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离散数学是研究可以被认为是 “离散”（类似于离散变量，与自然数集有偏射）而不是 “连续”（类似于连续函数）的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下，离散数学不包括 “连续数学 “中的课题，如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举；更正式地说，离散数学被定性为处理可数集的数学分支（有限集或与自然数具有相同心数的集）。然而，”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。
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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|The Axiom of Mathematical Induction
The Axiom of Mathematical Induction in equivalent form. Let $S$ be some set of natural numbers. Let $0 \in S$ and if some natural number $k \in S$, then also the following natural number $k+1 \in S$. Then $S$ is the set of all natural numbers ${0,1,2, \ldots}$.
Problem 8 Prove that in every problem above one can apply any of the equivalent forms of the axiom of induction.
Problem 9 Prove that $n-3$ diagonals divide an $n$ – gon, that is, the polygon with $n$ sides (not necessarily convex) into $n-2$ parts.
Proof. It is convenient in this problem to start at $n=3$. Thus, a polygon is a triangle, which has no diagonal, and consists of $3-2=1$ part, that establishes the basis of induction. Now assume that for all the $k-$ gons the statement is true, and consider any polygon $P$ with $k+l$ sides. Any its diagonal $d$ splits $P$ into two smaller polygons with a $k_{1}$ and a $k_{2}$ sides, respectively, where $k_{1}+k_{2}$ counts $d$ twice. Thus, $k_{1}+k_{2}=k+1-1=k$. On the other hand, the total number of parts is $k_{1}-1+k_{2}-1+1=k_{1}+k_{2}-1=k-1=(k+1)-2$.
The following example shows that the induction can be employed to prove inequalities as well.
Problem 10 Prove that $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}$.
Problem 11 The next is called The Strong Mathematical Induction Principle. Let $S$ be some set of natural numbers and $0 \in S$. Moreover, if for any natural number $k$, the natural numbers $0,1,2, \ldots, k-1, k \in S$, then also the following natural number $k+1 \in S$. Then $S$ is the set of all natural numbers ${0,1,2, \ldots}$.
The assumptions here seem to be stronger than in the standard principle above, since we assume something not only about $k$, but also about all smaller natural numbers $j \leq k$. Thus the statement looks weaker. But both principles are equivalent.
Indeed, prove that the Strong Principle of Mathematical Induction is equivalen to the Principle of Mulheтulical Induction in stundurl form.
The natural numbers satisfy the Axiom of Mathematical Induction. Moreover, they have a more general property, the Well-Ordering Principle; it considered in more detail, for example, in [31, p. 20].
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|FACTORIALS AND THE STIRLING FORMULA
In the previous computation, we had to multiply consecutive natural numbers. This procedure occurs so often that it deserved its own name and symbol.
Definition 2 The product of $n$ consecutive natural numbers from 1 through $n$ inclusive is called the $n$ factorial and is denoted as $n !$.
For example, $1 !=1,2 !=2 \times 1=2,3 !=3 \times 2 \times 1=6$; if $k<n$, then $\frac{n !}{k !}=(k+1)(k+2) \cdots n$. If we want to preserve this property for $k=0$, it is natural to define $0 !=1$.
The symbol $n$ ! does not look very impressive for small $n$ but let us study it more carefully. Already $10 !=3,628,800$, and we observe that the factorials grow very fast. James Stirling (1692-1770), the younger contemporary of Newton (1643-1727), showed the asymptotic formula to be proved in Lemma 2,
$$
n ! \approx\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \sqrt{2 \pi n}, n \rightarrow \infty
$$
The letter $e$ is a standard symbol for the famous real number $e \approx 2.7$, which will be discussed below. The symbol $\approx$ and name here mean that the ratio of the left- and right-hand sides of the formula tend to 1 as $n \rightarrow \infty$. This formula, without the precise value of the constant, was known to Abraham de Moivre (1667-1754) even before Stirling.
Problem 12 Approximate 10 ! by formula (1.4) and compare with the exact value given above.
Solution. By Stirling’s formula, $10 ! \approx 3.6 \times 10^{6}$, with the relative error less than $1 \%$. If $n$ is increasing, the relative error is even smaller.
Problem 13 Compute $\frac{(n+1) !}{(n-1) !}$. For what natural numbers is this expression defined?
Solution. For $n-1 \geq 0$, hence $n \geq 1$.
Problem 14 How many digits are in the number $100 !$ ?
离散数学代写
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考| The Axiom of Mathematical Induction
等价形式的数学归纳公理。让 $S$ 是一组自然数。让 $0 \in S$ 如果一些自然数 $k \in S$ ，则还有以下自然数 $k+1 \in S$ .然后 $S$ 是所有自然数的集合 $0,1,2, \ldots \cdot$
问题8 证明在上面的每一个问题中，都可以应用归纳公理的任何等价形式。
问题 9 证明 $n-3$ 对角线将 $n$ – gon，即具有 $n$ 侧面 (不一定凸起) 成 $n-2$ 部件。
证明。在这个问题中方便从 $n=3$. 因此，多边形是一个三角形，它没有对角线，并且由 $3-2=1$ 部分，它建 立了归纳的基础。现在假设对于所有 $k$-如果该语句为真，请考虑任何多边形 $P$ 跟 $k+l$ 双方。任何其对角线 $d$ 分 裂 $P$ 成两个较小的多边形，带有 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 边，分别，其中 $k_{1}+k_{2}$ 计数 $d$ 两次。因此 $k_{1}+k_{2}=k+1-1=k$. 另一方面，零件总数为 $k_{1}-1+k_{2}-1+1=k_{1}+k_{2}-1=k-1=(k+1)-2$.
下面的示例表明，归纳也可用于证明不等式。
问题 10 证明 $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}$.
问题11下一个叫做强数学归纳原理。让 $S$ 是一组自然数和 $0 \in S$. 此外，如果对于任何自然数 $k$ ，自然数 $0,1,2, \ldots, k-1, k \in S$ ，则还有以下自然数 $k+1 \in S$. 然后 $S$ 是所有自然数的集合 $0,1,2, \ldots$
这里的假设似乎比上面的标准原则更强，因为我们假设的不仅仅是关于 $k$ ，但也关于所有较小的自然数 $j \leq k$. 因 此，该语句看起来更弱。但这两个原则是等同的。
事实上，证明数学归纳的强原理在stundurl形式上等同于多赫逻辑归纳原理。
自然数满足数学归纳公理。此外，它们具有更一般的属性，即良序原理例如，在[31，第20页]中，它更详细地 考虑了这个问题。
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考| FACTORIALS AND THE STIRLING FORMULA
在之前的计算中，我们必须将连续的自然数相乘。这个过程经常发生，以至于它应该有自己的名称和符号。
定义 $2 n$ 从 1 到 1 的连续自然数 $n$ 包容性称为 $n$ 阶乘，表示为 $n !$.
例如 $1 !=1,2 !=2 \times 1=2,3 !=3 \times 2 \times 1=6$;如果 $k<n$ 然后 $\frac{n !}{k !}=(k+1)(k+2) \cdots n$. 如果我们 想保留此属性 $k=0$ ，很自然地定义 $0 !=1$.
符号 $n !$ 对于小来说看起来不是很令人印象深刻 $n$ 但让我们更仔细地研究它。已经 $10 !=3,628,800$ ，我们观察 到阶乘增长非常快。㢇姆斯·斯特林 James Stirling，1692-1770)，牛顿 (1643-1727) 的年轻同时代人，展 示了在引理2中证明的渐近公式，
$$
n ! \approx\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \sqrt{2 \pi n}, n \rightarrow \infty
$$
这封信 $e$ 是著名实数的标准符号 $e \approx 2.7$ ，下面将对此进行讨论。符号 $\approx$ 和此处的名称意味着公式的左侧和右侧 的比率趋向于 $1 n \rightarrow \infty$.这个公式没有常数的精确值，甚至在斯特林之前就已经知道了亚伯拉罕·德·莫伊夫雷 (1667-1754) 。
问题 12 大约 10！通过公式 (1.4) 并与上面给出的确切值进行比较。
溶液。根据斯特林公式， $10 ! \approx 3.6 \times 10^{6}$ ，相对误差小于 $1 \%$.如果 $n$ 正在增加，相对误差甚至更小。
问题 13 计算 $\frac{(n+1) !}{(n-1) !}$. 伩个表达式定义什么自然数?
溶液。为 $n-1 \geq 0$ 因此 $n \geq 1$.
问题 14 数字中有多少位数字 $100 ! ?$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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