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离散数学是研究可以被认为是 “离散”（类似于离散变量，与自然数集有偏射）而不是 “连续”（类似于连续函数）的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下，离散数学不包括 “连续数学 “中的课题，如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举；更正式地说，离散数学被定性为处理可数集的数学分支（有限集或与自然数具有相同心数的集）。然而，”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。
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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Nonlinear Equations
Thanks to Rado, we have a complete understanding of which systems of linear equations are regular. An obvious next step is the investigation of nonlinear equations.
Perhaps Pythagorean triples, i.e., solutions to $x^{2}+y^{2}=z^{2}$, pop to mind first. While this is a homogeneous equation, let’s not make the situation harder than we must. We’ll start with $x+y=z^{2}$. The following result is due to Green and Lindqvist $[88]$; we follow Pach $[156]$ for the proof of 2-regularity.
Theorem 2.28. The equation $x+y=z^{2}$ is 2-regular, but not 3-regular.
Proof. Of course $(x, y, z)=(2,2,2)$ is always a monochromatic solution under any coloring, so we do not allow this as a valid monochromatic solution.
We start by exhibiting a 3 -coloring of $\mathbb{Z}^{+}$with no monochromatic solution. Define the intervals
$$
I_{j}=\left{i \in \mathbb{Z}^{+}: 2^{j} \leq i \leq 2^{j+1}-1\right} \quad \text { for } \quad j=0,1,2, \ldots
$$
Let the colors be 0,1 , and 2 . For $j=0,1$, and 2 , color all elements of $I_{j}$ by color $j$. For $j=3,4, \ldots$, in order, color all elements of $I_{j}$ with a color missing from
$$
I_{\left\lfloor\frac{j}{2}\right\rfloor} \cup I_{\left\lfloor\frac{j}{2}\right\rfloor+1} .
$$
Assume, for a contradiction, that $a+b=c^{2}$ with $a \leq b$ is a monochromatic solution under this coloring. For some $j$ we have $b \in I_{j}$. Since $a \leq b$ we have $2^{j}<a+b<2^{j+2}$ so that $2^{\frac{j}{2}}<c<2^{\frac{j}{2}+1}$. Hence, $c \in I_{\left\lfloor\frac{j}{2}\right\rfloor} \cup I_{\left\lfloor\frac{j}{2}\right\rfloor+1}$. By construction, if $j \geq 3$, this means that the color of $c$ and $b$ are different. For $j \in{0,1,2}$ we have $b<8$ so that $c \in{2,3}$. For $c=2$, the only solutions are $(a, b, c)=(1,3,2)$ and $(2,2,2)$. The first is not monochromatic and the latter is not a valid monochromatic solution. For $c=3$, the solutions are $(2,7,3),(3,6,3)$, and $(4,5,3)$, none of which are monochromatic. Hence, the equation is not 3 -regular.
We continue by showing that for $n \geq 14$, the interval $\left[n,(10 n)^{4}\right]$ admits a monochromatic solution under any 2-coloring. To this end, let $\chi$ : $\left[n,(10 n)^{4}\right] \rightarrow{-1,1}$ be an arbitrary coloring. We use the colors $-1$ and 1 instead of the more standard 0 and 1 since we will be deriving inequalities about sums of colors and sums of $-1$ s and 1 s have more easily described properties.
Assume, for a contradiction, that $\chi$ does not admit a monochromatic solution. Since $(x, y, z)=\left(n^{2}, 80 n^{2}, 9 n\right)$ is a solution, we see that $\left[9 n, 80 n^{2}\right]$ cannot be entirely of one color. Hence, there exists
$$
k \in\left[9 n, 80 n^{2}-1\right]
$$
such that, without loss of generality, $\chi(k)=1$ and $\chi(k+1)=-1$.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Algebraic Equations
Clearly $\mathbb{Z}^{+}$is closed under addition and multiplication; however, it does not contain nontrivial multiplicative or additive inverses. This is one reason that the (non-)regularity over $\mathbb{Z}^{+}$of some of the equations in the last subsection is hard to prove. If we consider fields, we will have more tools at our disposal and may be able to prove more. This does not mean the results are easy, just that we are able to bring in more algebra and number theory. We will restrict our attention to prime order fields, i.e., $\mathbb{F}_{p}$ with $p$ prime.
A word of caution: positive results over fields do not necessarily imply that the corresponding result over $Z^{+}$is true. For example, if we consider $x^{3}+y^{3}=z^{3}$, we know that there is no solution over $Z^{+}$, while it is easy to find solutions over prime-order fields $\mathbb{F}_{p}$, e.g., $3^{3}+5^{3} \equiv 4^{3}(\bmod 11)$. Note, however, if we can find that an equation is not $r$-regular over any sufficiently large prime-order fields, then we can conclude the non-regularity over $\mathbb{Z}^{+}$via the contrapositive of the Compactness Principle.
With regards to the Fermat equations, it is known [186] that for any $k \in$ $\mathbb{Z}^{+}$, for all sufficiently large primes $p$, the equation $x^{k}+y^{k}=z^{k}$ is regular over $F_{p}$, i.e., $x^{k}+y^{k} \equiv z^{k}(\bmod p)$ has a monochromatic solution with $x y z \not 0$ $(\bmod p)$ for any $r$-coloring of $\mathbb{F}_{p}$ for $p$ a sufficiently large prime. We will not prove this result here; it is shown in Section 7.1.
All results in this subsection will be presented without proof as they use methods not commonly encountered in undergraduate mathematics. We will, however, in Sections $2.5,5.2$, and 5.4, present introductions to some of the tools used in these proofs and apply these tools to other, more fundamental, results.
Theorem 2.42. For any $r \in \mathbb{Z}^{+}$, there exists a prime $P(r)$ such that the equation $x+y=u v$ is $r$-regular over $\mathbb{F}_{p}$ for all primes $p \geq P(r)$.
The above theorem is due to Sárközy [181]. After reading through Section
$2.5$, the interested reader should be able to work through its proof. Theorem $2.42$ was extended to prime power fields in [53].
As shown in the last section, $x+y=z^{2}$ is not regular – in fact, it is not even 3-regular – over $\mathbb{Z}^{+}$. The situation over $\mathbb{F}_{p}$ is much different.
Theorem 2.43. For any $r \in \mathbb{Z}^{+}$, there exists a prime $P(r)$ such that the equation $x+y=z^{2}$ is $r$-regular over $\mathbb{F}_{p}$ for all primes $p \geq P(r)$.
Theorem $2.43$ is due to Lindqvist [135], who shows more generally that $x^{j}+y^{k}=z^{\ell}$ is regular over $\mathbb{F}_{p}$ (compare this with Theorem $2.31$ and its subsequent discussion).
Lindqvist, in [135], uses techniques employed by Green and Sanders in [89] to prove the following theorem, the finite field analogue of the ${a, b, a+b, a b}$ regularity (over $\mathbb{Z}^{+}$) open question.
Theorem 2.44. For any $r \in \mathbb{Z}^{+}$, there exists a prime $P(r)$ such that the system $z=x+y, w=x y$ is $r$-regular over $\mathbb{F}{p}$ for all primes $p \geq P(r)$. Consequently, every $r$-coloring of $\mathbb{F}{p}$ admits a monochromatic set of the form ${a, b, a+b, a b}$ for all sufficiently large primes $p$.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hales-Jewett Theorem
We now come to a fundamental Ramsey object. In 1963 , Hales and Jewett [96] produced a new proof of van der Waerden’s Theorem by discovering a more general – and significantly stronger – result, from which van der Waerden’s Theorem follows readily. Indeed, Deuber’s Theorem (on $(m, p, c)$-sets; see Theorem 2.13) can be deduced from their result (although not easily); see [131] and also Prömel’s proof as reproduced in [93].
As the Hales-Jewett Theorem is a multi-dimensional theorem, we have need of the following standard notation.
Notation. For any set $S$, we let $S^{n}=\underbrace{S \times S \times \cdots \times S}{n \text { copies }}$. In order to state Hales and Jewett’s result, we use the following definition. (We will use the language of variable words; other authors refer to evaluated variable words as combinatorial lines, but we will not use this language.) Definition 2.45 (Variable word). A word of length $m$ over the alphabet $\mathcal{A}$ is an element of $\mathcal{A}^{m}$, which we may write as $a{1} a_{2} \ldots a_{m}$ with $a_{i} \in \mathcal{A}$ for all $1 \leq i \leq m$. Let $x$ be a variable which may take on any value in $\mathcal{A}$. A word $w(x)$ over the alphabet $\mathcal{A} \cup{x}$ is called a variable word if $x$ occurs in $w(x)$. For $i \in \mathcal{A}$, the word $w(i)$ is obtained by replacing each occurrence of $x$ with $i$.
离散数学代写
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Nonlinear Equations
感谢 Rado，我们完全了解了哪些线性方程组是规则的。一个明显的下一步是研究非线性方程。
也许毕达哥拉斯三元组，即解X2+是2=和2，首先想到的。虽然这是一个齐次方程，但我们不要让情况变得比我们必须的更难。我们将从X+是=和2. 以下结果归功于 Green 和 Lindqvist[88]; 我们跟随帕赫[156]用于证明 2-正则性。
定理 2.28。方程X+是=和2是 2-正则，但不是 3-正则。
证明。当然(X,是,和)=(2,2,2)在任何着色下始终是单色解决方案，因此我们不允许将其作为有效的单色解决方案。
我们首先展示一个 3-coloring从+没有单色溶液。定义间隔
I_{j}=\left{i \in \mathbb{Z}^{+}: 2^{j} \leq i \leq 2^{j+1}-1\right} \quad \text { for } \quad j=0,1,2, \ldotsI_{j}=\left{i \in \mathbb{Z}^{+}: 2^{j} \leq i \leq 2^{j+1}-1\right} \quad \text { for } \quad j=0,1,2, \ldots
让颜色为 0,1 和 2 。为了j=0,1, 和 2 , 为所有元素着色一世j按颜色j. 为了j=3,4,…, 依次为所有元素着色一世j缺少颜色
一世⌊j2⌋∪一世⌊j2⌋+1.
假设，对于一个矛盾，一种+b=C2和一种≤b是这种着色下的单色溶液。对于一些j我们有b∈一世j. 自从一种≤b我们有2j<一种+b<2j+2以便2j2<C<2j2+1. 因此，C∈一世⌊j2⌋∪一世⌊j2⌋+1. 通过构造，如果j≥3，这意味着颜色C和b是不同的。为了j∈0,1,2我们有b<8以便C∈2,3. 为了C=2，唯一的解决方案是(一种,b,C)=(1,3,2)和(2,2,2). 第一个不是单色的，后者不是有效的单色解决方案。为了C=3, 解决方案是(2,7,3),(3,6,3)， 和(4,5,3)，没有一个是单色的。因此，方程不是 3 正则的。
我们继续展示n≥14, 区间[n,(10n)4]允许任何 2 着色下的单色溶液。为此，让χ : [n,(10n)4]→−1,1是任意着色。我们使用颜色−1和 1 而不是更标准的 0 和 1，因为我们将推导关于颜色和的不等式−1s 和 1 s 具有更容易描述的属性。
假设，对于一个矛盾，χ不承认单色解决方案。自从(X,是,和)=(n2,80n2,9n)是一个解决方案，我们看到[9n,80n2]不能完全是一种颜色。因此，存在
ķ∈[9n,80n2−1]
这样，在不失一般性的情况下，χ(ķ)=1和χ(ķ+1)=−1.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Algebraic Equations
清楚地从+在加法和乘法下闭合；但是，它不包含非平凡的乘法或加法逆。这是（非）规律性结束的原因之一从+上一小节中的一些方程很难证明。如果我们考虑领域，我们将拥有更多可供我们使用的工具，并且可能能够证明更多。这并不意味着结果很容易，只是我们能够引入更多的代数和数论。我们将把注意力限制在素数领域，即Fp和p主要。
提醒一句：字段上的阳性结果并不一定意味着相应的结果从+是真的。例如，如果我们考虑X3+是3=和3，我们知道没有解决方案从+, 而在素数域上很容易找到解Fp，例如，33+53≡43(反对11). 但是请注意，如果我们可以发现一个方程不是r-在任何足够大的素数阶域上是正则的，那么我们可以得出非正则性的结论从+通过紧致原则的对立面。
关于费马方程，已知 [186] 对于任何ķ∈ 从+, 对于所有足够大的素数p, 方程Xķ+是ķ=和ķ定期结束Fp， IE，Xķ+是ķ≡和ķ(反对p)有一个单色溶液X是和⧸0 (反对p)对于任何r- 着色Fp为了p一个足够大的素数。我们不会在这里证明这个结果；如第 7.1 节所示。
本小节中的所有结果将在没有证据的情况下呈现，因为它们使用了本科数学中不常见的方法。但是，我们将在部分2.5,5.2和 5.4 介绍了这些证明中使用的一些工具，并将这些工具应用于其他更基本的结果。
定理 2.42。对于任何r∈从+, 存在一个素数磷(r)这样等式X+是=在在是r- 定期结束Fp对于所有素数p≥磷(r).
上述定理归因于 Sárközy [181]。通读章节后
2.5，感兴趣的读者应该能够完成它的证明。定理2.42在 [53] 中扩展到主要功率场。
如上一节所示，X+是=和2不是正则的——事实上，它甚至不是 3-正则的——超过从+. 局势结束Fp有很大不同。
定理 2.43。对于任何r∈从+, 存在一个素数磷(r)这样等式X+是=和2是r- 定期结束Fp对于所有素数p≥磷(r).
定理2.43是由于 Lindqvist [135]，他更普遍地表明Xj+是ķ=和ℓ定期结束Fp（将此与定理进行比较2.31及其随后的讨论）。
Lindqvist 在 [135] 中使用 Green 和 Sanders 在 [89] 中采用的技术来证明以下定理，即一种,b,一种+b,一种b规律性（超过从+) 开放式问题。
定理 2.44。对于任何r∈从+, 存在一个素数磷(r)这样系统和=X+是,在=X是是r- 定期结束Fp对于所有素数p≥磷(r). 因此，每r- 着色Fp承认形式的单色集一种,b,一种+b,一种b对于所有足够大的素数p.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hales-Jewett Theorem
我们现在来到一个基本的 Ramsey 对象。1963 年，Hales 和 Jewett [96] 通过发现一个更一般且明显更强的结果，为范德瓦尔登定理提供了一个新的证明，范德瓦尔登定理很容易由此得出。事实上，杜伯定理（在(米,p,C)-套; 见定理 2.13）可以从他们的结果中推导出来（虽然不容易）；参见 [131] 以及在 [93] 中复制的 Prömel 的证明。
由于 Hales-Jewett 定理是一个多维定理，我们需要以下标准符号。
符号。对于任何集合小号，我们让小号n=小号×小号×⋯×小号⏟n 副本 . 为了说明 Hales 和 Jewett 的结果，我们使用以下定义。（我们将使用可变词的语言；其他作者将评估的可变词称为组合线，但我们不会使用这种语言。） 定义 2.45（可变词）。一个字长米在字母表上一种是一个元素一种米，我们可以写成一种1一种2…一种米和一种一世∈一种对全部1≤一世≤米. 让X是一个可以取任何值的变量一种. 一个字在(X)在字母表上一种∪X被称为变量词 ifX发生在在(X). 为了一世∈一种， 这个单词在(一世)是通过替换每次出现的X和一世.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。