数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Graph Ramsey Theory

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离散数学是研究可以被认为是 “离散”(类似于离散变量,与自然数集有偏射)而不是 “连续”(类似于连续函数)的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下,离散数学不包括 “连续数学 “中的课题,如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举;更正式地说,离散数学被定性为处理可数集的数学分支(有限集或与自然数具有相同心数的集)。然而,”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Graph Ramsey Theory

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Complete Graphs

We start by reminding the reader of a few definitions about graphs.
Definition 3.1 (Graph, Hypergraph, Degree, Edge, Hyperedge). Let $V$ be a set, called the vertices, and let $E$ be a subset of $\wp(V) \backslash \emptyset$ (the power set of $V$ excluding the empty set). We say that $G=(V, E)$ is a graph if all elements of $E$ are subsets of size 2. In this case, $E$ is referred to as the set of edges. For any given vertex $v$, the number of edges containing $v$ is called the degree of

$v$. We say that $G=(V, E)$ is a hypergraph if some element of $E$ is a subset of more than 2 elements. In this case, $E$ is called the set of hyperedges.

Definition $3.2$ (Subgraph, Subhypergraph). Let $G=(V, E)$ be a graph. If $V^{\prime} \subseteq V$ and $E^{\prime} \subseteq E$ then $H=\left(V^{\prime}, E^{\prime}\right)$ is a subgraph of $G$. If $G$ is a hypergraph, then we call $H$ a subhypergraph.

We will start by considering graphs (hypergraphs are treated later in this chapter). We will assume that any arbitrary graph we consider is connected so that there exists a string of edges from any vertex to any other vertex. We also assume that our graphs are simple, meaning that at most one edge exists between any two vertices. We will start by considering one of the fundamental graphs: the complete graph.

Definition $3.3$ (Complete graph). Let $n \in \mathbb{Z}^{+}$. The complete graph on $n$ vertices, denoted $K_{n}$, is $G=(V, E)$ where $|V|=n$ and $E$ consists of all subsets of $V$ of size 2 .

We typically identify the vertex set $V$ of $K_{n}$ with ${1,2, \ldots, n}$ and the edge set $E$ with ${{i, j}: i, j \in[1, n] ; i<j}$. In other words, all $\left(\begin{array}{c}n \ 2\end{array}\right)$ possible edges are present in a complete graph.

We start with the classical version of Ramsey’s Theorem, restricted to the 2-color situation.

Theorem 3.4. Let $k, \ell \in \mathbb{Z}^{+}$. There exists a minimal positive integer $n=$ $n(k, \ell)$ such that if each edge of $K_{n}$ is assigned one of two colors, say red and blue, then $K_{n}$ admits a complete subgraph on $k$ vertices with all edges red or a complete subgraph on $\ell$ vertices with all edges blue.

Before getting to the proof, let’s consider the $k=\ell=3$ case. We will refer to $K_{3}$ as a triangle and will show that $n(3,3) \leq 6$. Consider any 2-coloring of the edges of $K_{6}$. Isolate one vertex; call it $X$. Then $X$ is connected to the other 5 vertices with either a red or a blue edge. Let $R$ be the set of vertices connected to $X$ with a red edge; let $B$ be the set of vertices connected to $X$ with a blue edge. We know that $|R \cup B|=5$ and that $R \cap B=\emptyset$. Hence, $|R \sqcup B|=|R|+|B|=5$. From this we can conclude by the pigeonhole principle that either $|R| \geq 3$ or $|B| \geq 3$. Without loss of generality, we assume $|R| \geq 3$.
At this stage we have $X$ connected to at least 3 vertices, call them $A, B$, and $C$, via red edges. Consider the edges between these latter 3 vertices. If any edge is red, say ${A, B}$, then we have a red triangle (on vertices $A, B$, and $X)$. In other words, we have deduced a $K_{3}$ with all edges red. On the other hand, if no edge is red, then they are all blue and we can conclude that the triangle on vertices $A, B$, and $C$ has all blue edges, i.e., we have a $K_{3}$ with all blue edges.

The proof for general $k$ and $\ell$ follows the same idea as the case for $k=\ell=$ 3 . We will isolate one vertex and separate the other vertices according to the color of the edge to the isolated vertex.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Deducing Schur’s Theorem

As our first “application” of Ramsey’s Theorem, we will deduce Schur’s Theorem. Recall that Schur’s Theorem states that there exists a minimal positive integer $s(r)$ such that every $r$-coloring of $[1, s(r)]$ admits a monochromatic solution to $x+y=z$. So, we need to deduce integer solutions from a graph. We do so by considering a subclass of colorings of $K_{n}$.

Definition 3.7 (Difference coloring). A difference coloring of the edges of $K_{n}$ is one in which the color of every edge ${i, j}$ depends solely on $|i-j|$.

With this definition, if $\chi:[1, n-1] \rightarrow{0,1, \ldots, r-1}$ is a coloring of integers, then we have the induced difference coloring of $K_{n}$ where we color edge ${i, j}$ with $\chi(|i-j|)$.

To deduce Schur’s Theorem, let $n=R(3 ; r)$. For any $r$-coloring of $[1, n-1]$ consider the difference coloring of the edges of $K_{n}$. By Ramsey’s Theorem, this difference coloring admits a monochromatic $K_{3}$, say on the vertices $u, v$, and $w$, with $u<v<w$. This means that the integers $v-u, w-v$, and $w-u$ all have the same color. Let $x=v-u, y=w-v$, and $z=w-u$ to see that we have a solution to $x+y=z$ with $x, y$, and $z$ all the same color. Consequently, we see that $s(r) \leq R(3 ; r)-1$.

The above argument can be easily extended to show that any $r$-coloring of the integer interval [1, R( $k ; r)-1]$ admits a monochromatic solution to $\sum_{i=1}^{k-1} x_{i}=x_{k}$. The minimal positive integer $n=n(k ; r)$ such that every $r-$ coloring of $[1, n]$ admits a monochromatic solution to $\sum_{i=1}^{k-1} x_{i}=x_{k}$ is referred to as a generalized Schur number. This argument gives $n(k ; r) \leq R(k ; r)-1$. It is known [21] that
$$
n(k ; 2)=k^{2}-k-1
$$
however, $n(k ; r)$ for $r \geq 3$ is unknown: the bound
$$
n(k ; r) \geq \frac{k^{r+1}-2 k^{r}+1}{k-1}
$$has been determined [21]. As we can see, the bound between these two Ramsey-type numbers is quite weak since we have seen that $(\sqrt{2})^{k}<R(k, k)$ (see Inequality (3.1)) so that the $k^{2}-k$ lower bound on $R(k, k)$ is not strong. The reason for this is because we do not use the whole complete monochromatic subgraph in deducing the existence of $n(k ; r)$.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Other Graphs

As stated at the end of the last section, the proof that generalized Schur numbers exist as a consequence of Ramsey’s Theorem does not use the full power of Ramsey’s Theorem. In particular, we do not need a monochromatic complete graph; we only need the “outside” edges of this complete graph to have the same color, i.e., a monochromatic cycle.

Definition $3.8$ (Path, Cycle, Tree). Let $G=(V, E)$ be the graph with vertex set $V=\left{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right}$ and edge set $E=\left{\left{v_{i}, v_{i+1}\right}: i \in{1,2, \ldots, n-1}\right}$. Then $G$ is called a path (from $v_{1}$ to $v_{n}$, or $v_{n}$ to $v_{1}$ ) and we denote it by $P_{n}$. If we add the edge $\left{v_{1}, v_{n}\right}$ to the edge set, then $G$ is called an $n$-cycle and we denote it by $C_{n}$. Paths are a subclass of the class of graphs known as trees. A tree $T_{n}$ is a graph on $n$ vertices with no $k$-cycle as a subgraph, for any $k$.
There are many other named graphs (for example, in Figure $3.2$ we present a graph attributed to Kempe but commonly referred to as the Peterson graph. which is useful as it often serves as a counterexample). Complete graphs, paths, cycles, and trees are some of the important ones. Below we define two more important classes of graphs.

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离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Complete Graphs

我们首先提醒读者一些关于图的定义。
定义 3.1(图、超图、度、边、超边)。让在是一个集合,称为顶点,并让和成为的一个子集℘(在)∖∅(功率组在不包括空集)。我们说G=(在,和)是一个图,如果所有元素和是大小为 2 的子集。在这种情况下,和称为边集。对于任何给定的顶点在, 包含的边数在被称为程度

在. 我们说G=(在,和)是一个超图,如果和是超过 2 个元素的子集。在这种情况下,和称为超边集。

定义3.2(子图,子超图)。让G=(在,和)成为一个图表。如果在′⊆在和和′⊆和然后H=(在′,和′)是一个子图G. 如果G是一个超图,那么我们称H一个子超图。

我们将从考虑图开始(本章稍后将讨论超图)。我们将假设我们考虑的任何任意图都是连接的,因此存在从任何顶点到任何其他顶点的一串边。我们还假设我们的图很简单,这意味着在任意两个顶点之间最多存在一条边。我们将从考虑基本图之一开始:完整图。

定义3.3(完整的图表)。让n∈从+. 完整的图表n顶点,表示ķn, 是G=(在,和)在哪里|在|=n和和由所有子集组成在大小 2 。

我们通常识别顶点集在的ķn和1,2,…,n和边集和和一世,j:一世,j∈[1,n];一世<j. 换句话说,所有(n 2)可能的边存在于完整图中。

我们从经典版本的拉姆齐定理开始,仅限于 2 色情况。

定理 3.4。让ķ,ℓ∈从+. 存在一个最小正整数n= n(ķ,ℓ)这样,如果每个边缘ķn被分配两种颜色之一,比如红色和蓝色,然后ķn承认一个完整的子图ķ所有边为红色或完整子图的顶点ℓ所有边都是蓝色的顶点。

在证明之前,让我们考虑一下ķ=ℓ=3案子。我们将参考ķ3作为一个三角形,并将表明n(3,3)≤6. 考虑边缘的任何 2 着色ķ6. 隔离一个顶点;称它为X. 然后X用红色或蓝色边连接到其他 5 个顶点。让R是连接到的顶点集X带有红色边缘;让乙是连接到的顶点集X带有蓝色边缘。我们知道|R∪乙|=5然后R∩乙=∅. 因此,|R⊔乙|=|R|+|乙|=5. 由此我们可以通过鸽巢原理得出结论:|R|≥3或者|乙|≥3. 不失一般性,我们假设|R|≥3.
在这个阶段我们有X连接到至少 3 个顶点,调用它们一种,乙, 和C,通过红色边缘。考虑后三个顶点之间的边。如果任何边缘是红色的,说一种,乙,然后我们有一个红色三角形(在顶点一种,乙, 和X). 换句话说,我们推导出了一个ķ3所有边缘都是红色的。另一方面,如果没有边是红色的,那么它们都是蓝色的,我们可以得出结论,顶点上的三角形一种,乙, 和C有所有蓝色边缘,即,我们有一个ķ3所有蓝色边缘。

一般证明ķ和ℓ遵循与案例相同的想法ķ=ℓ=3. 我们将隔离一个顶点并根据边缘的颜色将其他顶点分离到隔离顶点。

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Deducing Schur’s Theorem

作为拉姆齐定理的第一个“应用”,我们将推导出舒尔定理。回想一下,舒尔定理指出存在一个最小正整数s(r)这样每一个r- 着色[1,s(r)]承认单色解决方案X+是=和. 所以,我们需要从图中推导出整数解。我们通过考虑着色的子类来做到这一点ķn.

定义 3.7(不同颜色)。边缘的不同着色ķn是其中每个边缘的颜色一世,j完全取决于|一世−j|.

有了这个定义,如果χ:[1,n−1]→0,1,…,r−1是整数的着色,那么我们有诱导差异着色ķn我们在哪里着色边缘一世,j和χ(|一世−j|).

为了推导出舒尔定理,让n=R(3;r). 对于任何r- 着色[1,n−1]考虑边缘的不同着色ķn. 根据拉姆齐定理,这种差异着色承认单色ķ3, 在顶点上说在,在, 和在, 和在<在<在. 这意味着整数在−在,在−在, 和在−在都有相同的颜色。让X=在−在,是=在−在, 和和=在−在看看我们有解决方案X+是=和和X,是, 和和都是一样的颜色。因此,我们看到s(r)≤R(3;r)−1.

上述论证可以很容易地扩展为表明任何r- 整数区间 [1, R(ķ;r)−1]承认单色解决方案∑一世=1ķ−1X一世=Xķ. 最小正整数n=n(ķ;r)这样每一个r−着色[1,n]承认单色解决方案∑一世=1ķ−1X一世=Xķ称为广义舒尔数。这个论点给出n(ķ;r)≤R(ķ;r)−1. 据了解[21]
n(ķ;2)=ķ2−ķ−1
然而,n(ķ;r)为了r≥3未知:界限
n(ķ;r)≥ķr+1−2ķr+1ķ−1已确定[21]。正如我们所看到的,这两个 Ramsey 型数之间的界限非常弱,因为我们已经看到(2)ķ<R(ķ,ķ)(见不等式(3.1)),因此ķ2−ķ下限R(ķ,ķ)不强。这是因为我们没有使用整个完全单色子图来推导n(ķ;r).

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如上一节末尾所述,广义舒尔数作为拉姆齐定理的结果而存在的证明并未使用拉姆齐定理的全部力量。特别是,我们不需要单色完全图;我们只需要这个完整图的“外部”边缘具有相同的颜色,即单色循环。

定义3.8(路径、循环、树)。让G=(在,和)是具有顶点集的图V=\left{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right}V=\left{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right}和边集E=\left{\left{v_{i}, v_{i+1}\right}: i \in{1,2, \ldots, n-1}\right}E=\left{\left{v_{i}, v_{i+1}\right}: i \in{1,2, \ldots, n-1}\right}. 然后G称为路径(从在1到在n, 或者在n到在1) 我们将其表示为磷n. 如果我们添加边缘\left{v_{1}, v_{n}\right}\left{v_{1}, v_{n}\right}到边集,然后G被称为n-cycle 我们将其表示为Cn. 路径是称为树的图类的子类。一颗树吨n是关于n没有的顶点ķ-cycle 作为子图,对于任何ķ.
还有许多其他命名图(例如,在图3.2我们提出了一个归因于 Kempe 但通常称为彼得森图的图。这很有用,因为它经常用作反例)。完整的图形、路径、循环和树是其中一些重要的。下面我们定义了两个更重要的图表类。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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