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数学代写|理论计算机代写theoretical computer science代考|Probabilistic Model Checking
The aim of probabilistic model checking is to verify a desired quantitative or qualitative property of the system. A main class of PCTL properties includes reachability probabilities and expected rewards. For DTMCs, a reachability probability is the probability of reaching the set of goal states $G$ and for MDPs, it is the extremal probability of reaching $G$. Reward-based properties are defined as the expected accumulated reward (extremal expected reward in the case of MDPs) until reaching a goal state [1]. To formally reason about reachability probabilities, we need to define a probability measure on the set of paths that reach to some states in $G$. For a state $s_{0} \in S$, let reach ${ }{s{0}}(G)$ be the set of all paths that start from $s_{0}$ and have a state from $G$ :
$$
\text { reach }{s{0}}(G) \stackrel{\text { def }}{=}\left{\pi \in P a t h s_{D_{1} s_{0}} \mid \pi[i] \in G \text { for some } i \geq 0\right} .
$$
The probability measure on the set $\operatorname{reach}{s{0}}(G)$ is defined as [1]:
$$
\operatorname{Pr}^{D}\left(\operatorname{reach}{s{0}}(G)\right)=\sum_{s_{0} s_{1} \ldots s_{n} \in \text { reach } x_{0}}(G) \operatorname{Pr}^{D}\left(\operatorname{Cyl}\left(s_{0} s_{1} \ldots s_{n}\right)\right)
$$
For MDPs, reachability probabilities are defined as the extremal probabilities of reaching goal states $[13,16]$ :
$$
P r_{\max }^{M}\left(\text { reach }{s{0}}(G)\right) \stackrel{\text { def }}{=} \sup {\sigma \in \operatorname{Pol}{M}} \operatorname{Pr}{\sigma}^{M}\left(\operatorname{reach}{s_{0}}(G)\right)
$$
Reachability probability properties are divided into qualitative and quantitative properties. A qualitative property of a probabilistic system means the probability of reaching the set of goal states is either 0 or 1 [1]. Qualitative verification is a method to find the set of states for which this reachability probability is exactly 0 or 1 . We denote these sets by $S^{0}$ and $S^{1}$, respectively. For the case of MDPs, we are interested to find those states for which the maximum or minimum reachability probability is 0 or 1 . These sets are denoted by $S_{\text {min }}^{0}$, $S_{\max }^{0}, S_{\min }^{1}$ and $S_{\max }^{1}$ and can be computed by graph-based methods [2].
数学代写|理论计算机代写theoretical computer science代考|Quantitative Properties
In probabilistic model checking, we consider a $\mathrm{PCTL}$ property to be quantitative if the probability of reaching goal states is not exactly 0 or 1 . Verification of quantitative properties usually reduces to solving a linear time equation system (for DTMCs) or solving a Bellman equation for MDPs [3,5]. For an arbitrary state $s \in S$ in a DTMC $D$, let $x_{s}$ be the probability of reaching $G$ from $s$, i.e., $x_{s}=P r^{D}($ reach $s(G))$. The values of $x_{s}$ for all $s \in S$ are obtained as the unique solution of the linear equation system $[1,2]$ :
$$
x_{s}=\left{\begin{array}{lll}
0 & \text { if } & s \in S^{0} \
1 & \text { if } & s \in S^{1} \
\sum_{s^{\prime} \in S} \mathbf{P}\left(s, s^{\prime}\right) \cdot x_{s^{\prime}} & \text { if } & s \in S^{?}
\end{array}\right.
$$
where $S^{?}=S \backslash\left(S^{0} \cup S^{1}\right)$. A model checker can use any direct method (e.g. Gaussian elimination) or iterative method (e.g. Jacobi, Gauss-Seidel) to compute the solution of this linear equation system.
For the case of MDPs, we consider $x_{s}$ as the maximum (or minimum) probability of reaching $G$, i.e., $x_{s}=P r_{\max }^{M}\left(\right.$ reach $\left.h_{s}(G)\right)$. In this case, the values of $x_{s}$ are obtained as the solution of the Bellman equation system:
where $S_{\max }^{?}=S \backslash\left(S_{\max }^{0} \cup S_{\max }^{1}\right)$. Using $x_{s}$ for the maximal expected accumulated reward, we have $[1,2]$ :
$$
x_{s}= \begin{cases}0 & \text { if } s \in G \ \infty & \text { if } s \notin S_{\min }^{1} \ \max {\alpha \in A c t(s)} \sum{s^{\prime} \in S}\left(R\left(s, \alpha, s^{\prime}\right)+\delta(s, \alpha)\left(s^{\prime}\right) \cdot x_{s^{\prime}}\right) & \text { otherwise }\end{cases}
$$
Some standard direct algorithms (like Simplex algorithm [11]) are able to compute the precise values for the Bellman equation. The main drawback of direct methods is their scalability that limits them to relatively small models [2]. Iterative methods are other alternatives to approximate the values of $x_{s^{*}}$.
数学代写|理论计算机代写theoretical computer science代考|Iterative Methods for Quantitative Reachability Probabilities
Value iteration (VI) and policy iteration (PI) are two standard iterative methods that are used to compute the quantitative properties in probabilistic systems. VI and its Gauss-Seidel extension are widely studied in the previous works $[1,2$, $13,15,16]$. We review PI, which is used in the remaining of this paper.
Policy Iteration. This method iterates over policies in order to find the optimal policy that maximizes reachability probabilities of all states. Starting from an arbitrary policy, it improves policies until reaching no change in them [2]. For each policy, the method uses an iterative method to compute the reachability probability values of quotient DTMCs and updates the value of states of the original MDP. The termination of this method is guaranteed for every finite MDP [2]. Modified policy iteration (MPI) [5] performs a limited number of iterations for each quotient DTMC (100 iterations for example) and updates the policy after doing this number of iterations. Algorithm 1 shows the standard policy iteration to compute $\operatorname{Pr}{\max }^{M}\left(\right.$ reach $\left.{s}(G)\right)$. We consider a policy as a mapping $\sigma$ from states to actions. In lines $7-9$, the algorithm uses a greedy approach to update the policy $\sigma$. More details about this algorithm are available in [2].
理论计算机代写
数学代写|理论计算机代写theoretical computer science代考|Probabilistic Model Checking
概率模型检查的目的是验证系统所需的定量或定性属性。PCTL 属性的主要类别包括可达性概率和预期奖励。对于 DTMC，可达概率是达到目标状态集的概率G对于 MDP，它是达到的极值概率G. 基于奖励的属性被定义为达到目标状态之前的预期累积奖励（MDP 的极端预期奖励）[1]。为了正式推理可达性概率，我们需要在到达某些状态的路径集上定义一个概率度量G. 对于一个状态s0∈小号, 让达到 ${ } {s {0}}(G)b和吨H和s和吨这F一种llp一种吨Hs吨H一种吨s吨一种r吨Fr这米s_{0}一种ndH一种在和一种s吨一种吨和Fr这米G:\text { 到达 }{s{0}}(G) \stackrel{\text { def }}{=}\left{\pi \in P a th h s_{D_{1} s_{0}} \mid \pi [i] \in G \text { 对于一些 } i \geq 0\right} 。\text { 到达 }{s{0}}(G) \stackrel{\text { def }}{=}\left{\pi \in P a th h s_{D_{1} s_{0}} \mid \pi [i] \in G \text { 对于一些 } i \geq 0\right} 。吨H和pr这b一种b一世l一世吨是米和一种s在r和这n吨H和s和吨\operatorname{reach}{s{0}}(G)一世sd和F一世n和d一种s[1]:公关D(抵达s0(G))=∑s0s1…sn∈ 抵达 X0(G)公关D(气缸(s0s1…sn))F这r米D磷s,r和一种CH一种b一世l一世吨是pr这b一种b一世l一世吨一世和s一种r和d和F一世n和d一种s吨H和和X吨r和米一种lpr这b一种b一世l一世吨一世和s这Fr和一种CH一世nGG这一种ls吨一种吨和s[13,16]:磷r最大限度米( 抵达 s0(G))= 定义 支持σ∈波尔米公关σ米(抵达s0(G))R和一种CH一种b一世l一世吨是pr这b一种b一世l一世吨是pr这p和r吨一世和s一种r和d一世在一世d和d一世n吨这q在一种l一世吨一种吨一世在和一种ndq在一种n吨一世吨一种吨一世在和pr这p和r吨一世和s.一种q在一种l一世吨一种吨一世在和pr这p和r吨是这F一种pr这b一种b一世l一世s吨一世Cs是s吨和米米和一种ns吨H和pr这b一种b一世l一世吨是这Fr和一种CH一世nG吨H和s和吨这FG这一种ls吨一种吨和s一世s和一世吨H和r0这r1[1].问在一种l一世吨一种吨一世在和在和r一世F一世C一种吨一世这n一世s一种米和吨H这d吨这F一世nd吨H和s和吨这Fs吨一种吨和sF这r在H一世CH吨H一世sr和一种CH一种b一世l一世吨是pr这b一种b一世l一世吨是一世s和X一种C吨l是0这r1.在和d和n这吨和吨H和s和s和吨sb是S^{0}一种ndS^{1},r和sp和C吨一世在和l是.F这r吨H和C一种s和这F米D磷s,在和一种r和一世n吨和r和s吨和d吨这F一世nd吨H这s和s吨一种吨和sF这r在H一世CH吨H和米一种X一世米在米这r米一世n一世米在米r和一种CH一种b一世l一世吨是pr这b一种b一世l一世吨是一世s0这r1.吨H和s和s和吨s一种r和d和n这吨和db是S _ {\ text {min}} ^ {0},S_{\max }^{0}, S_{\min }^{1}一种ndS_{\max }^{1}$ 并且可以通过基于图的方法 [2] 计算。
数学代写|理论计算机代写theoretical computer science代考|Quantitative Properties
在概率模型检查中，我们考虑一个磷C吨大号如果达到目标状态的概率不完全是 0 或 1 ，则属性是定量的。定量特性的验证通常简化为求解线性时间方程系统（对于 DTMC）或求解 MDP 的贝尔曼方程 [3,5]。对于任意状态s∈小号在 DTMC 中D， 让Xs是到达的概率G从s， IE，Xs=磷rD(抵达s(G)). 的价值观Xs对全部s∈小号得到作为线性方程组的唯一解[1,2]:
$$
x_{s}=\左{0 如果 s∈小号0 1 如果 s∈小号1 ∑s′∈小号磷(s,s′)⋅Xs′ 如果 s∈小号?\对。
$$
在哪里小号?=小号∖(小号0∪小号1). 模型检查器可以使用任何直接方法（例如高斯消去法）或迭代方法（例如 Jacobi、Gauss-Seidel）来计算该线性方程组的解。
对于 MDP 的情况，我们认为Xs作为达到的最大（或最小）概率G， IE，Xs=磷r最大限度米(抵达Hs(G)). 在这种情况下，值Xs作为贝尔曼方程组的解获得：
其中小号最大限度?=小号∖(小号最大限度0∪小号最大限度1). 使用Xs对于最大预期累积奖励，我们有[1,2]:
$$
x_{s}= \begin{cases}0 & \text { if } s \in G \ \infty & \text { if } s \notin S_{\min }^{1} \ \max {\ alpha \in A ct(s)} \sum {s^{\prime} \in S}\left(R\left(s, \alpha, s^{\prime}\right)+\delta(s, \ alpha)\left(s^{\prime}\right) \cdot x_{s^{\prime}}\right) & \text { else }\end{cases}
$$
一些标准的直接算法（如 Simplex 算法 [ 11]）能够计算贝尔曼方程的精确值。直接方法的主要缺点是它们的可扩展性，这将它们限制在相对较小的模型中 [2]。迭代方法是近似值的其他替代方法Xs∗.
数学代写|理论计算机代写theoretical computer science代考|Iterative Methods for Quantitative Reachability Probabilities
值迭代 (VI) 和策略迭代 (PI) 是用于计算概率系统中的定量属性的两种标准迭代方法。VI及其Gauss-Seidel扩展在以前的作品中得到了广泛的研究[1,2, 13,15,16]. 我们回顾了本文其余部分中使用的 PI。
政策迭代。该方法迭代策略以找到最大化所有状态的可达概率的最优策略。从任意策略开始，它会改进策略直到它们没有变化[2]。对于每个策略，该方法使用迭代方法计算商 DTMC 的可达概率值，并更新原始 MDP 的状态值。对于每个有限 MDP [2]，都保证了该方法的终止。修改后的策略迭代 (MPI) [5] 为每个商 DTMC 执行有限次数的迭代（例如 100 次迭代），并在完成此次数的迭代后更新策略。算法 1 显示了计算 $\operatorname{Pr} {\max }^{M}\left(\right.r和一种CH\剩下。{s}(G)\右).在和C这ns一世d和r一种p这l一世C是一种s一种米一种pp一世nG\西格玛Fr这米s吨一种吨和s吨这一种C吨一世这ns.一世nl一世n和s7-9,吨H和一种lG这r一世吨H米在s和s一种Gr和和d是一种ppr这一种CH吨这在pd一种吨和吨H和p这l一世C是\西格玛$。[2] 中提供了有关此算法的更多详细信息。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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