数学代写|线性代数代写linear algebra代考|MATH1051

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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|MATH1051

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Subsets and Subspaces

Let $\left(V,+,{ }^{\circ}\right)$ be a vector space. In this section we discuss conditions on a subset of a vector space that will guarantee the subset is also a vector space. Recall that a subset of $V$ is a set that contains some of the elements of $V$. We define subset more precisely here.

Let $V$ and $W$ be sets. We say that $W$ is a subset of $V$ if every element of $W$ is an element of $V$ and we write $W \subset V$ or $W \subseteq V$. In the case where $W \neq V$ (there are elements of $V$ that are not in $W$ ), we say that $W$ is a proper subset of $V$ and we write $W \subseteq V$.

In a vector space context, we always assume the same operations on $W$ as we have defined on $V$.
Let $W$ be a subset of $V$. We are interested in subsets that also satisfy the vector space properties (recall Definition 2.3.5).

Let $(V,+, \cdot)$ be a vector space over a field $\mathbb{F}$. If $W \subseteq V$, then we say that $W$ is a subspace of $(V,+, \cdot)$ whenever $(W,+, \cdot)$ is also a vector space.

Now consider which vector space properties of $(V,+, \cdot)$ must also be true of the subset $W$. Which properties are not necessarily true? The commutative, associative, and distributive properties still hold because the operations are the same, the scalars come from the same scalar field, and elements of $W$ come from the set $V$. Therefore, since these properties are true in $V$, they are true in $W$. We say that these properties are inherited from $V$ since $V$ is like a parent set to $W$. Also, since, we do not change the scalar set when considering a subset, the scalar 1 is still an element of the scalar set. This tells us that we can determine whether a subset of a vector space is, itself, a vector space, by checking those properties that depend on how the subset differs from the parent vector space. The properties we need to check are the following
(P1) $W$ is closed under addition.
(P2) $W$ is closed under scalar multiplication.
(P8) $W$ contains the additive identity, denoted $0 .$
(P9) $W$ contains additive inverses.
With careful consideration, we see that, because $V$ contains additive inverses, then if (P1), (P2), and (P8) are true for $W$, it follows that $W$ must also contain additive inverses (see Exercise 14). Hence, as the following theorem states, we need only test for properties (P1), (P2), and (P8) in order to determine whether a subset is a subspace.

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Examples of Subspaces

Every vector space $(V,+, \cdot)$ has at least the following two subspaces.
Theorem $2.5 .7$
Let $(V,+, \cdot)$ be a vector space. Then $V$ is itself a subspace of $(V,+, \cdot)$.
Proof. Since every set is a subset of itself, the result follows from Definition $2.5 .2 .$
Theorem $2.5 .8$
Let $(V,+, \cdot)$ be a vector space. Then the set ${0}$ is a subspace of $(V,+, \cdot)$.
The proof is Exercise $19 .$
Example 2.5.9 Recall Example 2.4.9 from the last section. Let $V \subset \mathbb{R}^{3}$ be the set of all solutions to the equation $x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0$. Then $V$ is a subspace of $\mathbb{R}^{3}$, with the standard operations.

More generally, as we saw in the last section, the set of solutions to any homogeneous linear equation with $n$ variables is a subspace of $\left(\mathbb{R}^{n},+, \cdot\right)$.

Example 2.5.10 Consider the coordinate axes as a subset of the vector space $\mathbb{R}^{2}$. That is, let $T \subset \mathbb{R}^{2}$ be defined by
$$
T=\left{x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}=0 \text { or } x_{2}=0\right}
$$
$T$ is not a subspace of $\left(\mathbb{R}^{2},+, \cdot\right)$, because although 0 is in $T$, making $T \neq \emptyset, T$ does not have the property that for all $x, y \in T$ and for all $\alpha, \beta \in \mathbb{R}, \alpha x+\beta y \in T$. To verify this, we need only produce one example of vectors $x, y \in T$ and scalars $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ so that $\alpha x+\beta y$ is not in $T$. Notice that $x=(0,1)$, $y=(1,0)$ are elements of $T$ and $\alpha=\beta=1$ are in $\mathbb{R}$. Since $1 \cdot x+1 \cdot y=(1,1)$ which is not in $T$, $T$ does not satisfy the subspace property.

Example 2.5.11 Consider $W=\left{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} \mid c=0\right} . W$ is a subspace of $\mathbb{R}^{3}$, with the standard operations of addition and scalar multiplication. See Exercise $9 .$

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Building New Subspaces

In this section, we investigate the question, “If we start with two subspaces of the same vector space, to some observations that will simplify some previous examples and give us new tools for proving that subsets are subspaces. We first consider intersections and unions.
Definition $2.5 .17$
Let $S$ and $T$ be sets.

  • The intersection of $S$ and $T$, written $S \cap T$, is the set containing all elements that are in both $S$ and $T$.
  • The union of $S$ and $T$, written $S \cup T$, is the set containing all elements that are in either $S$ or $T$ (or both).
    The intersection of two subspaces is a also a subspace.

Proof. Let $W_{1}$ and $W_{2}$ be subspaces of $(V,+, \cdot)$. We will show that the intersection of $W_{1}$ and $W_{2}$ is nonempty and closed under scalar multiplication and vector addition. To show that $W_{1} \cap W_{2}$ is nonempty, we notice that since both $W_{1}$ and $W_{2}$ contain the zero vector, so does $W_{1} \cap W_{2}$.

Now, let $u$ and $v$ be elements of $W_{1} \cap W_{2}$ and let $\alpha$ be a scalar. Since $W_{1}$ and $W_{2}$ are closed under addition and scalar multiplication, we know that $\alpha \cdot u+v$ is also in both $W_{1}$ and $W_{2}$. That is, $\alpha \cdot u+v$ is in $W_{1} \cap W_{2}$, so by Corollary $2.5 .6 W_{1} \cap W_{2}$ is closed under addition and scalar multiplication.
Thus, by Corollary $2.5 .4, W_{1} \cap W_{2}$ is a subspace of $(V,+, \cdot)$.
An important example involves solutions to homogeneous equations, which we first considered in Example 2.4.12.

Example 2.5.19 The solution set of a single homogeneous equation in $n$ variables is a subspace of $\mathbb{R}^{n}$ (see Example 2.4.12). By Theorem 2.5.18, the intersection of the solution sets of any $k$ homogeneous equations in $n$ variables is also subspace of $\mathbb{R}^{n}$.

In other words, if a system of linear equations consists only of homogeneous equations, then the set of solutions forms a subspace of $\mathbb{R}^{n}$. This is such an important result that we promote it from example to theorem.

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|MATH1051

线性代数代考

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Subsets and Subspaces

让(在,+,∘)是一个向量空间。在本节中,我们将讨论向量空间子集的条件,以保证该子集也是向量空间。回想一下,一个子集在是一个包含一些元素的集合在. 我们在这里更精确地定义子集。

让在和在被套。我们说在是的一个子集在如果每个元素在是一个元素在我们写在⊂在或者在⊆在. 在这种情况下在≠在(有元素在不在在),我们说在是一个适当的子集在我们写在⊆在.

在向量空间上下文中,我们总是假设在在正如我们在在.
让在成为的一个子集在. 我们对也满足向量空间属性的子集感兴趣(回忆定义 2.3.5)。

让(在,+,⋅)是域上的向量空间F. 如果在⊆在,那么我们说在是一个子空间(在,+,⋅)每当(在,+,⋅)也是一个向量空间。

现在考虑哪些向量空间属性(在,+,⋅)子集也必须为真在. 哪些性质不一定是真的?交换性、结合性和分配性属性仍然成立,因为操作是相同的,标量来自相同的标量域,并且在来自集合在. 因此,由于这些性质在在, 它们在在. 我们说这些属性是继承自在自从在就像父母一样在. 此外,由于我们在考虑子集时不会更改标量集,因此标量 1 仍然是标量集的一个元素。这告诉我们,我们可以通过检查那些取决于子集与父向量空间的不同之处的属性来确定向量空间的子集本身是否是向量空间。我们需要检查的属性如下
(P1)在在添加下关闭。
(P2)在在标量乘法下是闭合的。
(P8)在包含加法身份,表示为0.
(P9)在包含加法逆元。
经过仔细考虑,我们看到,因为在包含加法逆元,则如果 (P1)、(P2) 和 (P8) 对于在, 它遵循在还必须包含加法逆元(参见练习 14)。因此,如以下定理所述,我们只需要测试属性 (P1)、(P2) 和 (P8) 以确定子集是否是子空间。

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Examples of Subspaces

每个向量空间(在,+,⋅)至少有以下两个子空间。
定理2.5.7
让(在,+,⋅)是一个向量空间。然后在本身就是一个子空间(在,+,⋅).
证明。由于每个集合都是其自身的子集,因此结果来自定义2.5.2.
定理2.5.8
让(在,+,⋅)是一个向量空间。然后是集0是一个子空间(在,+,⋅).
证明是锻炼19.
示例 2.5.9 回忆上一节的示例 2.4.9。让在⊂R3是方程所有解的集合X1+3X2−X3=0. 然后在是一个子空间R3, 与标准操作。

更一般地,正如我们在上一节中看到的,任何齐次线性方程组的解集n变量是一个子空间(Rn,+,⋅).

示例 2.5.10 将坐标轴视为向量空间的子集R2. 也就是说,让吨⊂R2定义为

T=\left{x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}=0 \text { 或 } x_{2} =0\右}T=\left{x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}=0 \text { 或 } x_{2} =0\右}
吨不是的子空间(R2,+,⋅), 因为虽然 0 在吨, 制造吨≠∅,吨不具备所有人的财产X,是∈吨并为所有人一个,b∈R,一个X+b是∈吨. 为了验证这一点,我们只需要生成一个向量示例X,是∈吨和标量一个,b∈R以便一个X+b是不在吨. 请注意X=(0,1), 是=(1,0)是元素吨和一个=b=1在R. 自从1⋅X+1⋅是=(1,1)这不在吨,吨不满足子空间性质。

示例 2.5.11 考虑W=\left{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} \mid c=0\right} 。WW=\left{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} \mid c=0\right} 。W是一个子空间R3,具有加法和标量乘法的标准运算。见练习9.

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Building New Subspaces

在本节中,我们将研究以下问题:“如果我们从同一个向量空间的两个子空间开始,到一些观察将简化之前的一些示例,并为我们提供新的工具来证明子空间是子空间。我们首先考虑交集和并集。
定义2.5.17
让小号和吨被套。

  • 的交叉点小号和吨, 写小号∩吨, 是包含两者中所有元素的集合小号和吨.
  • 工会小号和吨, 写小号∪吨, 是包含所有元素的集合小号或者吨(或两者)。
    两个子空间的交集也是一个子空间。

证明。让在1和在2是的子空间(在,+,⋅). 我们将证明在1和在2在标量乘法和向量加法下是非空且闭合的。为了表明在1∩在2是非空的,我们注意到因为两者在1和在2包含零向量,所以也是在1∩在2.

现在,让在和在成为元素在1∩在2然后让一个是一个标量。自从在1和在2在加法和标量乘法下是封闭的,我们知道一个⋅在+在也在两者中在1和在2. 那是,一个⋅在+在在在1∩在2, 所以由推论2.5.6在1∩在2在加法和标量乘法下闭合。
因此,由推论2.5.4,在1∩在2是一个子空间(在,+,⋅).
一个重要的例子涉及齐次方程的解,我们在例 2.4.12 中首先考虑了它。

示例 2.5.19 中的单个齐次方程的解集n变量是一个子空间Rn(参见示例 2.4.12)。由定理 2.5.18,任意解集的交集ķ齐次方程n变量也是Rn.

换句话说,如果一个线性方程组仅由齐次方程组成,则解集形成一个子空间Rn. 这是一个如此重要的结果,我们将其从例子推广到定理。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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