数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Integer Ramsey Theory

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离散数学是研究可以被认为是 “离散”(类似于离散变量,与自然数集有偏射)而不是 “连续”(类似于连续函数)的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下,离散数学不包括 “连续数学 “中的课题,如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举;更正式地说,离散数学被定性为处理可数集的数学分支(有限集或与自然数具有相同心数的集)。然而,”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Integer Ramsey Theory

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Van der Waerden’s Theorem

The most well-known result in Ramsey theory on the integers is van der Waerden’s Theorem [205] concerning arithmetic progressions.

Theorem 2.1 (van der Waerden’s Theorem). Let $k, r \in \mathbb{Z}^{+}$. There exists a minimal positive integer $w(k ; r)$ such that for any $n \geq w(k ; r)$ the following holds: for any $r$-coloring of $[1, n]$ there exist $a, d \in \mathbb{Z}^{+}$such that
$$
a, a+d, a+2 d, \ldots, a+(k-1) d
$$
is a monochromatic $k$-term arithmetic progression.
This theorem, along with Ramsey’s Theorem (Theorem 3.6), are the most famous of Ramsey-type theorems. Van der Waerden [205] had credited Baudet with the conjecture that Theorem $2.1$ is true (the translated title of van der

Waerden’s article is “Proof of a Baudet Conjecture”). However, extensive historical research done by Soifer is presented in his fascinating book [191] and provides compelling evidence that Baudet and Schur (who we will meet in Section 2.2.1) independently made the same conjecture.

The proof we present here is elementary. Although these proofs are easy to find (see, e.g., $[83,84,119,129]$ ) this book would be incomplete without presenting one such proof. Other “non-elementary” proofs have been done as we will see in subsequent chapters of this book.

Proof of Theorem $2.1$. We will prove that $w(k ; r)$ exists by inducting on $k$, with $w(2 ; r)=r+1$ being the base case, which holds by the pigeonhole principle. Hence, we may assume that $w(k-1 ; r)$ exists for all $r$ to prove that $w(k ; r)$ exists for all $r$.

We will say that a set of monochromatic $(k-1)$-term arithmetic progressions $a_{i}+\ell d_{i}, 0 \leq \ell \leq k-2$, are end-focused if they are each of a different color and $a_{i}+(k-1) d_{i}=a_{j}+(k-1) d_{j}$ for all $i$ and $j$; that is, when each of the arithmetic progressions is extended one more term, those last terms all coincide.

We will prove the induction step by showing that for any $s \in \mathbb{Z}^{+}$with $s \leq r$ there exists an integer $n=n(k, s ; r)$ such that every $r$-coloring of $[1, n]$ either contains a monochromatic $k$-term arithmetic progression or contains $s$ end-focused $(k-1)$-term arithmetic progressions. To see that the existence of $n(k, s ; r)$ for all $s \leq r$ proves the existence of $w(k ; r)$, note that for $n(k, r ; r)$, one of the end-focused arithmetic progressions of length $k-1$ extends to a monochromatic $k$-term arithmetic progression (since all end-focused arithmetic progressions have different colors).

To prove the existence of $n(k, s ; r)$ we induct on $s$, noting that $n(k, 1 ; r)=$ $w(k-1 ; r)$ works, which exists by our induction on $k$ assumption. We now assume that $n=n(k, s-1 ; r)$ exists, in addition to the existence of $w(k-1, r)$ for all $r$. Hence, we may consider $m=4 n w\left(k-1 ; r^{2 n}\right)$.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hilbert’s Cube Lemma

Arguably the first Ramsey-type result is due to Hilbert [108] as it adheres to the partitioning ethos of Ramsey theory. It should be noted that Hilbert’s goal in using this lemma was a result about the irreducibility of polynomials; see $[209]$ for more information. To describe the cube referenced in the title of this subsection, we make the following definition.

Definition $2.9$ (Finite sums). The set of finite sums of integers $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ is denoted and defined as
$$
F S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\left{\sum_{i \in I} x_{i}: \emptyset \neq I \subseteq[1, n]\right} .
$$
Note that in the above definition, the integers $x_{i}$ are not necessarily distinct.
We may now define the aforementioned cube.
Definition $2.10$ (d-cube). The $d$-cube of integers $c, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{d}$ is the set of integers $c+F S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$.

Before getting to Hilbert’s result, a little bit of intuition into why this is named the cube lemma is warranted. Consider the unit cube in $\mathbb{R}^{3}$ with vertices $\left{\left(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \epsilon_{3}\right): \epsilon_{i} \in{0,1}\right}$. Let $c=(0,0,0), x_{1}=(1,0,0), x_{2}=(0,1,0)$, and $x_{3}=(0,0,1)$. Then the other vertices are $x_{1}+x_{2}, x_{1}+x_{3}$, and $x_{1}+x_{2}+x_{3}$. In other words, the vertices of the unit cube are $c+F S\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$. This is easily abstracted to higher dimensions and different side lengths.
We now state Hilbert’s result.
Lemma 2.11 (Hilbert’s Cube Lemma). Let $r, d \in \mathbb{Z}^{+} .$Any $r$-coloring of $\mathbb{Z}^{+}$ admits a monochromatic $d$-cube.

This lemma follows from van der Waerden’s Theorem since a $(d+1)$-term arithmetic progression $a, a+\ell, \ldots, a+d \ell$ is a $d$-cube of $a, \ell, \ell, \ldots, \ell$; however, we will give an independent proof.

Proof. We induct on $d$, with $d=1$ being trivial since we only need 2 integers of the same color. Assume the result for $d-1$. By the Compactness Principle there exists an integer $h=h(d-1 ; r)$ such that any $r$-coloring of $[1, h]$ admits a monochromatic $(d-1)$-cube. Consider any $r$-coloring of $\left[1,\left(r^{h}+1\right) h\right]$. There are $r^{h}$ possible colorings of any interval of length $h$ and we have $r^{h}+1$ disjoint intervals of length $h$, namely, $[(i-1) h+1, i h]$ for $1 \leq i \leq r^{h}+1$. Hence, two such intervals, say $[(a-1) h+1, a h]$ and $[(b-1) h+1, b h]$, with $a<b$, are colored identically.

We claim that any $r$-coloring of a translated interval of length $h$ also admits a monochromatic $(d-1)$-cube. Via the obvious bijection between $[1, h]$ and $[n+1, n+h]$, the color of any $c+\sum_{i \in I} x_{i}$ in $[1, h]$ is the same as the color of $(c+n)+\sum_{i \in I} x_{i}$ in $[n+1, n+h]$. Hence, if $c+F S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{d-1}\right)$ is a monochromatic $(d-1)$-cube in $[1, h]$ then $(c+n)+F S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{d-1}\right)$ is a monochromatic $(d-1)$-cube in $[n+1, n+h]$.

With this translation invariance, we apply the inductive assumption to see that the coloring of $[(a-1) h+1, a h]$ admits a monochromatic $(d-1)$-cube of $c, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{d-1}$. Now consider the $d$-cube of $c, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{d-1},(b-a) h$. Because $[(a-1) h+1, a h]$ and $[(b-1) h+1, b h]$ are identically colored, we see that $c+F S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{d-1},(b-a) h\right)$ is a monochromatic $d$-cube. This completes the induction.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Deuber’s Theorem

A useful result with somewhat the same flavor as Hilbert’s Cube Lemma was given by Deuber [56] in 1973 via repeated application of van der Waerden’s Theorem. In order to state the result, we require a definition.

Definition $2.12((m, p, c)$-set $)$. Let $m, p, c \in \mathbb{Z}^{+} . \mathrm{A}$ set $M \subseteq \mathbb{Z}^{+}$is called an $(m, p, c)$-set if there exist generators $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m} \in \mathbb{Z}^{+}$such that
$$
M=\bigcup_{i=0}^{m}\left{c x_{i}+\sum_{j=i+1}^{m} \lambda_{j} x_{j}: \lambda_{j} \in \mathbb{Z} \cap[-p, p] \text { for } 1 \leq j \leq m\right}
$$
where we take the empty sum to equal 0 .
Note that we have the integers $\lambda_{j}$ taking on negative values but that the set $M$ must be a set of positive integers.

We may now state Deuber’s result. Notice how this result shows the unbreakable property of $(m, p, c)$-sets.

Theorem 2.13 (Deuber’s Theorem). Let $m, p, c, r \in \mathbb{Z}^{+}$be fixed. Then thene exist $M, P, C \in \mathbb{Z}^{+}$so that every $r$-coloring of an arbitrary $(M, P, C)$-set admits a monochromatic $(m, p, c)$-set.

We will not need the full strength of Deuber’s Theorem; rather, the following weaker version (with a more digestible proof) will be useful for us.
Theorem $2.14$ (Weak Deuber’s Theorem). Let $m, p, c, r \in \mathbb{Z}^{+}$be fixed. Every $r$-coloring of $\mathbb{Z}^{+}$admits a monochromatic $(m, p, c)$-set.

Exercises
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离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Van der Waerden’s Theorem

Ramsey 整数理论中最著名的结果是关于算术级数的范德瓦尔登定理 [205]。

定理 2.1(范德瓦尔登定理)。让ķ,r∈从+. 存在一个最小正整数在(ķ;r)这样对于任何n≥在(ķ;r)以下成立:对于任何r- 着色[1,n]存在一种,d∈从+这样
一种,一种+d,一种+2d,…,一种+(ķ−1)d
是单色的ķ项算术级数。
该定理与拉姆齐定理(定理 3.6)一起是最著名的拉姆齐型定理。Van der Waerden [205] 将定理的猜想归功于 Baudet2.1是真的(范德的译名

Waerden 的文章是“鲍德猜想的证明”)。然而,Soifer 所做的广泛历史研究在他引人入胜的著作 [191] 中进行了介绍,并提供了令人信服的证据,证明 Baudet 和 Schur(我们将在第 2.2.1 节中遇到他们)独立地做出了同样的猜想。

我们在这里提供的证明是基本的。尽管这些证明很容易找到(参见,例如,[83,84,119,129]) 如果没有这样的证据,这本书将是不完整的。正如我们将在本书的后续章节中看到的那样,已经完成了其他“非基本”证明。

定理证明2.1. 我们将证明在(ķ;r)通过感应存在ķ, 和在(2;r)=r+1是基本情况,这由鸽巢原理成立。因此,我们可以假设在(ķ−1;r)为所有人而存在r来证明在(ķ;r)为所有人而存在r.

我们会说一组单色(ķ−1)项算术级数一种一世+ℓd一世,0≤ℓ≤ķ−2, 如果它们各自具有不同的颜色和一种一世+(ķ−1)d一世=一种j+(ķ−1)dj对全部一世和j; 也就是说,当等差数列中的每一个被扩展一个项时,这些最后的项都重合。

我们将通过证明对于任何s∈从+和s≤r存在一个整数n=n(ķ,s;r)这样每一个r- 着色[1,n]要么包含单色ķ项算术级数或包含s以最终为中心(ķ−1)项算术级数。看到存在n(ķ,s;r)对全部s≤r证明存在在(ķ;r), 注意对于n(ķ,r;r),长度的末端聚焦算术级数之一ķ−1扩展到单色ķ-term 算术级数(因为所有以末端为中心的算术级数都有不同的颜色)。

为了证明存在n(ķ,s;r)我们在s,注意到n(ķ,1;r)= 在(ķ−1;r)作品,它存在于我们的归纳ķ假设。我们现在假设n=n(ķ,s−1;r)存在,除了存在在(ķ−1,r)对全部r. 因此,我们可以考虑米=4n在(ķ−1;r2n).

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hilbert’s Cube Lemma

可以说,第一个 Ramsey 类型的结果归功于 Hilbert [108],因为它遵循了 Ramsey 理论的分区精神。应该注意的是,希尔伯特使用这个引理的目标是关于多项式的不可约性的结果;看[209]了解更多信息。为了描述本小节标题中引用的立方体,我们做出以下定义。

定义2.9(有限和)。整数的有限和的集合X1,X2,…,Xn表示并定义为
F S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\left{\sum_{i \in I} x_{i}: \emptyset \neq I \subseteq[1 , n]\right} 。F S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\left{\sum_{i \in I} x_{i}: \emptyset \neq I \subseteq[1 , n]\right} 。
请注意,在上述定义中,整数X一世不一定不同。
我们现在可以定义前面提到的立方体。
定义2.10(d 立方体)。这d- 整数立方C,X1,X2,…,Xd是整数的集合C+F小号(X1,X2,…,Xn).

在得到希尔伯特的结果之前,有必要对为什么将其命名为立方引理有一点直觉。考虑单位立方体R3带顶点\left{\left(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \epsilon_{3}\right): \epsilon_{i} \in{0,1}\right}\left{\left(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \epsilon_{3}\right): \epsilon_{i} \in{0,1}\right}. 让C=(0,0,0),X1=(1,0,0),X2=(0,1,0), 和X3=(0,0,1). 那么其他顶点是X1+X2,X1+X3, 和X1+X2+X3. 换句话说,单位立方体的顶点是C+F小号(X1,X2,X3). 这很容易被抽象为更高的维度和不同的边长。
我们现在陈述希尔伯特的结果。
引理 2.11(希尔伯特立方引理)。让r,d∈从+.任何r- 着色从+承认单色d-立方体。

这个引理来自范德瓦尔登定理,因为(d+1)项算术级数一种,一种+ℓ,…,一种+dℓ是一个d-立方体一种,ℓ,ℓ,…,ℓ; 但是,我们将给出一个独立的证明。

证明。我们在d, 和d=1是微不足道的,因为我们只需要 2 个相同颜色的整数。假设结果为d−1. 根据紧致原则,存在一个整数H=H(d−1;r)这样任何r- 着色[1,H]承认单色(d−1)-立方体。考虑任何r- 着色[1,(rH+1)H]. 有rH任何长度间隔的可能颜色H我们有rH+1不相交的长度间隔H,即,[(一世−1)H+1,一世H]为了1≤一世≤rH+1. 因此,两个这样的间隔,比如说[(一种−1)H+1,一种H]和[(b−1)H+1,bH], 和一种<b, 颜色相同。

我们声称任何r- 翻译长度间隔的着色H也承认单色(d−1)-立方体。通过明显的双射[1,H]和[n+1,n+H], 任何颜色C+∑一世∈一世X一世在[1,H]是一样的颜色(C+n)+∑一世∈一世X一世在[n+1,n+H]. 因此,如果C+F小号(X1,X2,…,Xd−1)是单色的(d−1)-立方体[1,H]然后(C+n)+F小号(X1,X2,…,Xd−1)是单色的(d−1)-立方体[n+1,n+H].

有了这种平移不变性,我们应用归纳假设来看到[(一种−1)H+1,一种H]承认单色(d−1)-立方体C,X1,X2,…,Xd−1. 现在考虑d-立方体C,X1,X2,…,Xd−1,(b−一种)H. 因为[(一种−1)H+1,一种H]和[(b−1)H+1,bH]颜色相同,我们看到C+F小号(X1,X2,…,Xd−1,(b−一种)H)是单色的d-立方体。这样就完成了归纳。

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Deuber’s Theorem

Deuber [56] 在 1973 年通过反复应用范德瓦尔登定理给出了一个与希尔伯特立方引理有点相似的有用结果。为了说明结果,我们需要一个定义。

定义2.12((米,p,C)-放). 让米,p,C∈从+.一种放米⊆从+被称为(米,p,C)-设置是否存在生成器X0,X1,X2,…,X米∈从+这样
M=\bigcup_{i=0}^{m}\left{c x_{i}+\sum_{j=i+1}^{m} \lambda_{j} x_{j}: \lambda_{j} \in \mathbb{Z} \cap[-p, p] \text { for } 1 \leq j \leq m\right}M=\bigcup_{i=0}^{m}\left{c x_{i}+\sum_{j=i+1}^{m} \lambda_{j} x_{j}: \lambda_{j} \in \mathbb{Z} \cap[-p, p] \text { for } 1 \leq j \leq m\right}
我们将空总和等于 0 。
请注意,我们有整数λj取负值,但集合米必须是一组正整数。

我们现在可以陈述 Deuber 的结果。注意这个结果如何显示了牢不可破的属性(米,p,C)-套。

定理 2.13(杜伯定理)。让米,p,C,r∈从+被固定。然后存在米,磷,C∈从+这样每一个r- 任意着色(米,磷,C)-set 承认单色(米,p,C)-放。

我们不需要杜伯定理的全部力量;相反,以下较弱的版本(具有更易于理解的证明)将对我们有用。
定理2.14(弱杜伯定理)。让米,p,C,r∈从+被固定。每一个r- 着色从+承认单色(米,p,C)-放。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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