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组合优化是处于组合学和理论计算机科学前沿的一个新兴领域，旨在使用组合技术解决离散优化问题。离散优化问题旨在从一个有限的可能性集合中确定可能的最佳解决方案。
组合优化是数学优化的一个子领域，包括从一个有限的对象集合中找到一个最佳对象，其中可行的解决方案的集合是离散的或可以减少到一个离散集合。典型的组合优化问题是旅行推销员问题（”TSP”）、最小生成树问题（”MST”）和结囊问题。在许多这样的问题中，如前面提到的问题，穷举搜索是不可行的，因此必须采用能迅速排除大部分搜索空间的专门算法或近似算法来代替。
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数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Box-TDIness in Series-Parallel Graphs
Totally dual integral systems – introduced in the late 70 ‘s – are strongly connected to min-max relations in combinatorial optimization (Schrijver, 1998). A rational system of linear inequalities $A x \geq b$ is totally dual integral (TDI) if the maximization problem in the linear programming duality:
$$
\min \left{c^{\top} x: A x \geq b\right}=\max \left{b^{\top} y: A^{\top} y=c, y \geq \mathbf{0}\right}
$$
admits an integer optimal solution for each integer vector $c$ such that the optimum is finite. Every rational polyhedron can be described by a TDI system (Giles and Pulleyblank, 1979). For instance, $\frac{1}{q} A x \geq \frac{1}{q} b$ is TDI for some positive $q$.
However,
only integer polyhedra can be described by TDI systems with integer right-hand side (Edmonds and Giles, 1984). TDI systems with only integer coefficients yield min-max results that have combinatorial interpretation.
A stronger property is the box-total dual integrality, where a system $A x \geq b$ is box-totally dual integral (box-TDI) if $A x \geq b, \ell \leq x \leq u$ is TDI for all rational vectors $\ell$ and $u$ (possibly with infinite components). General properties of such systems can be found in (Cook, 1986) and Chapter $22.4$ of (Schrijver, 1998). Note that, although every rational polyhedron ${x: A x \geq b}$ can be described by a TDI system, not every polyhedron can be described by a box-TDI system. A polyhedron which can be described by a box-TDI system is called a boxTDI polyhedron. As proved by Cook (1986), every TDI system describing such a polyhedron is actually box-TDI.
Recently, several new box-TDI systems were exhibited. Chen et al. (2008) characterized box-Mengerian matroid ports. Ding et al. (2017) characterized the graphs for which the TDI system of Cunningham and Marsh (1978) describing the matching polytope is actually box-TDI. Ding et al. (2018) introduced new subclasses of box-perfect graphs. Cornaz et al. (2019) provided several box-TDI systems in series-parallel graphs. For these graphs, Barbato et al. (2020) gave the box-TDI system for the flow cone having integer coefficients and the minimum number of constraints. Chen et al. (2009) provided a box-TDI system describing the 2-edge-connected spanning subgraph polyhedron for the same class of graphs.
In this paper, we are interested in integrality properties of systems related to $k$-edge-connected spanning subgraphs. Given a positive integer $k$, a $k$-edgeconnected spanning subgraph of a connected graph $G=(V, E)$ is a connected graph $H=(V, F)$, with $F$ a family of elements of $E$, that remains connected after the removal of any $k-1$ edges.
These objects model a kind of failure resistance of telecommunication networks. More precisely, they represent networks which remain connected when $k-1$ links fail. The underlying network design problem is the $k$-edge-connected spanning subgraph problem ( $k$-ECSSP): given a graph $G$, and positive edge costs, find a $k$-edge-connected spanning subgraph of $G$ of minimum cost. Special cases of this problem are related to classic combinatorial optimization problems. The 2-ECSSP is a well-studied relaxation of the traveling salesman problem (Erickson et al. 1987) and the 1-ECSSP is nothing but the well-known minimum spanning tree problem. While this latter is polynomial-time solvable, the $k$-ECSSP is NPhard for every fixed $k \geq 2$ (Garey and Johnson, 1979).
Different algorithms have been devised in order to deal with the $k$-ECSSP. Notable examples are branch-and-cut procedures (Cornaz et al. 2014), approximation algorithms (Gabow et al. 2009), Cutting plane algorithms Grötschel et al. (1992), and heuristics (Clarke and Anandalingam, 1995). Winter (1986) introduced a linear-time algorithm solving the 2-ECSSP on series-parallel graphs. Most of these algorithms rely on polyhedral considerations.
The $k$-edge-connected spanning subgraph polyhedron of $G$, hereafter denoted by $P_{k}(G)$, is the convex hull of all the $k$-edge-connected spanning subgraphs of $G$. Cornuéjols et al. (1985) gave a system describing $P_{2}(G)$ for series-parallel graphs.
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Definitions and Preliminary Results
Let $G=(V, E)$ be a loopless undirected graph. The graph $G$ is 2-connected if it remains connected whenever a vertex is removed. A 2-connected graph is called trivial if it is composed of a single edge. The graph obtained from two disjoint graphs by identifying two vertices, one of each graph, is called a 1 -sum. A subset of edges of $G$ is called a circuit if it induces a connected graph in which every vertex has degree 2 . Given a subset $U$ of $V$, the cut $\delta(U)$ is the set of edges having exactly one endpoint in $U$. A bond is a minimal nonempty cut. Given a partition $\left{V_{1}, \ldots, V_{n}\right}$ of $V$, the set of edges having endpoints in two distinct $V_{i}$ ‘s is called multicut and is denoted by $\delta\left(V_{1}, \ldots, V_{n}\right)$. We denote respectively by $\mathcal{M}{G}$ and $\mathcal{B}{G}$ the set of multicuts and the set of bonds of $G$. For every multicut $M$, there exists a unique partition $\left{V_{1}, \ldots, V_{d_{M}}\right}$ of vertices of $V$ such that $M=\delta\left(V_{1}, \ldots, V_{d_{M}}\right)$, and $G\left[V_{i}\right]$ – the graph induced by the vertices of $V_{i}$-is connected for all $i=1, \ldots, d_{M}$; we say that $d_{M}$ is the order of $M$.
We denote the symmetric difference of two sets $S$ and $T$ by $S \Delta T$. It is well-known that the symmetric difference of two cuts is a cut.
We denote by $K_{n}$ the complete graph on $n$ vertices, that is, the simple graph with $n$ vertices and one edge between each pair of distinct vertices.
A graph is series-parallel if its 2-connected components can be constructed from an edge by repeatedly adding edges parallel to an existing one, and subdividing edges, that is, replacing an edge by a path of length two. Duffin (1965) showed that series-parallel graphs are those having no $K_{4}$-minor. By construction, simple nontrivial 2-connected series-parallel graphs have at least one vertex of degree 2 .
Proposition 1. For a simple nontrivial 2-connected series-parallel graph, at least one of the following holds:
(a) two vertices of degree 2 are adjacent,
(b) a vertex of degree 2 belongs to a circuit of length 3,
(c) two vertices of degree 2 belong to a same circuit of length 4 .
Proof. We proceed by induction on the number of edges. The base case is $K_{3}$ for which (a) holds.
Let $G$ be a simple 2-connected series-parallel graph such that for every simple, 2-connected series-parallel graph with fewer edges at least one among (a), (b), and (c) holds. Since $G$ is simple, it can be built from a graph $H$ by subdividing an edge $e$ into a path $f, g$. Let $v$ be the vertex of degree 2 added with this operation. By the induction hypothesis, either $H$ is not simple, or one among (a), (b), and (c) holds for $H$.
Let first suppose that $H$ is not simple, then, by $G$ being simple, $e$ is parallel to exactly one edge $e_{0}$. Hence, $e_{0}, f, g$ is a circuit of $G$ length 3 containing $v$, hence (b) holds for $G$.
From now on, suppose that $H$ is simple. If (a) holds for $H$, then it holds for $G$.
Suppose that (b) holds for $H$, that is, in $H$ there exists a circuit $C$ of length 3 containing a vertex $w$ of degree 2 . Without loss of generality, we suppose that
$e \in C$, as otherwise (b) holds for $G$. By subdividing $e$, we obtain a circuit of length 4 containing $v$ and $w$, and hence (c) holds for $G$.
At last, suppose that (c) holds for $H$, that is, $H$ has a circuit $C$ of length 4 containing two vertices of degree 2. Without loss of generality, we suppose that $e \in C$, as otherwise (c) holds for $G$. By subdividing $e$, we obtain a circuit of length 5 containing three vertices of degree 2 . Then, at least two of them are adjacent, and so (a) holds for $G$.
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Box-Total Dual Integrality
Let $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ be a full row rank matrix. This matrix is equimodular if all its $m \times m$ non-zero determinants have the same absolute value. The matrix $A$ is face-defining for a face $F$ of a polyhedron $P \subseteq \mathbb{R}^{n}$ if aff $(F)=\left{x \in \mathbb{R}^{n}: A x=b\right}$ for some $b \in \mathbb{R}^{m}$. Such matrices are the face-defining matrices of $P$.
Theorem 1 (Chervet et al. (2020)). Let P be a polyhedron, then the following statements are equivalent:
(i) $P$ is box-TDI.
(ii) Every face-defining matrix of $P$ is equimodular.
(iii) Every face of $P$ has an equimodular face-defining matrix.
The equivalence of conditions (ii) and (iii) stems from the following observation.
Observation 1 (Chervet et al. (2020)). Let $F$ be a face of a polyhedron. If a face-defining matrix of $F$ is equimodular, then so are all face-defining matrices of $F$.
Observation 2. Let $A \in \mathbb{R}^{I \times J}$ be a full row rank matrix, $j \in J$, c be a column of $A$, and $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{I}$. If $A$ is equimodular, then so are:
(i) $[A \mathbf{c}]$,
(ii) $\left[\begin{array}{c}A \ \pm \chi^{j}\end{array}\right]$ if it is full row rank,
(iii) $\left[\begin{array}{cc}A & \mathbf{v} \ \mathbf{0}^{\top} & \pm 1\end{array}\right]$
and (iv) $\left[\begin{array}{cc}A & 0 \ \pm \chi^{j} & \pm 1\end{array}\right]$
Observation 3 (Chervet et al. (2020)). Let $P \subseteq \mathbb{R}^{n}$ be a polyhedron and let $F={x \in P: B x=b}$ be a face of $P$. If $B$ has full row rank and $n-\operatorname{dim}(F)$ rows, then $B$ is face-defining for $F$.
组合优化代写
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Box-TDIness in Series-Parallel Graphs
70 年代后期引入的完全对偶积分系统与组合优化中的最小-最大关系密切相关（Schrijver，1998 年）。线性不等式的合理系统一种X≥b如果线性规划对偶中的最大化问题是完全对偶积分 (TDI)：
\min \left{c^{\top} x: A x \geq b\right}=\max \left{b^{\top} y: A^{\top} y=c, y \geq \mathbf {0}\右}\min \left{c^{\top} x: A x \geq b\right}=\max \left{b^{\top} y: A^{\top} y=c, y \geq \mathbf {0}\右}
承认每个整数向量的整数最优解C使得最优是有限的。每个有理多面体都可以用 TDI 系统来描述（Giles 和 Pulleyblank，1979）。例如，1q一种X≥1qb是 TDI 为一些积极的q.
然而，
只有整数多面体可以用整数右手边的 TDI 系统来描述（Edmonds 和 Giles，1984）。只有整数系数的 TDI 系统产生具有组合解释的最小-最大结果。
一个更强的属性是box-total对偶完整性，其中一个系统一种X≥b是盒全对偶积分 (box-TDI) 如果一种X≥b,ℓ≤X≤在是所有有理向量的 TDIℓ和在（可能具有无限分量）。此类系统的一般性质可在 (Cook, 1986) 和章节中找到22.4(Schrijver, 1998)。注意，虽然每个有理多面体X:一种X≥b可以用 TDI 系统来描述，并不是每个多面体都可以用 box-TDI 系统来描述。可以用box-TDI系统描述的多面体称为boxTDI多面体。正如 Cook (1986) 所证明的，每个描述这种多面体的 TDI 系统实际上都是 box-TDI。
最近，展出了几款新的box-TDI系统。陈等人。（2008）表征了box-Mengerian拟阵端口。丁等人。（2017）描述了描述匹配多面体的 Cunningham 和 Marsh（1978）的 TDI 系统实际上是 box-TDI 的图。丁等人。（2018）引入了完美框图的新子类。康纳兹等人。（2019）在串并图中提供了几个box-TDI系统。对于这些图表，Barbato 等人。(2020) 给出了具有整数系数和最小约束数量的流锥的 box-TDI 系统。陈等人。(2009) 提供了一个 box-TDI 系统，描述了同一类图的 2 边连接的跨越子图多面体。
在本文中，我们对相关系统的完整性属性感兴趣ķ-边连接的跨越子图。给定一个正整数ķ， 一种ķ-edgeconnected 连通图的跨越子图G=(在,和)是一个连通图H=(在,F)， 和F元素族和，在删除任何内容后仍保持连接ķ−1边缘。
这些对象模拟了电信网络的一种故障抵抗力。更准确地说，它们代表了在以下情况下保持连接的网络ķ−1链接失败。底层网络设计问题是ķ-边连接的跨越子图问题（ķ-ECSSP): 给定一个图G和正边际成本，找到一个ķ- 边连接的跨越子图G最低成本。这个问题的特殊情况与经典的组合优化问题有关。2-ECSSP 是旅行商问题 (Erickson et al. 1987) 的一个经过充分研究的松弛，而 1-ECSSP 只不过是众所周知的最小生成树问题。虽然后者是多项式时间可解的，但ķ-ECSSP 是每个固定的 NPhardķ≥2（加里和约翰逊，1979 年）。
已经设计了不同的算法来处理ķ-ECSSP。值得注意的例子是分支和切割程序 (Cornaz et al. 2014)、近似算法 (Gabow et al. 2009)、切割平面算法 Grötschel et al. （1992 年）和启发式方法（Clarke 和 Anandalingam，1995 年）。Winter (1986) 介绍了一种线性时间算法，用于解决串并行图上的 2-ECSSP。这些算法中的大多数都依赖于多面体考虑。
这ķ-边连接的跨越子图多面体G, 以下记为磷ķ(G), 是所有的凸包ķ-边连接的跨越子图G. Cornuéjols 等人。(1985) 给出了一个系统描述磷2(G)对于串并图。
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Definitions and Preliminary Results
让G=(在,和)是一个无环无向图。图表G如果在移除顶点时它保持连接，则它是 2-连接的。如果 2 连通图由一条边组成，则称为平凡图。通过识别两个顶点（每个图一个）从两个不相交的图获得的图称为 1 -sum。边的子集G如果它导出一个连通图，其中每个顶点的度数为 2 ，则称为电路。给定一个子集在的在， 那个切口d(在)是具有恰好一个端点的边的集合在. 债券是最小的非空削减。给定一个分区\left{V_{1}, \ldots, V_{n}\right}\left{V_{1}, \ldots, V_{n}\right}的在, 具有两个不同端点的边集在一世’s 称为 multicut 并表示为d(在1,…,在n). 我们分别表示为米G和乙G多割集和键集G. 对于每个多切米, 存在唯一的分区\left{V_{1}, \ldots, V_{d_{M}}\right}\left{V_{1}, \ldots, V_{d_{M}}\right}的顶点在这样米=d(在1,…,在d米)， 和G[在一世]– 由顶点诱导的图在一世- 为所有人连接一世=1,…,d米; 我们说d米是顺序米.
我们表示两组的对称差小号和吨经过小号Δ吨. 众所周知，两个割的对称差是割。
我们表示ķn完整的图表n顶点，即简单图n顶点和每对不同顶点之间的一条边。
如果可以通过重复添加与现有边平行的边并细分边（即用长度为 2 的路径替换边）从边构造其 2 个连接的组件，则该图是串并行的。Duffin (1965) 表明，串并图是那些没有ķ4-次要的。通过构造，简单的非平凡 2 连通串并图至少有一个度数为 2 的顶点。
命题 1. 对于一个简单的非平凡 2 连通串并联图，至少有以下一项成立：
（a）两个 2 次顶点相邻，
（b）一个 2 次顶点属于长度为 3 的回路，
(c) 两个度数为 2 的顶点属于长度为 4 的同一回路。
证明。我们通过对边数的归纳来进行。基本情况是ķ3(a) 成立。
让G是一个简单的 2 连通串并图，使得对于每个具有较少边的简单 2 连通串并图，至少有一个在 (a)、(b) 和 (c) 中成立。自从G很简单，可以从图构建H通过细分一条边和进入一条路径F,G. 让在是通过此操作添加的度数为 2 的顶点。根据归纳假设，要么H不是简单的，或者 (a)、(b) 和 (c) 之一成立H.
首先假设H不简单，那么，由G简单，和正好平行于一条边和0. 因此，和0,F,G是一个电路G长度 3 包含在, 因此 (b) 成立G.
从现在开始，假设H很简单。如果 (a) 成立H, 那么它成立G.
假设 (b) 成立H，也就是说，在H存在电路C长度为 3 的包含一个顶点在2 级。不失一般性，我们假设
和∈C, 否则 (b) 成立G. 通过细分和，我们得到一个长度为 4 的电路，其中包含在和在, 因此 (c) 成立G.
最后，假设 (c) 成立H， 那是，H有电路C长度为 4，包含两个度数为 2 的顶点。不失一般性，我们假设和∈C, 否则 (c) 成立G. 通过细分和，我们得到一个长度为 5 的电路，其中包含三个度数为 2 的顶点。然后，它们中至少有两个是相邻的，因此 (a) 成立G.
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Box-Total Dual Integrality
让一种∈R米×n是一个完整的行秩矩阵。这个矩阵是等模的，如果它的所有米×米非零行列式具有相同的绝对值。矩阵一种是为一张脸而定义的F多面体的磷⊆Rn如果(F)=\left{x \in \mathbb{R}^{n}: A x=b\right}(F)=\left{x \in \mathbb{R}^{n}: A x=b\right}对于一些b∈R米. 这样的矩阵是人脸定义矩阵磷.
定理 1（Chervet 等人（2020））。设 P 为多面体，则下列语句等价：
(i)磷是box-TDI。
(ii) 每个人脸定义矩阵磷是等模的。
(iii) 每一张脸磷具有等模人脸定义矩阵。
条件 (ii) 和 (iii) 的等价性源于以下观察。
观察 1（Chervet 等人（2020））。让F成为多面体的面。如果一个人脸定义矩阵F是等模的，那么所有的人脸定义矩阵也是F.
观察 2. 让一种∈R一世×Ĵ是一个完整的行秩矩阵，j∈Ĵ, c 是一列一种， 和在∈R一世. 如果一种是等模的，那么：
(i)[一种C],
(ii)[一种 ±χj]如果它是全行排名，
（iii）[一种在 0⊤±1]
(iv)[一种0 ±χj±1]
观察 3（Chervet 等人（2020））。让磷⊆Rn是一个多面体，让F=X∈磷:乙X=b做一个面孔磷. 如果乙具有完整的行秩和n−暗淡(F)行，然后乙是面子定义的F.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。