δ, 这甚至适用于二分图。

证明。让G=(在,和)是最大度的二分图Δ,我们构造一个新图G′=(在′,和′)从开始r+1的副本G. 然后对于每个顶点在∈在我们添加一个新顶点在在在G′并将其连接到每个r+1顶点的副本在.

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在以下定理中,我们为 UPPER EC 和 DOUBLE UPPER EC 提供了一些不可近似的结果。

定理 17. 将 UPPER EC 的解逼近到内是 NP-hard593594和363364分别在最大度数 4 和 5 的图中。

证明。为了证明这一点,我们将使用 Min VC 的缩减。从一个开始r- 正则图G=(在,和)我们将构建一个新图G′; 首先我们添加一个磷2到每个顶点在∈在. 然后对于每个边缘和=在在∈和我们添加一个新顶点在和毗邻在和在. 最后我们移除所有的起始边和. 由于 Min VC 不能近似于一个因子内10099(分别。5352) 在 3-regular (resp. 4-regular) 图 [11] 中,它推导出预期的结果。

定理 18. 将 DOUBLE UPPER EC 的解近似为内883884在最大度数 6 的图中。

证明。为了得到不可近似的结果,我们首先将 MiN VC 减少到 UPPER。EC 类似于定理 17,然后我们使用定理中提出的缩减将其缩减为 DOUBLE UPPER EC14.

定理 19. 逼近 DOUBLE UPPER 的解是 NP 难的。EC到内571572在最大度数 9 的图中。

证明。同样,我们将减少 VerTex Cover 问题。从 4 正则图开始G=(在,和)我们通过添加一组新顶点来构造一个新图在和有一个顶点在和对于每条边和∈和,然后添加新边在e在如果边缘和发生在在在原始图中G. 让G′=(在′,和′)成为新的图表。很容易看出|在′|=|在|+|和|和Δ(G′)=2Δ(G)=8. 此外,我们可以证明,从任何在C的G我们可以

构建一个技术G′大小的|吨和C|=|和|+|在|−|在C|反之,从任何技术G′我们可以构造一个在C的G大小的|在C|=|和|+|在|−|吨和C|. 为了证明第一个方向,我们将从在C的G. 让小号是所有边的集合在C在在哪里在∈在C.小号是部分技术G因为它只覆盖了在C∪在和, 的任何顶点在和拥有一等学位G小号′和顶点在C独立于G小号′. 很容易扩展小号技术G′通过为每个顶点添加一条边在∈在∖在C与中的一个顶点相邻在C(存在是因为在∈在和在C是一个顶点覆盖G)。扩展的小号是一个 tec,因为可能具有比一个更大的度数的顶点都在在C,它独立于G小号并且所有的顶点都被覆盖了。现在我们必须观察到这个 tec 中的每个顶点恰好包含一条边在和每个顶点一个在∖在C所以尺寸正好
|吨和C|=|和|+|在|−|在C|.
相反,我们将从技术开始G′我们将构建一个顶点覆盖G想要的大小。首先,我们必须证明对于任何技术小号的G′, 如果存在在和∈在和这样dGs′(在和)=2(它不能更大,因为dG′(在C)=2) 那么存在另一个技术小号′的G′具有相同大小和每个顶点在和∈在和有学位dG小号′(在和)=1. 这很容易通过重复以下来证明:
如果存在和=在在∈和这样dG小号′(在和)=2然后小号′:=小号′+在和在−在和在.

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通常,当有足够的标记数据时,监督学习方法很有用,但在许多真实的单词任务中,未标记的数据是可用的。此外,在实践中,标记是一项昂贵且耗时的任务,因为它需要人类的经验和努力[14]。因此,找到一种可以同时使用标记和未标记数据来构建适当模型的方法至关重要。这种学习方法被称为半监督学习。在半监督学习算法中,我们使用标记数据和未标记数据。半监督学习的主要目标是利用未标记的实例,将未标记数据中的信息与标记数据的显式分类信息相结合,以提高分类性能。主要挑战

在半监督学习中是如何从未标记的数据中提取知识[4,21,30]. 已经介绍了几种不同的半监督学习算法,例如基于期望最大化 (EM) 的算法[11,13,15], 自我训练[7,9,23], 协同训练[19,27], 转导支持向量机 (TSVM)[1,12,26], 半监督 SVM (S3VM) [3], 基于图的方法[2,28],以及基于 boosting 的半监督学习方法[5,16,24].
大多数半监督算法遵循两种主要方法,扩展特定的基础学习器以从标记和未标记的示例中学习,以及使用框架从标记和未标记的数据中学习,而不管使用的基础学习器如何。第一种方法的示例包括 S3VM。TSVM。和 LapSVM。基于 Wrapper 和 Boosting 的方法遵循第二种方法,如 Co-training、SemiBoost [16]、MSAB [24] 和 MSSBoost [22]。在本文中,我们专注于这两种方法,并提出了一种基于 SVM 基学习器的新型半监督方法。

支持向量机由 Cortes 和 Vapnik 提出[6]并且是许多实际领域中很有前途的基础学习者之一,例如对象检测、文档和网页分类。它是一种基于边际和统计学习理论的监督学习方法[8]。支持向量机算法的目的是在 N 维空间中找到一个最优的超平面,以便对数据点进行分类。如图 1 所示,有许多可能的超平面可供选择。支持向量机的最优分类超平面不仅需要正确地分离数据点,还需要最大化边距[8]。最大化边距会导致强大的分类模型。SVM 的标准形式仅用于监督学习任务。这种基础学习器不能直接处理半监督分类任务。SVM 有几个扩展,像 S3VM 和 TSVM。这些方法使用未标记的数据来规范决策边界。这些方法主要将 SVM 基分类器扩展到计算量大的半监督学习[16]. 因此,这些方法仅适用于小数据集。最近,半监督自训练已被用于处理半监督分类任务[7,23,29]. 自训练是一种重复使用监督学习方法的基于包装器的算法。它开始仅对标记数据进行训练。在每一步,根据当前决策函数标记一组未标记的点;然后使用其自己的预测作为附加标记点重新训练监督方法[23]。然而,这种方法的性能取决于正确预测未标记数据的标签。这很重要,因为错误预测的选择会传播以产生进一步的分类错误。总的来说,有两个主要挑战。首先是在训练过程的每次迭代中选择合适的未标记示例候选集进行标记。第二个是正确预测未标记示例的标签。为了处理这些问题,[7,23,29]. 这些选定的示例通常远离决策边界。因此,这种类型的算法不能有效地利用来自未标记数据的信息,最终的决策边界将非常接近初始分类器的边界[22]。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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