数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Some Graph Theory Concepts

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离散数学是研究可以被认为是 “离散”(类似于离散变量,与自然数集有偏射)而不是 “连续”(类似于连续函数)的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下,离散数学不包括 “连续数学 “中的课题,如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举;更正式地说,离散数学被定性为处理可数集的数学分支(有限集或与自然数具有相同心数的集)。然而,”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Some Graph Theory Concepts

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Graph Ramsey Numbers

The first result we present holds definitionally and is useful for translating between results couched in typical Ramsey theory language and results given in standard graph theory language. Letting $G$ be any graph, we interpret it as a 2-coloring of the edges of $K_{|G|}$ by coloring all edges in $G$ red and the remaining edges (not present in $G$ ) blue. This coloring has no red $K_{\omega(G)+1}$ and no blue $K_{\alpha(G)+1}$ by definition. This yields the following result.

Lemma 3.15. Let $G$ be any graph. Then $R(\omega(G)+1, \alpha(G)+1) \geq|G|+1$.

Applying Lemma $3.15$ with $G$ being a 5 -cycle we easily have $\omega(G)=2$ and $\alpha(G)=2$ so that $R(3,3) \geq 6$, which as we have seen is tight.

The next general result is a special case of a result of Chvátal and Harary [46]. We remind the reader that all arbitrary graphs we consider are connected.
Theorem 3.16. Let $G$ and $H$ be graphs. Then
$$
R(G, H) \geq(\chi(G)-1)(|H|-1)+1 .
$$
Proof. Let
$$
n=(\chi(G)-1)(|H|-1)
$$
We will exhibit a 2-coloring of the edges of $K_{n}$ with no red $G$ and no blue $H$, from which the inequality follows. Partition the vertices of $K_{n}$ into $\chi(G)-1$ parts of $|H|-1$ vertices each. In each part, color all edges between the $|H|-1$ vertices blue. Color the remaining edges of $K_{n}$ red. Hence, every edge between copies of $K_{|H|-1}$ is red. Clearly this coloring admits no blue $H$ as $H$ cannot be a subgraph of $K_{|H|-1}$. We must show that there is no red $G$.

Assume, for a contradiction, that this coloring admits a red $G$. Then $G$ may have at most one vertex in each copy of $K_{|H|-1}$. Hence, $G$ can have at most $\chi(G)-1$ vertices. However, this means we can use $\chi(G)-1$ colors to color the vertices of $G$ to produce a vertex-valid coloring of $G$. This contradicts the definition of $\chi(G)$ as being the minimal such number.

Applying Theorem 3.16, we give our first result for specific types of graphs. This result is due to Chvátal [45]. Recall that $T_{m}$ is a tree on $m$ vertices.
Corollary 3.17. Let $m, n \in \mathbb{Z}^{+}$. For any given tree $T_{m}$, we have
$$
R\left(T_{m}, K_{n}\right)=(m-1)(n-1)+1 .
$$
Proof. Using $G=K_{n}$ and $H=T_{m}$ in Theorem $3.16$ we immediately have $R\left(T_{m}, K_{n}\right) \geq(m-1)(n-1)+1$ so it remains to show that $R\left(T_{m}, K_{n}\right) \leq$ $(m-1)(n-1)+1$. To show this we induct on $m+n$, with $R\left(T_{2}, K_{n}\right)=n$ and $R\left(T_{m}, K_{2}\right)=m$ being trivial. Note that the inductive assumption means the formula holds for any type of tree on less than $m$ vertices.
Let $K$ be the complete graph on vertices $V$ with
$$
|V|=(m-1)(n-1)+1 .
$$

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hypergraphs

Describing the die in Figure $3.5$ as a graph on 8 vertices, our edge set would be
$$
{{a, b},{a, d},{a, e},{b, c},{b, f},{c, d},{c, g},{d, h},{e, f},{e, h},{f, g},{g, h}} .
$$
But this is not how we would normally describe a standard die. We typically note the 6 sides of a die and not the edges as we have given them. We may

call the sides faces; however, in order to abstract the idea of a graph, let’s call them some type of edge. For the same reason we abstract a plane in 3 dimensions to a hyperplane in more than 3 dimensions, we abstract edges of more than 2 vertices to hyperedges.

Recalling Definition 3.1, we may refer to the faces of our cube as hyperedges and describe the associated hypergraph as being on the vertices $a, b, c, d, e, f, g, h$ with hyperedge set
$$
{{a, b, c, d},{a, b, e, f},{a, d, e, h},{b, c, f, g},{c, d, g, h},{e, f, g, h}}
$$
The reader may notice that each hyperedge in this description contains exactly 4 vertices. This is an example of a hypergraph in the class a hypergraphs with which we will be dealing.

Definition $3.19$ ( $\ell$-uniform hypergraph). Let $G=(V, E)$ be a hypergraph. Let $\ell \in \mathbb{Z}^{+}$with $\ell \geq 3$. If every element of $E$ contains exactly $\ell$ vertices from $V$, then we say that $G$ is an $\ell$-uniform hypergraph. If $E$ contains all ( $\ell \mid$ subsets of $V$ of size $\ell$, then we call $G$ the complete $\ell$-uniform hyperyraph and denote it by $K_{n}^{\ell}$, where $n=|V|$.

Applying this definition to the die example above, our second description is one of a 4-uniform hypergraph; however, it is not a complete 4-uniform hypergraph since it has only 6 hyperedges and not all $\left(\begin{array}{l}6 \ 4\end{array}\right)=15$ hyperedges that a $K_{6}^{4}$ has.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hypergraph Ramsey Theorem

In Ramsey’s Theorem we color edges and deduce monochromatic complete subgraphs. Replacing edges with hyperedges and subgraphs with subhypergraphs is the basis of the Hypergraph Ramsey Theorem, which is actually the original theorem proved by Ramsey in his seminal paper [166, Theorem A].
Formally, for a hypergraph $H=(V, E)$, each hyperedge in $E$ is assigned a color and a subhypergraph on vertices $U \subseteq V$ may only have a hyperedge $e \in E$ provided $e \in \wp(U)$.

Notation. We will refer to a hyperedge consisting of $\ell$ vertices as an $\ell$ hyperedge.

Theorem 3.20 (Hypergraph Ramsey Theorem). Let $\ell, r \in \mathbb{Z}^{+}$with both at least 2. For $i \in{1,2, \ldots, r}$, let $k_{i} \in \mathbb{Z}^{+}$with $k_{i} \geq \ell$. Then there exists a minimal positive integer $n=R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{r}\right)$ such that every $r$-coloring of the $\ell$-hyperedges of $K_{n}^{\ell}$ with the colors $1,2, \ldots, r$ contains, for some $j \in$ ${1,2, \ldots, r}$, a $K_{k_{j}}^{\ell}$ subhypergraph with all $\ell$-hyperedges of color $j$.

Proof. We start by proving the $r=2$ case. We prove this via induction on $\ell$. The $\ell=2$ case of this theorem is Ramsey’s Theorem (Theorem $3.6$ ), so that we have already proved the base case. Given $k_{1}$ and $k_{2}$, by the inductive assumption we assume that $n=R_{\ell-1}\left(k_{1}, k_{2}\right)$ exists. For ease of exposition, we

will use the colors red and blue, with red associated with $k_{1}$ (and blue with $\left.k_{2}\right)$.

Inside of the induction on $\ell$, we induct on $k_{1}+k_{2}$, as we did in the proof of Ramsey’s Theorem. So, in our pursuit of showing that $R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}\right)$ exists, we may assume that $R_{\ell}\left(k_{1}-1, k_{2}\right)$ and $R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}-1\right)$ both exist. The base cases for our induction on $k_{1}+k_{2}$ are trivial: $R_{\ell}\left(\ell, k_{2}\right)=k_{2}$ and $R_{\ell}\left(k_{1}, \ell\right)=k_{1}$ (for the first, we either have a red hyperedge and, hence, a red $K_{\ell}^{\ell}$, or all hyperedges are blue and we have a blue $K_{k_{2}}^{\ell}$; for the second, reverse the colors and use $k_{1}$ instead of $k_{2}$ ). Hence, we may assume that $k_{1}$ and $k_{2}$ are both greater than $\ell$. Let
$$
n=R_{\ell-1}\left(R_{\ell}\left(k_{1}-1, k_{2}\right), R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}-1\right)\right)+1 .
$$
We will show that $R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}\right) \leq n$.
Consider an arbitrary 2 -coloring $\chi$ of the $\ell$-hyperedges of $K_{n}^{\ell}$ with vertex set $V$. Isolate a vertex $v \in V$. Consider the complete $(\ell-1)$-uniform hypergraph on vertices $V \backslash{v}$ where the coloring $\widehat{\chi}$ of the $(\ell-1)$-hyperedges is inherited from $\chi$ in the following way: For $e$ an $(\ell-1)$-hyperedge, let
$$
\widehat{\chi}(e)=\chi(e \cup{v}) .
$$
From the definition of $n$ we have either a complete $(\ell-1)$-uniform hypergraph on $R_{\ell}\left(k_{1}-1, k_{2}\right)$ vertices with all $(\ell-1)$-hyperedges red under $\hat{\chi}$ or a complete $(\ell-1)$-uniform hypergraph on $R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}-1\right)$ vertices with all $(\ell-1)$-hyperedges blue under $\hat{\chi}$. Without loss of generality, we may assume the latter holds.

Let $W$ be the set of $R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}-1\right)$ vertices with all $(\ell-1)$-hyperedges blue under $\hat{\chi}$. By the assumed existence of $R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}-1\right)$ we have, under $\chi$, either a red $K_{k_{1}}^{\ell}$ and are done, or we have a blue $K_{k_{2}-1}^{\ell}$ on vertex set $U$ with the property that all $(\ell-1)$ hyperedges are blue under $\widehat{\chi}$. Noting that $v \notin U$, consider the complete $\ell$-uniform hypergraph on the vertices $U \cup{v}$. The $\ell$ hyperedges that include $v$ are all blue since, by the definition of $\widehat{\chi}$, we have $\widehat{\chi}(e)=\chi(e \cup{v})$ for any $(\ell-1)$-hyperedge $e$ with vertices in $V \backslash{v}$, which we have deduced are all blue in $K_{k_{2}-1}^{\ell}$. Thus, all $\ell$-hyperedges on $U \cup{v}$ are blue and we have a blue $K_{k,}^{\ell}$. This completes the $r=2$ case of the theorem.

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离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Graph Ramsey Numbers

我们提出的第一个结果在定义上成立,并且对于在以典型 Ramsey 理论语言表达的结果和以标准图论语言给出的结果之间进行转换很有用。让G是任何图,我们将其解释为边缘的 2 着色ķ|G|通过着色所有边缘G红色和剩余的边缘(不存在于G) 蓝色的。这个配色没有红色ķω(G)+1也没有蓝色ķ一种(G)+1根据定义。这产生以下结果。

引理 3.15。让G是任何图形。然后R(ω(G)+1,一种(G)+1)≥|G|+1.

应用引理3.15和G作为一个 5 循环,我们很容易拥有ω(G)=2和一种(G)=2以便R(3,3)≥6,正如我们所见,它是紧的。

下一个一般结果是 Chvátal 和 Harary [46] 结果的一个特例。我们提醒读者,我们考虑的所有任意图都是连接的。
定理 3.16。让G和H成为图表。然后
R(G,H)≥(χ(G)−1)(|H|−1)+1.
证明。让
n=(χ(G)−1)(|H|−1)
我们将展示边缘的 2 着色ķn没有红色G也没有蓝色H,不等式由此而来。分割顶点ķn进入χ(G)−1部分|H|−1每个顶点。在每个部分中,着色之间的所有边缘|H|−1顶点蓝色。为剩余的边缘着色ķn红色的。因此,副本之间的每一条边ķ|H|−1是红色的。显然这种颜色不承认蓝色H作为H不能是的子图ķ|H|−1. 我们必须证明没有红色G.

假设,为了矛盾,这种着色承认红色G. 然后G每个副本中最多可以有一个顶点ķ|H|−1. 因此,G最多可以有χ(G)−1顶点。但是,这意味着我们可以使用χ(G)−1为顶点着色的颜色G产生一个顶点有效的着色G. 这与定义相矛盾χ(G)作为最小的这样的数字。

应用定理 3.16,我们给出了特定类型图的第一个结果。这个结果是由于 Chvátal [45]。回想起那个吨米是一棵树米顶点。
推论 3.17。让米,n∈从+. 对于任何给定的树吨米, 我们有
R(吨米,ķn)=(米−1)(n−1)+1.
证明。使用G=ķn和H=吨米定理3.16我们马上有了R(吨米,ķn)≥(米−1)(n−1)+1所以它仍然表明R(吨米,ķn)≤ (米−1)(n−1)+1. 为了展示这一点,我们在米+n, 和R(吨2,ķn)=n和R(吨米,ķ2)=米是微不足道的。请注意,归纳假设意味着该公式适用于任何类型的树,小于米顶点。
让ķ成为顶点上的完整图在和
|在|=(米−1)(n−1)+1.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hypergraphs

描述图中的模具3.5作为 8 个顶点的图,我们的边集是
一种,b,一种,d,一种,和,b,C,b,F,C,d,C,G,d,H,和,F,和,H,F,G,G,H.
但这不是我们通常描述标准模具的方式。我们通常会注意到骰子的 6 个面,而不是我们给出的边缘。我们可能会

称侧面;但是,为了抽象图的概念,我们称它们为某种类型的边。出于同样的原因,我们将 3 维的平面抽象为 3 维以上的超平面,我们将超过 2 个顶点的边抽象为超边。

回顾定义 3.1,我们可以将立方体的面称为超边,并将关联的超图描述为在顶点上一种,b,C,d,和,F,G,H有超边集
一种,b,C,d,一种,b,和,F,一种,d,和,H,b,C,F,G,C,d,G,H,和,F,G,H
读者可能会注意到,这个描述中的每条超边恰好包含 4 个顶点。这是我们将要处理的超图类中的一个超图示例。

定义3.19 ( ℓ-均匀超图)。让G=(在,和)成为一个超图。让ℓ∈从+和ℓ≥3. 如果每个元素和确切地包含ℓ顶点来自在,那么我们说G是一个ℓ-均匀超图。如果和包含所有 (ℓ∣的子集在大小的ℓ,那么我们称G完整的ℓ-均匀的超yraph并将其表示为ķnℓ, 在哪里n=|在|.

将此定义应用于上面的示例,我们的第二个描述是 4-uniform 超图之一;然而,它不是一个完整的 4-uniform 超图,因为它只有 6 个超边而不是全部(6 4)=15超边ķ64拥有。

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hypergraph Ramsey Theorem

在拉姆齐定理中,我们给边缘着色并推导出单色完全子图。用超边代替边,用子超图代替子图是超图拉姆齐定理的基础,这实际上是拉姆齐在他的开创性论文[166,定理A]中证明的原始定理。
形式上,对于超图H=(在,和), 中的每个超边和在顶点上分配了颜色和子超图在⊆在可能只有一条超边和∈和假如和∈℘(在).

符号。我们将指由以下组成的超边ℓ顶点作为ℓ超边。

定理 3.20(超图拉姆齐定理)。让ℓ,r∈从+两者都至少 2. 对于一世∈1,2,…,r, 让ķ一世∈从+和ķ一世≥ℓ. 那么存在一个最小正整数n=Rℓ(ķ1,ķ2,…,ķr)这样每一个r- 着色ℓ- 的超边ķnℓ与颜色1,2,…,r包含,对于一些j∈ 1,2,…,r, 一种ķķjℓ所有的子超图ℓ- 颜色的超边j.

证明。我们首先证明r=2案子。我们通过归纳证明这一点ℓ. 这ℓ=2这个定理的例子是拉姆齐定理 (Theorem3.6),所以我们已经证明了基本情况。给定ķ1和ķ2,通过归纳假设,我们假设n=Rℓ−1(ķ1,ķ2)存在。为了便于说明,我们

将使用红色和蓝色,红色与ķ1(和蓝色的ķ2).

里面的感应上ℓ, 我们在ķ1+ķ2,正如我们在拉姆齐定理的证明中所做的那样。所以,在我们追求展示的过程中Rℓ(ķ1,ķ2)存在,我们可以假设Rℓ(ķ1−1,ķ2)和Rℓ(ķ1,ķ2−1)两者都存在。我们归纳的基本案例ķ1+ķ2是微不足道的:Rℓ(ℓ,ķ2)=ķ2和Rℓ(ķ1,ℓ)=ķ1(对于第一个,我们要么有一个红色的超边,因此,一个红色的ķℓℓ,或者所有超边都是蓝色的,我们有一个蓝色ķķ2ℓ; 第二,反转颜色并使用ķ1代替ķ2)。因此,我们可以假设ķ1和ķ2都大于ℓ. 让
n=Rℓ−1(Rℓ(ķ1−1,ķ2),Rℓ(ķ1,ķ2−1))+1.
我们将证明Rℓ(ķ1,ķ2)≤n.
考虑任意 2 着色χ的ℓ- 的超边ķnℓ有顶点集在. 隔离一个顶点在∈在. 考虑完整(ℓ−1)- 顶点上的统一超图在∖在在哪里着色χ^的(ℓ−1)-hyperedges 继承自χ通过以下方式:对于和一个(ℓ−1)-超边,让
χ^(和)=χ(和∪在).
从定义n我们要么有一个完整的(ℓ−1)-一致的超图Rℓ(ķ1−1,ķ2)所有的顶点(ℓ−1)-hyperedges 红色下χ^或完整的(ℓ−1)-一致的超图Rℓ(ķ1,ķ2−1)所有的顶点(ℓ−1)-hyperedges 蓝色下χ^. 不失一般性,我们可以假设后者成立。

让在是一组Rℓ(ķ1,ķ2−1)所有的顶点(ℓ−1)-hyperedges 蓝色下χ^. 通过假设存在Rℓ(ķ1,ķ2−1)我们有,在χ, 要么是红色ķķ1ℓ并且完成了,或者我们有一个蓝色ķķ2−1ℓ在顶点集上在与所有的财产(ℓ−1)超边是蓝色的χ^. 注意到在∉在, 考虑完整ℓ- 顶点上的统一超图在∪在. 这ℓ包括的超边在都是蓝色的,因为根据定义χ^, 我们有χ^(和)=χ(和∪在)对于任何(ℓ−1)-超边缘和有顶点在∖在, 我们推导出的都是蓝色的ķķ2−1ℓ. 因此,所有ℓ- 超边在∪在是蓝色的,我们有蓝色ķķ,ℓ. 这完成了r=2定理的情况。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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