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离散数学是研究可以被认为是 “离散”（类似于离散变量，与自然数集有偏射）而不是 “连续”（类似于连续函数）的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下，离散数学不包括 “连续数学 “中的课题，如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举；更正式地说，离散数学被定性为处理可数集的数学分支（有限集或与自然数具有相同心数的集）。然而，”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。
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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Schur’s Theorem
The simplest of nontrivial equations is probably $x+y=z$ (clearly, $x=y$ has the Ramsey property, while it is easy to show that $y=x+b, b \neq 0$, and $y=c x, c \neq 0,1$, do not). By Corollary $2.2$, the existence of $\widehat{w}(2,1 ; r)$ shows
that we do have a monochromatic solution to $x+y=z$ with $x=a$ and $y=d$. However, such a monochromatic solution was proven by Schur [186] before van der Waerden’s Theorem was proven. We follow Schur’s original proof.
Theorem 2.15 (Schur’s Theorem). Let $r \in \mathbb{Z}^{+}$. There exists a minimal positive integer $s=s(r)$ such that every $r$-coloring of $[1, s]$ contains a monochromatic solution to $x+y=z$.
Proof. We will show that $s(r)<$ er!, thereby proving existence. Let $n_{0} \in$ $\mathbb{Z}^{+}$be arbitrary and assume that we have an $r$-coloring of $\left[1, n_{0}\right]$ with no monochromatic solution to $x+y=z$. Some color occurs at least $\frac{n_{0}}{r}$ times. Let this be color 1 and let $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n_{1}}$ be all of the integers of color 1 , with $n_{1} \geq \frac{n_{0}}{r}$. By assumption,
$$
S_{1}=\left{x_{k}-x_{1}: 2 \leq k \leq n_{1}\right}
$$
is void of color $1 .$
Within $S_{1}$, some color occurs at least $\frac{n_{1}-1}{r-1}$ times. Let this be color 2 (it cannot be color 1). Let $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n_{2}}$, with $n_{2} \geq \frac{n_{1}-1}{r-1}$, be all of the integers of color 2. By assumption,
$$
S_{2}=\left{y_{k}-y_{1}: 2 \leq k \leq n_{2}\right}
$$
is void of color 2. Since $y_{j}=x_{k_{j}}-x_{1}$ we see that $y_{i}-y_{1}=x_{k_{i}}-x_{k_{1}}$ so that $x_{k_{1}}+\left(y_{i}-y_{1}\right)=x_{k_{i}}$. Hence, $S_{2}$ must also be void of color 1 .
We continue in this manner to define sets $S_{i}$ of size $n_{i}-1$, where $n_{i} \geq$ $\frac{n_{i-1}-1}{r-i+1}$, that are void of colors $1,2, \ldots, i$. Hence, we have $n_{0} \leq r n_{1}$ and $n_{i} \leq$ $(r-i+1) n_{i+1}+1$ for $1 \leq i \leq k$ for some $k<r$ (since $S_{r}$ must be void of all colors).
Stringing these together, we have
$$
\begin{aligned}
n_{0} \leq r n_{1} \leq r\left((r-1) n_{2}+1\right) &=r+r(r-1) n_{2} \
& \leq r+r(r-1)+r(r-1)(r-2) n_{3} \
& \vdots \
& \leq \sum_{i=0}^{r} \frac{r !}{i !} \
&<r ! \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{i !}=e r !
\end{aligned}
$$
thereby proving the theorem.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Rado’s Theorem
Thus far we have seen that the equations $x+y=z$ and $x+y=2 z$ each admit monochromatic solutions under any finite coloring of $\mathbb{Z}^{+}$. On the other hand, it is easy to see that by coloring the entire intervals $\left[2^{i}, 2^{i+1}-1\right]$ with color $i$ modulo 2 , we have no guaranteed monochromatic solution to $x=2 y$ even for 2 colors. In order to discuss these types of results, we make the following definition.
Definition $2.19$ ( $r$-regular, regular). Let $r \in \mathbb{Z}^{+}$. We say that an equation $\mathcal{E}$ is $r$-regular if every $r$-coloring of $\mathbb{Z}^{+}$admits a monochromatic solution to $\mathcal{E}$. If $\mathcal{E}$ is $r$-regular for all $r \in \mathbb{Z}^{+}$, then we say that $\mathcal{E}$ is regular.
In this subsection we will limit our attention to linear homogeneous equations. We start with a lesser-known result of Rado [163], who was a student of Schur.
Theorem 2.20. Let $n \in \mathbb{Z}^{+}$with $n \geq 3$ and let $c_{i}, 1 \leq i \leq n$, be non-zero integers. The equation $\sum_{i=1}^{n} c_{i} x_{i}=0$ is 2 -regular if for some $i_{1}$ and $i_{2}$ we have $c_{i_{1}}>0$ and $c_{i_{2}}<0$.
Proof. By equating variables as necessary, it suffices to prove that every 2coloring of $\mathbb{Z}^{+}$admits a monochromatic solution to $a x+b y=c z$ for any $a, b, c \in \mathbb{Z}^{+}$.
Assume, for a contradiction, that there exists a 2-coloring of $\mathbb{Z}^{+}$with no monochromatic solution. We may assume that every dilation of $\mathbb{Z}^{+}$, say $d \mathbb{Z}^{+}$, contains elements of both colors; otherwise, $(d b c, d a c, d a b)$ would be a monochromatic solution and we would be done.
Let $a c$ be red and let $a c j$ be blue $(j \geq 2)$ as both are members of the dilation $a c \mathbb{Z}^{+}$. Within $b c(j-1) \mathbb{Z}^{+}$there exists a blue element. Let this element be $t_{1}$ and let
$$
t_{1}=b c(j-1) k
$$
Consider
$$
u_{1}=a b(j-1) k+a b j .
$$
Since $\left(t_{1}, a c j, u_{1}\right)$ is a solution, we may assume that $u_{1}$ is red. Now consider
$$
t_{2}=b c(j-1)(k+1)
$$
Since $\left(t_{2}, a c, u_{1}\right)$ is a solution, we may assume that $t_{2}$ is blue.
We proceed in this fashion (starting with $\left.u_{2}=a b(j-1)(k+1)+a b j\right)$ to deduce that
$$
t_{i}=b c(j-1)(k+i-1)
$$
is blue for all $i \in \mathbb{Z}^{+}$. Since $\left{t_{i}\right}_{i \in \mathbb{Z}}+\supseteq b c(j-1) k \mathbb{Z}^{+}$, we have a monochromatic dilation of $\mathbb{Z}^{+}$, contradicting our assumption.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Some Rado Numbers
Before moving on to other equations, we give some results about Rado numbers. Unlike van der Waerden and Schur numbers, Rado numbers are a class
of numbers covering all systems of equations (typically linear and homogeneous). No over-arching formula is known for arbitrary systems (or even an arbitrary equation). To date, the determination of these numbers has almost solely been restricted to single equations. Thus, we will restrict our definition to single equations.
Definition 2.27 (Rado numbers). Let $r \in \mathbb{Z}^{+}$. Let $\mathcal{E}$ be an $r$-regular linear homogeneous equation. The minimal positive integer $n=n(\mathcal{E} ; r)$ such that every $r$-coloring of $[1, n]$ admits a monochromatic solution to $\mathcal{E}$ is called the $r$-color Rado number for $\mathcal{E}$.
We gather, in Table $2.3$, all known completely determined 2-color Rado numbers (as of this writing). As the proofs of these numbers are mostly elementary (but, perhaps, clever) color-forcing arguments, we will not provide proofs. The reader may find proofs by following the reference(s) given by each result. In Table $2.3$, parameters $a, a_{i}, b, k$, and $\ell$ are positive integers.
Note that when restricted to two colors, Theorem $2.20$ states that we need not satisfy the criteria of Theorem $2.22$ (a subset of coefficients summing to 0 ) in order for the 2-color Rado number to exist.
Although there are known numerical values for more than two colors for Rado numbers for some specific equations, there are no formulas as we have for two colors, except for a few specific cases.
As we can see from Table $2.3$, we are homing in on the determination of the 2-color Rado number for an arbitrary homogeneous linear equation.
离散数学代写
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Schur’s Theorem
最简单的非平凡方程可能是X+是=和（清楚地，X=是具有 Ramsey 属性，而很容易证明是=X+b,b≠0， 和是=CX,C≠0,1， 不要）。通过推论2.2, 的存在在^(2,1;r)节目
我们确实有一个单色解决方案X+是=和和X=一种和是=d. 然而，在证明范德瓦尔登定理之前，Schur [186] 已经证明了这种单色解决方案。我们遵循 Schur 的原始证明。
定理 2.15（舒尔定理）。让r∈从+. 存在一个最小正整数s=s(r)这样每一个r- 着色[1,s]包含单色溶液X+是=和.
证明。我们将证明s(r)<呃！，从而证明存在。让n0∈ 从+是任意的并假设我们有一个r- 着色[1,n0]没有单色解决方案X+是=和. 至少出现一些颜色n0r次。让它成为颜色 1 并让X1,X2,…,Xn1是颜色 1 的所有整数，其中n1≥n0r. 根据假设，
S_{1}=\left{x_{k}-x_{1}: 2 \leq k \leq n_{1}\right}S_{1}=\left{x_{k}-x_{1}: 2 \leq k \leq n_{1}\right}
没有颜色1.
之内小号1, 至少会出现一些颜色n1−1r−1次。让它成为颜色 2（它不能是颜色 1）。让是1,是2,…,是n2， 和n2≥n1−1r−1，是颜色 2 的所有整数。假设，
S_{2}=\left{y_{k}-y_{1}: 2 \leq k \leq n_{2}\right}S_{2}=\left{y_{k}-y_{1}: 2 \leq k \leq n_{2}\right}
没有颜色 2。因为是j=Xķj−X1我们看到是一世−是1=Xķ一世−Xķ1以便Xķ1+(是一世−是1)=Xķ一世. 因此，小号2也必须没有颜色 1 。
我们继续以这种方式定义集合小号一世大小的n一世−1， 在哪里n一世≥ n一世−1−1r−一世+1, 没有颜色1,2,…,一世. 因此，我们有n0≤rn1和n一世≤ (r−一世+1)n一世+1+1为了1≤一世≤ķ对于一些ķ<r（自从小号r必须没有所有颜色）。
把这些串起来，我们有
n0≤rn1≤r((r−1)n2+1)=r+r(r−1)n2 ≤r+r(r−1)+r(r−1)(r−2)n3 ⋮ ≤∑一世=0rr!一世! <r!∑一世=0∞1一世!=和r!
从而证明定理。
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Rado’s Theorem
到目前为止，我们已经看到方程X+是=和和X+是=2和每个都承认在任何有限着色下的单色解从+. 另一方面，通过对整个间隔着色很容易看出[2一世,2一世+1−1]有颜色一世模 2 ，我们没有保证的单色解决方案X=2是即使是 2 种颜色。为了讨论这些类型的结果，我们做出以下定义。
定义2.19 ( r- 常规的，常规的）。让r∈从+. 我们说一个方程和是r- 如果每个都定期r- 着色从+承认单色解决方案和. 如果和是r- 定期为所有人r∈从+，那么我们说和是规律的。
在本小节中，我们将把注意力限制在线性齐次方程上。我们从 Schur 的学生 Rado [163] 的一个鲜为人知的结果开始。
定理 2.20。让n∈从+和n≥3然后让C一世,1≤一世≤n, 是非零整数。方程∑一世=1nC一世X一世=0如果对于某些人来说是 2 -regular一世1和一世2我们有C一世1>0和C一世2<0.
证明。通过根据需要使变量相等，足以证明每 2coloring从+承认单色解决方案一种X+b是=C和对于任何一种,b,C∈从+.
假设，对于一个矛盾，存在一个 2-coloring从+没有单色溶液。我们可以假设每个膨胀从+， 说d从+, 包含两种颜色的元素；除此以外，(dbC,d一种C,d一种b)将是一个单色解决方案，我们将完成。
让一种C变红，让一种Cj变蓝(j≥2)因为两者都是扩张的成员一种C从+. 之内bC(j−1)从+存在蓝色元素。让这个元素成为吨1然后让
吨1=bC(j−1)ķ
考虑
在1=一种b(j−1)ķ+一种bj.
自从(吨1,一种Cj,在1)是一个解决方案，我们可以假设在1是红色的。现在考虑
吨2=bC(j−1)(ķ+1)
自从(吨2,一种C,在1)是一个解决方案，我们可以假设吨2是蓝色的。
我们以这种方式进行（从在2=一种b(j−1)(ķ+1)+一种bj)推断
吨一世=bC(j−1)(ķ+一世−1)
所有人都是蓝色的一世∈从+. 自从\left{t_{i}\right}_{i \in \mathbb{Z}}+\supseteq b c(j-1) k \mathbb{Z}^{+}\left{t_{i}\right}_{i \in \mathbb{Z}}+\supseteq b c(j-1) k \mathbb{Z}^{+}，我们有一个单色膨胀从+，与我们的假设相矛盾。
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Some Rado Numbers
在继续讨论其他方程之前，我们给出一些关于 Rado 数的结果。与 van der Waerden 和 Schur 数不同，Rado 数是一类
涵盖所有方程组的数字（通常是线性和齐次的）。对于任意系统（甚至任意方程）没有已知的总体公式。迄今为止，这些数字的确定几乎仅限于单个方程。因此，我们将把我们的定义限制在单个方程上。
定义 2.27（拉多数）。让r∈从+. 让和豆r-正则线性齐次方程。最小正整数n=n(和;r)这样每一个r- 着色[1,n]承认单色解决方案和被称为r-color Rado 数和.
我们收集，在表中2.3，所有已知的完全确定的 2 色 Rado 数（在撰写本文时）。由于这些数字的证明大多是基本的（但也许是聪明的）颜色强制论点，我们不会提供证明。读者可以通过遵循每个结果给出的参考来找到证据。在表中2.3， 参数一种,一种一世,b,ķ， 和ℓ是正整数。
请注意，当限制为两种颜色时，定理2.20声明我们不需要满足定理的标准2.22（总和为 0 的系数子集）以使 2 色 Rado 数存在。
尽管对于某些特定方程的 Rado 数有两种以上颜色的已知数值，但除了少数特定情况外，没有我们对两种颜色的公式。
从表中可以看出2.3，我们正致力于确定任意齐次线性方程的 2 色 Rado 数。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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