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组合优化是处于组合学和理论计算机科学前沿的一个新兴领域，旨在使用组合技术解决离散优化问题。离散优化问题旨在从一个有限的可能性集合中确定可能的最佳解决方案。
组合优化是数学优化的一个子领域，包括从一个有限的对象集合中找到一个最佳对象，其中可行的解决方案的集合是离散的或可以减少到一个离散集合。典型的组合优化问题是旅行推销员问题（”TSP”）、最小生成树问题（”MST”）和结囊问题。在许多这样的问题中，如前面提到的问题，穷举搜索是不可行的，因此必须采用能迅速排除大部分搜索空间的专门算法或近似算法来代替。
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数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Preliminaries
The main result of this paper is the following theorem.
Theorem 2. Let $G=(V, A)$ be a directed graph, then $P C_{p}(G)$ is integral for any integer $p$ if and only if
(C1) it does not contain as a subgraph any of the graphs $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}, H_{5}$, $H_{6}$ of Fig. 1, and
(C2) it does not contain a non-directed $g$-odd $Y$-cycle $C$ with an arc $(u, v)$ with both $u$ and $v$ not in $V(C)$.
Given a directed graph $G=(V, A)$, a subgraph induced by the nodes $v_{1}, \ldots, v_{r}$ of $D$ is called a bidirected cycle if the only arcs in this induced subgraph are $\left(v_{i}, v_{i+1}\right)$ and $\left(v_{i+1}, v_{i}\right)$, for $i=1, \ldots, r$, with $v_{r+1}=v_{1}$. We denote it by $B I C_{r}$.
For a directed graph $G=(V, A)$ and an arc $(u, v) \in A$, define $G(u, v)$ to be the graph obtained by removing $(u, v)$ from $G$, and adding a new arc $\left(u, v^{\prime}\right)\left(v^{\prime}\right.$ is a new pendent node). The rest of this section is devoted to definitions with respect to a feasible point in $P C_{p}(G)$.
Definition 3. A vector $(x, y) \in \mathbb{R}^{|A|+|V|}$ will be denoted by $z$, i.e., $z(u)=y(u)$ for all $u \in V$ and $z(u, v)=x(u, v)$ for all $(u, v) \in A$. Given a vector $z$ and $a$ labeling function $l: V \cup A \rightarrow{-1,0,1}$, we define a new vector $z_{l}$ from $z$ as follows:
$$
\begin{gathered}
z_{l}(u)=z(u)+l(u) \epsilon, \text { for all } u \in V, \text { and } \
z_{l}(u, v)=z(u, v)+l(u, v) \epsilon, \text { for all }(u, v) \in A
\end{gathered}
$$
where $\epsilon$ is a sufficiently small positive scalar. When we assign labels to some nodes and arcs without specifying the labels of the remaining nodes and arcs, it means that they are assigned the label zero.
Definition 4. When dealing with a vector $z \in P C_{p}(G)$, we say that the arc $(u, v)$ is tight if $z(u, v)=z(v)$. Also we say that an odd directed cycle $C$ is tight if $z(A(C))=(|A(C)|-1) / 2$.
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|The Proof of Theorem 2
We will sketch quickly the necessity part of the proof. With each of the graphs $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ and $H_{6}$ in Fig. 1 we show a fractional extreme point of $P C_{3}(G)$ when $G$ is restricted to these graphs. The graphs $H_{4}$ and $H_{5}$ show an extreme point of $P C_{2}(G)$. The numbers near the nodes correspond to $y$ variables. The $x$ variables take the value $\frac{1}{2}$ for $H_{1}, H_{2}$ and $H_{4}$. For the graphs $H_{3}, H_{5}$ and $H_{6}$ the arcs take the value $\frac{1}{3}$, except the arc in the right in $H_{6}$ that takes the value $\frac{2}{3}$.
To prove necessity we just have to notice that the extreme points for the subgraphs $H_{i}$, for $i=1, \ldots, 6$, in Fig. 1 may be extended to extreme points for any graph containing these subgraphs by setting each remaining node variable to one and each remaining arc variable to zero. For condition (C2) when the graph contains a non-directed g-odd $Y$-cycle $C$ with an arc $(u, v)$ having both nodes $u$ and $v$ not in $C$, we construct an extreme point of $P C(G)$ where $p=$ $\frac{|C|+|C|+1}{2}+|V|-|V(C)|-1$ as follows. All the nodes in $C$ take the value 0 , the nodes in $\bar{C}$ and $\hat{C}$ with the node $u$ take the value $\frac{1}{2} ;$ all the arcs in $C$ with $(u, v)$ take the value $\frac{1}{2}$. All other nodes take the value 1 and the other arcs take the value 0, except for each unique arc leaving each node in $\hat{C}$ (see the definition of a $Y$-cycle) they take the value $\frac{1}{2}$. One way to see that these are indeed extreme points is to start adding $\epsilon$ to one of the components and try to keep satisfying as equation the same constraints that the original vector satisfies as equation. First we conclude that we have to add or subtract $\epsilon$ to other components and this leads to the violation of Eq. (1) or to the impossibility of keeping tight the inequality that are satisfied as equation.
The rest of this section is devoted to the sufficiency part. Denotes by Pair $(G)$ the set of pair of nodes ${u, v}$ such that both arcs $(u, v)$ and $(v, u)$ exist. The proof of this theorem will be done by induction on the number of $|P a i r(G)|$. This result has been proved in [3] for oriented graphs, that is when $|P a i r(G)|=0$. This case is the starting point of the induction. Assume that Theorem 2 is true for any directed graph $H$ with $|P a i r(H)| \leq m$ and let us show that it holds for any directed graph $G$ with $|\operatorname{Pair}(G)|=m+1$. Let $G=(V, A)$ be a directed graph with $|P a i r(G)|=m+1 \geq 1$ satisfying conditions (C1) and (C2) of Theorem 2. Suppose the contrary, that is $P C_{p}(G)$ is not integral. Let $\bar{z}$ be a fractional extreme point of $P C_{p}(G)$. Next we will give some useful lemmas and then in Subsect. $3.1$ and $3.2$ the proof is completed. In Subsect. $3.1$ we show the theorem when there is no g-odd $Y$-cycle and in Subsect. $3.2$ we complete the proof when such a cycle exists.
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|G Does Not Contain a Non-directed g-Odd Y -Cycle
When we have two arcs $(u, v)$ and $(v, u)$, from Lemma 3, the graph $G(u, v)$ satisfies condition (C1), which is not the case for condition (C2), even when $G$ does not contain a non-directed g-odd $Y$-cycle. For example we may have a g-odd cycle $C$ which is not a Y-cycle and an arc $(s, t)$ with both $s$ and $t$ not in $V(C)$. Now if we have an arc $(u, v)$ in $A(C)$ and $(v, u) \in A \backslash A(C)$, and if $v \in \hat{C}$ and $u \in C$ this same cycle may become a Y-cycle in $G(v, u)$ and so with the arc $(s, t)$ condition $(\mathrm{C} 2)$ is violated.
Next we will show that we may always find a pair of $\operatorname{arcs}(u, v)$ and $(v, u)$ where at least one of the graphs $G(u, v)$ or $G(v, u)$ satisfies (C2).
Lemma 8. Let $P=v_{1}, \ldots, v_{k}$ a maximal bidirected path, different from a bidirected cycle. We have the following
(i) If $G\left(v_{k}, v_{k-1}\right)$ contains a non-directed $g$-odd $Y$-cycle $C$, then the unique arc leaving $v_{k}$ is $\left(v_{k}, v_{k-1}\right)$,
(ii) If $G\left(v_{k-1}, v_{k}\right)$ contains a non-directed $g$-odd $Y$-cycle $C$, then there is at most one another arc leaving $v_{k-1}$ which is $\left(v_{k-1}, v_{k-2}\right)$.
Let $P=v_{1}, \ldots, v_{k}$ be a maximal bidirected path. From Lemma 4 the extremities of $P$ cannot coincide, that is $P$ is not a bidirected cycle. We will treat two cases (1) none of the arcs $\left(v_{k-1}, v_{k}\right)$ and $\left(v_{k}, v_{k-1}\right)$ belong to an odd directed cycle tight for $\bar{z}$ and of size at least five, (2) at least one of these arcs belong to such a cycle.
Case 1. None of the arcs $\left(v_{k-1}, v_{k}\right)$ and $\left(v_{k}, v_{k-1}\right)$ belong to an odd directed cycle of size at least five. From the lemma above it is easy to see that at least one of the graphs $G\left(v_{k}, v_{k-1}\right)$ or $G\left(v_{k-1}, v_{k}\right)$ does not contain a g-odd $Y$-cycle. In fact, assume that both graphs contain a g-odd $Y$-cycle. When $G\left(v_{k-1}, v_{k}\right)$ contains a g-odd $Y$-cycle $C$, we must have $v_{k} \in \dot{C}$. But this is impossible since Lemma 8 (i) implies that $\left(v_{k}, v_{k-1}\right)$ is the unique arc leaving $v_{k}$. Therefore, we only need to treat the following three cases, ordered as follows.
组合优化代写
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Preliminaries
本文的主要结果是以下定理。
定理 2. 让G=(在,一种)是有向图，那么磷Cp(G)对任何整数都是整数p当且仅当
(C1) 它不包含任何图作为子图H1,H2,H3,H4,H5, H6图 1 和
(C2) 它不包含非定向G-奇怪的是-循环C带弧线(在,在)既在和在不在在(C).
给定一个有向图G=(在,一种)，由节点诱导的子图在1,…,在r的D如果这个诱导子图中的唯一弧是(在一世,在一世+1)和(在一世+1,在一世)， 为了一世=1,…,r， 和在r+1=在1. 我们将其表示为乙一世Cr.
对于有向图G=(在,一种)和一个弧(在,在)∈一种， 定义G(在,在)是通过去除得到的图(在,在)从G, 并添加一个新的弧(在,在′)(在′是一个新的挂起节点）。本节的其余部分将专门讨论关于可行点的定义磷Cp(G).
定义 3. 一个向量(X,是)∈R|一种|+|在|将表示为和， IE，和(在)=是(在)对全部在∈在和和(在,在)=X(在,在)对全部(在,在)∈一种. 给定一个向量和和一种标注功能l:在∪一种→−1,0,1，我们定义一个新的向量和l从和如下：
和l(在)=和(在)+l(在)ε, 对全部 在∈在, 和 和l(在,在)=和(在,在)+l(在,在)ε, 对全部 (在,在)∈一种
在哪里ε是一个足够小的正标量。当我们为一些节点和弧分配标签而不指定其余节点和弧的标签时，这意味着它们被分配了标签零。
定义 4. 处理向量时和∈磷Cp(G)，我们说弧(在,在)紧如果和(在,在)=和(在). 我们也说奇数有向循环C紧如果和(一种(C))=(|一种(C)|−1)/2.
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|The Proof of Theorem 2
我们将快速勾勒出证明的必要性部分。与每个图表H1,H2,H3和H6在图 1 中，我们展示了一个分数极值点磷C3(G)什么时候G仅限于这些图表。图表H4和H5显示一个极值点磷C2(G). 节点附近的数字对应于是变量。这X变量取值12为了H1,H2和H4. 对于图表H3,H5和H6弧线取值13, 除了右边的圆弧H6取值23.
为了证明必要性，我们只需要注意子图的极值点H一世， 为了一世=1,…,6，在图 1 中，可以通过将每个剩余的节点变量设置为 1 并将每个剩余的弧变量设置为零来将包含这些子图的任何图扩展到极值点。对于条件（C2），当图包含一个无向奇数时是-循环C带弧线(在,在)拥有两个节点在和在不在C，我们构造一个极值点磷C(G)在哪里p= |C|+|C|+12+|在|−|在(C)|−1如下。中的所有节点C取值 0 ，节点在C¯和C^与节点在取值12;所有的弧线C和(在,在)取值12. 所有其他节点取值 1，其他弧取值 0，除了每个唯一的弧将每个节点留在C^（见定义是-cycle）他们取值12. 看到这些确实是极端点的一种方法是开始添加ε到其中一个分量，并尝试保持满足原始向量作为方程满足的相同约束。首先我们得出结论，我们必须加或减ε到其他组件，这导致违反方程式。(1) 或对作为等式满足的不等式不能保持紧密。
本节的其余部分专门讨论充分性部分。按对表示(G)节点对的集合在,在这样两个弧(在,在)和(在,在)存在。这个定理的证明将通过对数的归纳来完成|磷一种一世r(G)|. 这个结果已经在 [3] 中被证明用于有向图，即当|磷一种一世r(G)|=0. 这个案例是归纳的起点。假设定理 2 对于任何有向图都是正确的H和|磷一种一世r(H)|≤米让我们证明它适用于任何有向图G和|一对(G)|=米+1. 让G=(在,一种)是一个有向图|磷一种一世r(G)|=米+1≥1满足定理2的条件（C1）和（C2）。假设相反，即磷Cp(G)不是整数。让和¯是分数极值点磷Cp(G). 接下来我们将给出一些有用的引理，然后在 Subsect 中。3.1和3.2证明完成。在小节。3.1我们在没有 g-odd 时展示这个定理是-cycle 和 Subsect。3.2当这样的循环存在时，我们完成了证明。
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|G Does Not Contain a Non-directed g-Odd Y -Cycle
当我们有两条弧线时(在,在)和(在,在)，从引理 3，图G(在,在)满足条件 (C1)，而条件 (C2) 则不满足，即使当G不包含非定向奇数是-循环。例如，我们可能有一个奇数循环C这不是 Y 循环和圆弧(s,吨)既s和吨不在在(C). 现在如果我们有一个弧(在,在)在一种(C)和(在,在)∈一种∖一种(C)， 而如果在∈C^和在∈C这个相同的周期可能会变成一个 Y 周期G(在,在)弧线也是如此(s,吨)（健康）状况(C2)被违反。
接下来我们将证明我们可能总是找到一对弧线(在,在)和(在,在)其中至少有一张图G(在,在)或者G(在,在)满足（C2）。
引理 8. 让磷=在1,…,在ķ最大双向路径，不同于双向循环。我们有以下
(一) 如果G(在ķ,在ķ−1)包含一个非定向G-奇怪的是-循环C，则唯一弧离开在ķ是(在ķ,在ķ−1),
(ii) 如果G(在ķ−1,在ķ)包含一个非定向G-奇怪的是-循环C, 那么最多有一个弧离开在ķ−1这是(在ķ−1,在ķ−2).
让磷=在1,…,在ķ是一条最大的双向路径。从引理 4 的末端磷不能重合，即磷不是双向循环。我们将处理两种情况 (1) 没有弧(在ķ−1,在ķ)和(在ķ,在ķ−1)属于一个奇数有向循环紧和¯并且大小至少为五，（2）这些弧中的至少一个属于这样的循环。
案例 1. 没有弧(在ķ−1,在ķ)和(在ķ,在ķ−1)属于大小至少为 5 的奇数有向循环。从上面的引理很容易看出，至少有一张图G(在ķ,在ķ−1)或者G(在ķ−1,在ķ)不包含奇数是-循环。事实上，假设两个图都包含一个 g-odd是-循环。什么时候G(在ķ−1,在ķ)包含一个奇数是-循环C, 我们必须有在ķ∈C˙. 但这是不可能的，因为引理 8 (i) 暗示(在ķ,在ķ−1)是唯一的弧离开在ķ. 因此，我们只需要处理以下三种情况，顺序如下。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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