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离散数学是研究可以被认为是 “离散”（类似于离散变量，与自然数集有偏射）而不是 “连续”（类似于连续函数）的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下，离散数学不包括 “连续数学 “中的课题，如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举；更正式地说，离散数学被定性为处理可数集的数学分支（有限集或与自然数具有相同心数的集）。然而，”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。
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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Compactness Principle
There is an interplay between finite and infinite Ramsey theory. While much of this book focuses on finite Ramsey theory, we can use the infinite to prove the finite. This is accomplished by the Compactness Principle, which we state below.
Compactness Principle. Let $\mathcal{F}$ be a family of finite subsets of $\mathbb{Z}^{+}$. Let $k, r \in \mathbb{Z}^{+}$. Assume that every $r$-coloring of the $k$-element subsets of $\mathbb{Z}^{+}$admits $F \in \mathcal{F}$ with the property that all $k$-element subsets of $F$ have the same color. Then there exists $N \in \mathbb{Z}^{+}$such that for all $n \geq N$, any $r$-coloring of the $k$ element subsets of $[1, n]$ admits $G \in \mathcal{F}$ with $G \subseteq[1, n]$ such that the collection of $k$-element subsets of $G$ is monochromatic.
This result can be used at times to bypass technical details in proofs. Since many Ramsey theory results are about having “large enough” systems, when dealing with the set of integers we often encounter statements of the form “for all $n \geq N$, property $P$ holds.” If we can show that property $P$ holds over the positive integers, then the Compactness Principle gives us the “for all $n \geq N “$ part of the statement.
The proof of the Compactness Principle is essentially Cantor’s argument for proving that the set of real numbers is uncountable; the reader is referred to $[129]$ for a proof.
A word of warning is warranted here. The Compactness Principle does not work in reverse; that is, we cannot prove the finite version and conclude that it holds for the infinite. As we will see, results on infinite sets can run counter to their finite counterparts. Just keep in mind that arbitrarily large does not mean infinite.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Set Theoretic Considerations
We will be focusing our attention on countable objects; however, Ramsey theory is also studied over uncountable sets. We can ask, for example, do similar results hold if we color $\mathbb{R}^{+}$instead of $\mathbb{Z}^{+} ?$ When doing so, the Axiom of Choice (or one of its equivalents) may come into play. We will largely (but not always) stay away from this uncountable territory; see [117] for a recent treatment of Ramsey theory in the uncountable setting.
We will note here that, like the Banach-Tarski paradox, we get some strange results in the uncountable setting. Consider the set of infinite subsets of $\mathbb{Z}^{+}$, denoted by $\mathcal{P}$. Assume that each $P \in \mathcal{P}$ is assigned one of two colors. In order for $\mathcal{P}$ to have the Ramsey property, we would require that
under every possible 2 -coloring $\chi$ of the elements of $\mathcal{P}$, there exists an infinite set $S \in \mathcal{P}$ such that all infinite subsets of $S$ have the same color under $\chi$.
As noted by Galvin and Prikry [79], both of the following hold:
(i) assuming the Axiom of Choice is true (so that there exist subsets of $\mathbb{R}$ that are non-measurable), Erdôs and Rado [68] have provided a 2 coloring of the elements of $\mathcal{P}$ such that no infinite set has all infinite subsets the same color;
(ii) assuming the Axiom of Choice is false and that all subsets of $\mathbb{R}$ are measurable, Mathias [142] has shown that under any 2-coloring of the elements of $\mathcal{P}$ there exists an infinite set that has all infinite subsets the same color.
By restricting ourselves to countable sets, we will focus on the Ramseytheoretic content of the material and not on the set-theoretic aspects, which, as we see above, can lead to “paradoxical” results.
There are a few instances in this book where we do appeal to the Axiom of Choice in the equivalent form of Zorn’s Lemma, which we now state.
Zorn’s Lemma. If every chain in a partially ordered set $S$ has an upper bound (respectively, lower bound) in $S$, then $S$ contains a maximal (respectively, minimal) element.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Exercises
$1.1$ Show that
$$
\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \approx e^{x}
$$
for large $n$.
$1.2$ Let $k, n \in \mathbb{Z}^{+}$be large, with $n \gg k$. Show that
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right) \approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi k}} \cdot\left(\frac{n e}{k}\right)^{k}
$$
$1.3$ Consider the $k$-element sets of $[1, n]$. If we color each integer in $[1, n]$ randomly with one of $r$ colors, what is the probability that a particular $k$-element set is monochromatic? What is the probability that at least one of the $k$-element sets is monochromatic if $n>r(k-1)$ ?
$1.4$ Show that for any $n+1$ integers chosen from ${1,2, \ldots, 2 n}$, two of the chosen integers have the property that one divides the other.
$1.5$ Let $n \in \mathbb{Z}^{+}$and consider a set $S$ of $n$ integers, none of which are divisible by $n$. Show that there exists a subset $\emptyset \neq T \subseteq S$ such that $n$ divides $\sum_{t \in T} t$.
$1.6$ Let $n \in \mathbb{Z}^{+}$. Show that there are two powers of two that differ by a multiple of $n$.
$1.7$ This is a gem due to Erdôs and Szekeres [70]. Let $n, m \in \mathbb{Z}^{+}$. Prove that every sequence of $n m+1$ distinct numbers contains either an increasing subsequence of length $n+1$ or a decreasing subsequence of length $m+1$.
Hint:
For each number in the sequence let $\ell_{i}$ be the length of the longest increasing subsequence starting at the $i^{\text {th }}$ term.
$1.8$ How many arithmetic progressions of length 3 are contained in $[1, n]$ ? How many of length $k$ ?
$1.9$ Let $S$ be a set with $|S|=n$. Let $F$ be the set of bijections from $S$ to $S$ such that for $f \in F$ we have $f(s) \neq s$ for all $s \in S$. Use the Principle of Inclusion-Exclusion to show that $|F|$ is the integer nearest $\frac{n !}{e}$.
$1.10$ For $t \in \mathbb{Z}{n}$, let $$ \chi(t)=e^{\frac{2 \pi i t}{n}}, $$ where $i=\sqrt{-1}$. Prove directly that, for $t \neq 0$ we have $$ \sum{k=0}^{n-1} \chi(k t)=0
$$
$1.11$ Consider the function $f$ defined on $\mathbb{Z}{5}$ by $f(x)=x^{2}$. Find $\widehat{f}(t)$, the discrete Fourier transform of $f$, and verify (i) and (iii) of Theorem 1.9. $1.12$ Consider all infinite binary strings. For two strings $s{1} s_{2} s_{3} \ldots$ and $t_{1} t_{2} t_{3} \ldots$, let $n$ be the minimal positive integer for which $s_{n} \neq t_{n}$. Show that $d(s, t)=2^{-n}$ defines a metric on the space of infinite binary strings.
1.13 Prove that Corollary $1.7$ follows from Lemma 1.6.
$1.14$ Let $n \in \mathbb{Z}^{+}$. Let $S$ be a strict subspace of $\mathbb{Q}^{n}$. Define $S^{\perp}$ to be the orthogonal complement of $S$. Describe $S^{\perp}$ and prove that every element of $\mathbb{Q}^{n}$ can be written as $s+s^{\perp}$ for some $s \in S$ and $s^{\perp} \in S^{\perp}$.
$1.15$ Let $p$ be prime and let $n \in \mathbb{Z}^{+}$. How many $x \in{1,2, \ldots, p-1}$ satisfy $x^{n} \equiv 1(\bmod p) ?$
离散数学代写
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Compactness Principle
有限和无限拉姆齐理论之间存在相互作用。虽然本书的大部分内容都集中在有限的拉姆齐理论上，但我们可以使用无限来证明有限。这是通过紧凑性原则实现的，我们将在下面说明。
紧凑性原则。让F是一组有限子集从+. 让ķ,r∈从+. 假设每个r- 着色ķ-元素子集从+承认F∈F与所有的财产ķ-元素子集F有相同的颜色。那么存在ñ∈从+这样对于所有人n≥ñ， 任何r- 着色ķ的元素子集[1,n]承认G∈F和G⊆[1,n]这样的集合ķ-元素子集G是单色的。
这个结果有时可以用来绕过证明中的技术细节。由于许多 Ramsey 理论结果是关于拥有“足够大”的系统，因此在处理整数集时，我们经常遇到“for all”形式的陈述n≥ñ， 财产磷持有。” 如果我们可以显示该属性磷保持正整数，那么紧致原则给了我们“对于所有人n≥ñ“声明的一部分。
紧致性原理的证明本质上是康托尔证明实数集不可数的论证；读者被提及[129]为证明。
这里有必要警告一下。紧凑性原则不会反过来起作用；也就是说，我们无法证明有限版本并得出结论它适用于无限。正如我们将看到的，无限集的结果可能与有限集的结果背道而驰。请记住，任意大并不意味着无限。
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Set Theoretic Considerations
我们将把注意力集中在可数的物体上；然而，拉姆齐理论也在不可数集上进行了研究。例如，如果我们着色，我们可以问类似的结果是否成立R+代替从+?这样做时，选择公理（或其等价物之一）可能会发挥作用。我们将在很大程度上（但并非总是）远离这个不可数的领域；有关不可数环境中拉姆齐理论的最新处理，请参见 [117]。
我们将在这里注意到，就像巴拿赫-塔斯基悖论一样，我们在不可数设置中得到了一些奇怪的结果。考虑一组无限子集从+，表示为磷. 假设每个磷∈磷被分配两种颜色之一。为了磷要拥有 Ramsey 财产，我们需要
在所有可能的 2 着色下χ的元素磷, 存在一个无限集小号∈磷这样所有的无限子集小号下有相同的颜色χ.
正如 Galvin 和 Prikry [79] 所指出的，以下两个都成立：
（i）假设选择公理是正确的（因此存在R是不可测量的），Erdôs 和 Rado [68] 提供了 2 种颜色的元素磷使得没有无限集的所有无限子集都具有相同的颜色；
(ii) 假设选择公理是错误的并且所有子集R是可测量的，Mathias [142] 表明，在元素的任何 2 着色下磷存在一个无限集，它的所有无限子集都具有相同的颜色。
通过将自己限制在可数集上，我们将关注材料的拉姆齐理论内容，而不是集合论方面，正如我们在上面看到的，这可能导致“矛盾”的结果。
在本书中有几个例子，我们确实以 Zorn 引理的等效形式诉诸选择公理，我们现在陈述。
佐恩引理。如果偏序集中的每条链小号有一个上限（分别为下限）小号， 然后小号包含一个最大（分别为最小）元素。
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Exercises
1.1显示
(1+Xn)n≈和X
对于大n.
1.2让ķ,n∈从+大，有n≫ķ. 显示
(n ķ)≈12圆周率ķ⋅(n和ķ)ķ
1.3考虑ķ-元素集[1,n]. 如果我们为每个整数着色[1,n]随机与其中之一r颜色，一个特定的概率是多少ķ-元素集是单色的？至少有一个的概率是多少ķ- 元素集是单色的，如果n>r(ķ−1) ?
1.4显示任何n+1从中选择的整数1,2,…,2n，两个选定的整数具有一个除另一个的性质。
1.5让n∈从+并考虑一个集合小号的n整数，其中任何一个都不能被n. 证明存在一个子集∅≠吨⊆小号这样n划分∑吨∈吨吨.
1.6让n∈从+. 证明有两个相差 的倍数的 2 的幂n.
1.7这是 Erdôs 和 Szekeres [70] 的瑰宝。让n,米∈从+. 证明每一个序列n米+1不同的数字包含一个增加的长度子序列n+1或长度递减的子序列米+1.
提示：
对于序列中的每个数字，让ℓ一世是从 开始的最长递增子序列的长度一世th 学期。
1.8长度为 3 的等差数列包含多少个[1,n]? 多少长ķ ?
1.9让小号与|小号|=n. 让F是来自的双射集小号到小号这样对于F∈F我们有F(s)≠s对全部s∈小号. 使用包含-排除原理来证明|F|是最接近的整数n!和.
1.10为了吨∈从n， 让χ(吨)=和2圆周率一世吨n,在哪里一世=−1. 直接证明，对于吨≠0我们有∑ķ=0n−1χ(ķ吨)=0
1.11考虑函数F定义于从5经过F(X)=X2. 寻找F^(吨), 的离散傅里叶变换F，并验证定理 1.9 的 (i) 和 (iii)。1.12考虑所有无限的二进制字符串。对于两个字符串s1s2s3…和吨1吨2吨3…， 让n是最小的正整数sn≠吨n. 显示d(s,吨)=2−n定义无限二进制字符串空间的度量。
1.13 证明推论1.7遵循引理 1.6。
1.14让n∈从+. 让小号是一个严格的子空间问n. 定义小号⊥是的正交补小号. 描述小号⊥并证明每个元素问n可以写成s+s⊥对于一些s∈小号和s⊥∈小号⊥.
1.15让p成为素数并让n∈从+. 多少X∈1,2,…,p−1满足Xn≡1(反对p)?
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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