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离散数学是研究可以被认为是 “离散”（类似于离散变量，与自然数集有偏射）而不是 “连续”（类似于连续函数）的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下，离散数学不包括 “连续数学 “中的课题，如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举；更正式地说，离散数学被定性为处理可数集的数学分支（有限集或与自然数具有相同心数的集）。然而，”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。
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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Roth’s Theorem
Notation. In this subsection, $i$ is reserved for $i=\sqrt{-1}$ and for $c \in \mathbb{C}$ we use $\bar{c}$ to represent the complex conjugate.
We will be doing analysis over the group $\left(\mathbb{Z}{n,}+\right):$ for $f: \mathbb{Z}{n} \rightarrow \mathbb{C}$, let the (discrete) Fourier transform of $f$ be denoted by $\hat{f}$ and given by (for $t \in \mathbb{Z}{n}$ ): $$ \widehat{f}(t)=\frac{1}{n} \sum{k=0}^{n-1} f(k) \overline{\chi(k t)}
$$
Instead of appealing to van der Waerden’s Theorem as was done in the proof of Theorem 2.67, our goal is now to prove arithmetic progressions exist in certain sets. We start with the simplest case to consider: 3 -term arithmetic progressions. This does not mean that the result concerning these is easy to prove. In 1952 , Roth $[174]$ proved that any subset of $\mathbb{Z}^{+}$with positive upper density must contain a 3 -term arithmetic progression. Note that since every finite coloring of $\mathbb{Z}+$ must have at least one color with positive upper density, Roth’s Theorem is stronger than the existence of $w(3 ; r)$ for all $r \in \mathbb{Z}^{+}$.
Theorem $2.68$ (Roth’s Theorem). For any $\epsilon>0$, there exists $N=N(\epsilon)$ such that for any $n \geq N$, if $A \subseteq[1, n]$ with $|A|>\epsilon n$, then $A$ contains a S-term arithmetic progression.
Remark. Another way of stating Roth’s Theorem is: $r_{3}(n)=o(n)$.
Since we are dealing with 3 -term arithmetic progressions, we can consider integer solutions to $x+y=2 z$, where $x, y$, and $z$ are not all equal. To effectively use discrete Fourier analysis, instead of looking for solutions in $\mathbb{Z}^{+}$, we will be looking at solutions in $\mathbb{Z}_{n}$, so we are considering solutions to $x+y \equiv 2 z$ $\left(\bmod n\right.$ ). A simple observation will allow us to translate back to $\mathbb{Z}^{+}$.
The general approach of the proof is to consider cases depending on the sizes of the Fourier transform coefficients. It is best to have a little intuition into what these mean. Consider the recovery formula given in part (i) of Theorem 1.9:
$$
\begin{aligned}
f(j) &=\sum_{k=0}^{n-1} \widehat{f}(k) \chi(k j) \
&=\sum_{k=0}^{n-1} \widehat{f}(k) e^{\frac{2 \pi i k j}{n}} \
&=\sum_{k=0}^{n-1} \widehat{f}(k) \cos \left(\frac{2 \pi k j}{n}\right)+i \sum_{k=0}^{n-1} \widehat{f}(k) \sin \left(\frac{2 \pi k j}{n}\right) \
&=\widehat{f}(0)+\sum_{k=1}^{n-1} \widehat{f}(k) \cos \left(\frac{2 \pi k j}{n}\right)+i \sum_{k=1}^{n-1} \widehat{f}(k) \sin \left(\frac{2 \pi k j}{n}\right) \cdot(2.9)
\end{aligned}
$$
The first observation is that $\widehat{f}(0)$ is a constant term in $f(j)$, while the other values of $\hat{f}(k)$ are contracted by a factor depending on $j$. To guide our intuition, we then couple this with the fact that any periodic function over $\mathbb{R}$ (like $\cos (x)$ ) has roots in arithmetic progression (not necessarily of integers).
First, we need to recall how we translate from a set $A \subseteq[1, n]$ to a function $f: \mathbb{Z}_{n} \rightarrow \mathbb{C}$ by using the indicator function:
$$
A(j)= \begin{cases}1 & \text { if } j \in A \ 0 & \text { if } j \notin A\end{cases}
$$
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Szemerédi’s Theorem
Translating the proof of Roth’s Theorem to address longer arithmetic progressions presents the challenge of moving from solving the equation $x+y=2 z$ to solving a system of equations. Clearly, more sophisticated Fourier analysis tools are needed and this was done twenty years later by Roth $[175]$ for 4 -term arithmetic progressions. However, this was after Szemerédi [195] proved the result via combinatorial methods. Szemerédi then went on to prove his famous theorem for arbitrarily long arithmetic progressions in [196]:
Theorem 2.70 (Szemerédi’s Theorem). For any $k \in \mathbb{Z}^{+}$and any subset $A \subseteq \mathbb{Z}^{+}$, if limsup $\operatorname{sun}_{n \rightarrow \infty} \frac{|A \cap[1, n]|}{n}>0$, then A contains a $k$-term arithmetic progression. Equivalently, given $\epsilon>0$ there exists an integer $N(k, \epsilon)$ such that for all $n>N(k, \epsilon)$, if $|A|>\epsilon n$, then $A$ contains a $k$-term arithmetic progression.
Szemerédi’s proof has been referred to as elementary. This does not mean easy. It is better referred to as “from first principles,” as Szemerédi felt just the logic of the proof warranted a flow chart. This chart is a directed graph on 24 vertices with 36 edges.
The reader is encouraged to work through this combinatorial feat. In this book, we prove Szemerédi’s Theorem in Section 5.2.1, relying on results that we will not prove.
It is worth noting here that Szemerédi’s Theorem is equivalent, by Theorem $2.67$, to the following theorem, the proof of the equivalence being left to the reader as Exercise $2.23$. Note also that Theorem $2.70$ settles the value of $L$ in Theorem 2.67.
Theorem 2.71. For all $k \in \mathbb{Z}^{+}$, there exists a minimal integer $N(k)$ such that for every partition of ${1,2, \ldots, n}=A \sqcup B$ with $|A| \geq|B|$ and $n \geq N(k)$, the set $A$ contains a $k$-term arithmetic progression.
It is interesting to notice that van der Waerden’s Theorem can be very similarly stated as: For all $k \in \mathbb{Z}^{+}$, there exists a minimal integer $M(k)$ such that for every partition of ${1,2, \ldots, m}=A \sqcup B$ with $m \geq M(k)$, one of $A$ and $B$ contains a $k$-term arithmetic progression.
In this section, we will investigate a closely related result that, on the surface, seems as if it may be sufficient to prove Szemerédi’s Theorem. One possible thought about sets satisfying the condition in Theorem $2.70$ is that they cannot have arbitrarily long gaps (forewarning: this is not true) or, if they do, then there must be arbitrarily long intervals where they don’t (forewarning: this is not true either). These seem reasonable, so we will investigate what we can say about this situation.
Definition $2.72$ (Syndetic, Piecewise syndetic). Let $S=\left{s_{i}\right}_{i \in Z^{+}}$. We say that $S$ is syndetic if there exists $d \in \mathbb{Z}^{+}$such that $\left|s_{i+1}-s_{i}\right| \leq d$ for all $i \in \mathbb{Z}^{+}$. We say that $S$ is piecewise syndetic if there exists $d \in \mathbb{Z}^{+}$such that for any $n \in \mathbb{Z}^{+}$, there exists $j \in \mathbb{Z}^{+}$such that $\left|s_{i+1}-s_{i}\right| \leq d$ for $i=j, j+1, \ldots, j+n-1$.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Density Hales-Jewett Theorem
We start with the statement of the theorem in this subsection’s title:
Theorem 2.74 (Density Hales-Jewett Theorem). Let $\epsilon>0$ and let $k, r \in$ $\mathbb{Z}^{+}$. Let $\mathcal{W}(m)$ be the set of all variable words of length $m$ over the alphabet ${1,2, \ldots, k} \cup{x}$. There exists an integer $N=N(\epsilon, k)$ such that for any $n \geq N$, every subset $S \subseteq[1, k]^{n}$ with $|S|>\epsilon k^{n}$ admits $w(x) \in \mathcal{W}(n)$ with ${w(i): i \in[1, k]} \subseteq S .$
This result was originally proved by Furstenberg and Katznelson [77] using ergodic theory (see Section $5.2$ for an introduction to ergodic theory techniques). Over 30 years later a combinatorial proof was developed [160]. Needless to say, both proofs are very deep and are not appropriate for this
book. For a good exposition of Theorem 2.74, visit the last chapter of [161] (written by Steger; see the Foreword of [161]).
We remark that the $k=2$ case follows by viewing $x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \in[1,2]^{n}$ as the subset of $[1, n]$ containing $i$ if and only if $x_{i}=2$. Consider the lattice of $[1,2]^{n}$ partially ordered by inclusion of the associated subsets, i.e., an edge connects two subsets if one is a subset of the other. We are searching for $w(x) \in \mathcal{W}(n)$ such that $w(1)$ and $w(2)$ are both in $S$. This means that we are looking for two subsets connected by an edge.
Recall the concept of an antichain in a poset. An antichain is a set of elements in the lattice with no edge between any of them. A fundamental poset result is Sperner’s Lemma, which states that every antichain of the subsets of $[1, n]$ under inclusion partial ordering has size at most
$$
\left(\begin{array}{c}
n \
\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor
\end{array}\right)=\frac{n !}{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor^{2}} \approx \frac{\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}}{\pi n\left(\frac{n / 2}{e}\right)^{n}}=\frac{2^{n}}{\sqrt{\frac{\pi}{2} n}}=o\left(2^{n}\right)
$$
where we are using Stirling’s approximation. Lastly, note that if our set $S$ has $|S| \geq \epsilon \cdot 2^{n}$, then $S$ cannot be an antichain since it contains more than $o\left(2^{n}\right)$ elements. Hence, $S$ must contain two elements with an edge between them, which is what we want to show.
离散数学代写
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Roth’s Theorem
符号。在本小节中，一世保留用于一世=−1并且对于C∈C我们用C¯来表示复共轭。
我们将对组进行分析(从n,+):为了F:从n→C，让（离散）傅里叶变换F表示为F^并由（对于吨∈从n ):F^(吨)=1n∑ķ=0n−1F(ķ)χ(ķ吨)¯
我们现在的目标是证明算术级数存在于某些集合中，而不是像证明定理 2.67 中所做的那样诉诸范德瓦尔登定理。我们从要考虑的最简单的情况开始：3 项算术级数。这并不意味着关于这些的结果很容易证明。1952年，罗斯[174]证明了任何子集从+具有正上密度的必须包含 3 项算术级数。请注意，由于每个有限着色从+必须至少有一种上密度为正的颜色，罗斯定理强于存在在(3;r)对全部r∈从+.
定理2.68（罗斯定理）。对于任何ε>0， 那里存在ñ=ñ(ε)这样对于任何n≥ñ， 如果一种⊆[1,n]和|一种|>εn， 然后一种包含一个 S 项算术级数。
评论。另一种表述罗斯定理的方式是：r3(n)=这(n).
由于我们正在处理 3 项算术级数，我们可以考虑整数解X+是=2和， 在哪里X,是， 和和并不都是平等的。为了有效地使用离散傅里叶分析，而不是在从+，我们将在从n，所以我们正在考虑解决方案X+是≡2和 (反对n）。一个简单的观察将使我们能够翻译回从+.
证明的一般方法是根据傅里叶变换系数的大小来考虑情况。最好对这些含义有一点直觉。考虑定理 1.9 (i) 部分给出的恢复公式：
F(j)=∑ķ=0n−1F^(ķ)χ(ķj) =∑ķ=0n−1F^(ķ)和2圆周率一世ķjn =∑ķ=0n−1F^(ķ)因(2圆周率ķjn)+一世∑ķ=0n−1F^(ķ)罪(2圆周率ķjn) =F^(0)+∑ķ=1n−1F^(ķ)因(2圆周率ķjn)+一世∑ķ=1n−1F^(ķ)罪(2圆周率ķjn)⋅(2.9)
第一个观察结果是F^(0)是一个常数项F(j), 而其他值F^(ķ)收缩的因素取决于j. 为了指导我们的直觉，我们将其与任何周期函数R（像因(X)) 根源于算术级数（不一定是整数）。
首先，我们需要回忆一下我们是如何从一个集合中翻译的一种⊆[1,n]到一个函数F:从n→C通过使用指标函数：
一种(j)={1 如果 j∈一种 0 如果 j∉一种
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Szemerédi’s Theorem
翻译罗斯定理的证明以解决更长的算术级数提出了从求解方程转移的挑战X+是=2和求解方程组。显然，需要更复杂的傅立叶分析工具，这在 20 年后由 Roth 完成[175]对于 4 项算术级数。然而，这是在 Szemerédi [195] 通过组合方法证明了结果之后。Szemerédi 随后在 [196] 中证明了他关于任意长算术级数的著名定理：
定理 2.70（Szemerédi 定理）。对于任何ķ∈从+和任何子集一种⊆从+, 如果 limsup太阳n→∞|一种∩[1,n]|n>0, 那么 A 包含一个ķ项算术级数。等效地，给定ε>0存在一个整数ñ(ķ,ε)这样对于所有人n>ñ(ķ,ε)， 如果|一种|>εn， 然后一种包含一个ķ项算术级数。
Szemerédi 的证明被称为基本证明。这并不意味着容易。最好将其称为“从第一原则”，因为 Szemerédi 认为证明的逻辑需要流程图。该图是一个有 24 个顶点和 36 条边的有向图。
鼓励读者完成这一组合壮举。在本书中，我们在第 5.2.1 节证明了 Szemerédi 定理，依赖于我们不会证明的结果。
值得注意的是，Szemerédi 定理是等价的，由 Theorem2.67，对于以下定理，等价的证明留给读者作为练习2.23. 还要注意定理2.70解决的价值大号在定理 2.67 中。
定理 2.71。对全部ķ∈从+, 存在一个最小整数ñ(ķ)这样对于每个分区1,2,…,n=一种⊔乙和|一种|≥|乙|和n≥ñ(ķ), 集合一种包含一个ķ项算术级数。
有趣的是，范德瓦尔登定理可以非常类似地表述为：对于所有人ķ∈从+, 存在一个最小整数米(ķ)这样对于每个分区1,2,…,米=一种⊔乙和米≥米(ķ)，其中之一一种和乙包含一个ķ项算术级数。
在本节中，我们将研究一个密切相关的结果，从表面上看，它似乎足以证明 Szemerédi 定理。关于满足定理条件的集合的一种可能的想法2.70是它们不能有任意长的间隔（警告：这不是真的），或者，如果有，那么它们必须有任意长的间隔（警告：这也不是真的）。这些似乎是合理的，所以我们将调查我们可以对这种情况说些什么。
定义2.72（综合，分段综合）。让S=\left{s_{i}\right}_{i \in Z^{+}}S=\left{s_{i}\right}_{i \in Z^{+}}. 我们说小号如果存在，则为综合的d∈从+这样|s一世+1−s一世|≤d对全部一世∈从+. 我们说小号如果存在则分段合成d∈从+这样对于任何n∈从+， 那里存在j∈从+这样|s一世+1−s一世|≤d为了一世=j,j+1,…,j+n−1.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Density Hales-Jewett Theorem
我们从本小节标题中的定理陈述开始：
定理 2.74（密度 Hales-Jewett 定理）。让ε>0然后让ķ,r∈ 从+. 让在(米)是长度可变的所有单词的集合米在字母表上1,2,…,ķ∪X. 存在一个整数ñ=ñ(ε,ķ)这样对于任何n≥ñ, 每个子集小号⊆[1,ķ]n和|小号|>εķn承认在(X)∈在(n)和在(一世):一世∈[1,ķ]⊆小号.
这个结果最初是由 Furstenberg 和 Katznelson [77] 使用遍历理论证明的（见第5.2介绍遍历理论技术）。30 多年后，开发了一种组合证明[160]。不用说，这两个证明都很深，不适合这个
书。有关定理 2.74 的详细说明，请访问 [161] 的最后一章（由 Steger 撰写；参见 [161] 的前言）。
我们注意到ķ=2案例通过查看X1X2⋯Xn∈[1,2]n作为的子集[1,n]包含一世当且仅当X一世=2. 考虑格子[1,2]n通过包含相关子集进行部分排序，即，如果一个子集是另一个子集，则一条边连接两个子集。我们正在寻找在(X)∈在(n)这样在(1)和在(2)都在小号. 这意味着我们正在寻找由一条边连接的两个子集。
回想一下 poset 中反链的概念。反链是晶格中的一组元素，它们之间没有边。一个基本的偏序结果是 Sperner 的引理，它指出每个子集的反链[1,n]在包含偏序下最多有大小
(n ⌊n2⌋)=n!⌊n2⌋2≈2圆周率n(n和)n圆周率n(n/2和)n=2n圆周率2n=这(2n)
我们使用的是斯特林近似值。最后，请注意，如果我们的集合小号拥有|小号|≥ε⋅2n， 然后小号不能是反链，因为它包含超过这(2n)元素。因此，小号必须包含两个元素，它们之间有一条边，这就是我们想要展示的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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