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离散数学是研究可以被认为是 “离散”（类似于离散变量，与自然数集有偏射）而不是 “连续”（类似于连续函数）的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下，离散数学不包括 “连续数学 “中的课题，如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举；更正式地说，离散数学被定性为处理可数集的数学分支（有限集或与自然数具有相同心数的集）。然而，”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。
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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|What is Ramsey Theory
Consider positive integer solutions to $x+y=z$. Of course, $1+1=2$ and $2+3=5$ work if we allow all positive integers. So, let’s try to break this by splitting the positive integers into two parts. In Ramsey theory, we typically use colors to describe the partitions, so we will have, say, red integers and blue integers.
Must we still have a solution to $x+y=z$ if we now require the integers to be in the same partition, i.e., the same color? Let’s see if we can avoid the property of one part of the partition having a solution to $x+y=z$. First, 1 and 2 must be different colors (since $1+1=2$ ) and, consequently, 4 must be the same color as 1 (since $2+2=4$ ). Let’s say that 1 and 4 are red and 2 is blue. Since $1+4=5$, we see that 5 must also be blue, and, consequently, 3 must be red (since $2+3=5$ ). But now 1,3 , and 4 are all red, so the Ramsey property persists.
Ramsey properties also exist on graphs. For example, if we take $n \geq 3$ vertices and connect every pair of vertices with an edge, we clearly have a triangle with all edges in the same partition. Can we partition the edges in such a way so that we no longer have a triangle with all edges in the same partition? The answer is no, provided we have at least 6 vertices. To see this,
isolate one vertex, say $X$. Using the colors red and blue, since $X$ is connected to at least 5 other vertices, we see that one of the colors must occur on at least 3 of the edges. Let $X$ be connected to each of vertices $A, B$, and $C$ with a blue edge. If any edge between any two of $A, B$, and $C$ is blue, then we have a blue triangle. Otherwise, all edges among $A, B$, and $C$ are red and we again have a monochromatic (red) triangle. So, as long as we have enough vertices (here, we have shown that 6 vertices suffice), we cannot avoid a monochromatic triangle. It is easy to show that 6 vertices is also necessary by considering only 5 vertices $V_{0}, V_{1}, \ldots, V_{4}$ and letting the edge between $V_{i}$ and $V_{j}$ be red if $j \equiv i+1(\bmod 5)$, and blue otherwise.
The above examples are the easiest cases of two of the most well-known theorems in Ramsey theory: Schur’s Theorem $(x+y=z)$ and Ramsey’s Theorem (graphs). If these intrigue you, then you will find other compelling results in the coming chapters.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Notations and Conventions
We will use the following notations and conventions. Other symbols that are used appear on page xiii.
Since Ramsey theory deals with colorings, formally, for $r \in \mathbb{Z}^{+}$, an $r$ coloring of the elements of a set $S$ is a mapping $\chi: S \rightarrow T$, where $|T|=r$ and, typically, $T={0,1, \ldots, r-1}$.
Unless otherwise stated, the intervals we use are integer intervals. Hence, we rely on the notation
$$
[1, n]={1,2, \ldots, n} \text {. }
$$
We may refer to this interval by $\mathbb{Z}_{n}$ if we are doing arithmetic modulo $n$. Similarly, we will assume all arithmetic progressions are of integers unless otherwise stated.
As hinted at by the definition of an $r$-coloring, we will be dealing with sets often. For any set $S$, we use $|S|$ to denote the cardinality of $S$ and we use $\rho(S)$ to denote the power set of $S$.
In our asymptotic analysis, we will use the notations $O(n), o(1)$, and $\ll$. We remind the reader of these next.
Definition $1.1$ (Big-O, Little-o, and $\ll)$. We say that $f(n)=O(n)$ if there exists a constant $c>0$ such that $|f(n)| \leq c n$ for all sufficiently large $n$. We say that $f(n)=o(1)$ if $\lim {n \rightarrow \infty} f(n)=0$. We say $f(n) \leqslant g(n)$ if $\lim {n \rightarrow \infty} \frac{f(n)}{g(n)}=0$.
We will also be using logarithms often. For our purposes, log is the base 2 logarithm and $\ln$ is the natural logarithm.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Combinatorics
When doing asymptotic analysis, we will rely on two results. The first is Stirling’s formula, formulated as
$$
n ! \approx \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}
$$
The second is
$$
\ln (1+x) \approx x
$$
for $x$ small. Some consequences of these appear in the Exercises section of this chapter, and those consequences will be used without reference.
Many results in Ramsey theory have their origins with the pigeonhole principle. This principle is obvious in statement, but not necessarily so in application. For reference, here is the pigeonhole principle.
Theorem $1.2$ (Pigeonhole Principle). Let $k, r \in \mathbb{Z}^{+} .$If $n \geq k r+1$ elements are partitioned into $r$ parts, then one of those parts must contain at least $k+1$ elements.
The last combinatorial concept we remind the reader of is the Principle of Inclusion-Exclusion. It is a counting principle but can also be stated in terms of probabilities (see Equation 6.1).
Theorem 1.3 (Principle of Inclusion-Exclusion). Let $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{m}$ be finite sets. Then
$$
\begin{aligned}
\left|\bigcup_{i=1}^{m} S_{i}\right| &=\sum_{i=1}^{m}\left|S_{i}\right|-\sum_{1 \leq i<j \leq m}\left|S_{i} \cap S_{j}\right|+\sum_{1 \leq i<j<k \leq m}\left|S_{i} \cap S_{j} \cap S_{k}\right|-\cdots+(-1)^{m+1}\left|\bigcap_{i=1}^{m} S_{i}\right| \
&=\sum_{i=1}^{m} \sum_{\substack{I \subseteq[1, m] \
|X|=i}}(-1)^{i+1}\left|\bigcap_{j \in I} S_{j}\right|
\end{aligned}
$$In Ramsey theory it is usually not feasible to calculate all terms in the inclusion-exclusion formula. Hence, we will use the following Bonferroni inequalities.
离散数学代写
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|What is Ramsey Theory
考虑正整数解X+是=和. 当然，1+1=2和2+3=5如果我们允许所有正整数，则工作。所以，让我们尝试通过将正整数分成两部分来打破这一点。在 Ramsey 理论中，我们通常使用颜色来描述分区，所以我们会有红色整数和蓝色整数。
我们是否还有解决方案X+是=和如果我们现在要求整数在同一个分区中，即相同的颜色？让我们看看我们是否可以避免分区的一个部分的属性有一个解决方案X+是=和. 首先，1 和 2 必须是不同的颜色（因为1+1=2)，因此，4 必须与 1 的颜色相同（因为2+2=4）。假设 1 和 4 是红色，2 是蓝色。自从1+4=5，我们看到 5 也必须是蓝色的，因此，3 必须是红色的（因为2+3=5）。但是现在 1,3 和 4 都是红色的，所以 Ramsey 属性仍然存在。
Ramsey 属性也存在于图上。例如，如果我们采取n≥3顶点并将每对顶点与一条边连接起来，我们显然有一个三角形，所有边都在同一个分区中。我们能否以这样的方式对边进行分区，以使我们不再有一个所有边都在同一个分区中的三角形？答案是否定的，只要我们至少有 6 个顶点。看到这个，
隔离一个顶点，比如说X. 使用红色和蓝色，因为X连接到至少 5 个其他顶点，我们看到其中一种颜色必须出现在至少 3 个边上。让X连接到每个顶点一种,乙， 和C带有蓝色边缘。如果任何两个之间的任何边缘一种,乙， 和C是蓝色的，那么我们有一个蓝色三角形。否则，之间的所有边一种,乙， 和C是红色的，我们再次有一个单色（红色）三角形。所以，只要我们有足够的顶点（这里，我们已经证明 6 个顶点就足够了），我们就无法避免单色三角形。通过只考虑 5 个顶点，很容易证明 6 个顶点也是必要的在0,在1,…,在4并让边缘之间在一世和在j如果是红色j≡一世+1(反对5)，否则为蓝色。
上面的例子是拉姆齐理论中两个最著名的定理的最简单的例子：舒尔定理(X+是=和)和拉姆齐定理（图表）。如果这些引起了您的兴趣，那么您将在接下来的章节中发现其他令人信服的结果。
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Notations and Conventions
我们将使用以下符号和约定。其他使用的符号出现在第 xiii 页。
由于拉姆齐理论正式处理着色，因此r∈从+， 一个r集合元素的着色小号是一个映射χ:小号→吨， 在哪里|吨|=r并且，通常，吨=0,1,…,r−1.
除非另有说明，我们使用的区间是整数区间。因此，我们依赖符号
[1,n]=1,2,…,n.
我们可以通过从n如果我们做算术模n. 同样，除非另有说明，否则我们将假设所有算术级数都是整数。
正如定义所暗示的那样r-着色，我们将经常处理集合。对于任何集合小号， 我们用|小号|表示基数小号我们使用ρ(小号)来表示的幂集小号.
在我们的渐近分析中，我们将使用符号这(n),这(1)， 和≪. 我们接下来提醒读者这些。
定义1.1（大 O、小 O 和≪). 我们说F(n)=这(n)如果存在一个常数C>0这样|F(n)|≤Cn对于所有足够大的n. 我们说F(n)=这(1)如果林n→∞F(n)=0. 我们说F(n)⩽G(n)如果林n→∞F(n)G(n)=0.
我们也会经常使用对数。就我们的目的而言，log 是以 2 为底的对数，并且ln是自然对数。
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Combinatorics
在进行渐近分析时，我们将依赖两个结果。第一个是斯特林公式，公式为
n!≈2圆周率n(n和)n
第二个是
ln(1+X)≈X
为了X小的。其中的一些后果出现在本章的练习部分，这些后果将在没有参考的情况下使用。
拉姆齐理论的许多结果都源于鸽巢原理。这个原则在陈述中是显而易见的，但在应用中却不一定如此。作为参考，这里是鸽巢原理。
定理1.2（鸽巢原理）。让ķ,r∈从+.如果n≥ķr+1元素被划分为r部分，那么这些部分之一必须至少包含ķ+1元素。
我们提醒读者的最后一个组合概念是包含-排除原则。这是一个计数原则，但也可以用概率来表示（见公式 6.1）。
定理 1.3（包含-排除原理）。让小号1,小号2,…,小号米是有限集。然后
|⋃一世=1米小号一世|=∑一世=1米|小号一世|−∑1≤一世<j≤米|小号一世∩小号j|+∑1≤一世<j<ķ≤米|小号一世∩小号j∩小号ķ|−⋯+(−1)米+1|⋂一世=1米小号一世| =∑一世=1米∑一世⊆[1,米] |X|=一世(−1)一世+1|⋂j∈一世小号j|在拉姆齐理论中，计算包含排除公式中的所有项通常是不可行的。因此，我们将使用以下 Bonferroni 不等式。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。