数学代写|编码理论代写Coding theory代考|COMP2610

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|COMP2610

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Irreducible Cyclic Codes

Let $\mathcal{C}(q, n, i)$ denote the cyclic code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with parity check polynomial $M{\alpha^{i}}(x)$, which is the minimal polynomial of $\alpha^{i}$ over $\mathbb{F}{q}$, and where $\alpha$ is a primitive $n^{\text {th }}$ root of unity over an extension field of $\mathbb{F}{q}$. These $\mathcal{C}(q, n, i)$ are called irreducible cyclic codes. Since the ideals $\left\langle\left(x^{n}-1\right) / M_{\alpha^{i}}(x)\right\rangle$ of $\mathcal{R}{(n, q)}$ are minimal, these $\mathcal{C}(q, n, i)$ are also called minimal cyclic codes. By Theorem 2.3.5, $\mathcal{C}(q, n, i)$ has the following trace representation: $$ \mathcal{C}(q, n, i)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{m_{i}} / q}\left(a \beta^{0}\right), \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}(a \beta), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}\left(a \beta^{n-1}\right)\right) \mid a \in \mathbb{F}{q^{m{i}}}\right},
$$
where $\beta=\alpha^{-i} \in \mathbb{F}{q^{m{i}}}$ and $m_{i}=\left|C_{i}\right|$.
Example 2.5.1 Let $n=\left(q^{m}-1\right) /(q-1)$ and $\alpha=\gamma^{q-1}$, where $\gamma$ is a generator of $\mathbb{F}_{q^{m}}^{*}$. If $\operatorname{gcd}(q-1, m)=1$, then $\mathcal{C}(q, n, 1)$ has parameters $\left[n, m, q^{m-1}\right]$ and is equivalent to the simplex code whose dual is the Hamming code. Hence, when $\operatorname{gcd}(q-1, m)=1$, the Hamming code is equivalent to a cyclic code.

Example 2.5.2 The celebrated Golay codes introduced in Section $1.13$ are also irreducible cyclic codes and the binary $[24,12,8]$ extended Golay code was used on the Voyager 1 and Voyager 2 missions to Jupiter, Saturn, and their moons.

By definition, the dimension of $\mathcal{C}(q, n, i)$ equals $\operatorname{deg}\left(M_{\alpha^{i}}(x)\right)$, which is a divisor of $m:=\operatorname{ord}_{n}(q)$. The determination of the weight enumerators of irreducible cyclic codes is equivalent to the evaluation of Gaussian periods, which is extremely difficult in general. However, in a small number of cases, the weight enumerator of some irreducible cyclic codes is known. One-weight, two-weight and three-weight irreducible cyclic codes exist. It is in general hard to determine the minimum distance of an irreducible cyclic code. A lower bound on the minimum distances of irreducible cyclic codes has been developed. The reader is referred to $[568]$ for detailed information.

Irreducible cyclic codes are very important for many reasons. First of all, every cyclic code is the direct sum of a number of irreducible cyclic codes. Secondly, the automorphism group of some irreducible codes (Golay codes) has high transitivity. Thirdly, some irreducible codes can be employed to construct maximal arcs, elliptic quadrics (ovoids), inversive planes, and $t$-designs. Hence, irreducible cyclic codes are closely related to group theory, finite geometry and combinatorics. In addition, irreducible cyclic codes also have a number of applications in engineering.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|BCH Codes and Their Properties

BCH codes are a subclass of cyclic codes with special properties and are important in both theory and practice. Experimental data shows that binary and ternary BCH codes of certain lengths are the best cyclic codes in almost all cases; see [549, Appendix A]. BCH codes were briefly introduced in Section 1.14. This section treats BCH codes further and summarizes their basic properties.

Let $\delta$ be an integer with $2 \leq \delta \leq n$ and let $b$ be an integer. A BCH code over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$ and designed distance $\delta$, denoted by $\mathcal{C}{(q, n, \delta, b)}$, is a cyclic code with defining set
$$
T(b, \delta)=C_{b} \cup C_{b+1} \cup \cdots \cup C_{b+\delta-2}
$$
relative to the primitive $n^{\text {th }}$ root of unity $\alpha$, where $C_{i}$ is the $q$-cyclotomic coset modulo $n$ containing $i$.

When $b=1$, the code $\mathcal{C}{(q, n, \delta, b)}$ with defining set in (2.2) is called a narrow-sense BCH code. If $n=q^{m}-1$, then $\mathcal{C}{(q, n, \delta, b)}$ is referred to as a primitive BCH code. The Reed-Solomon code introduced in Section $1.14$ is a primitive BCH code.

Sometimes $T\left(b_{1}, \delta_{1}\right)=T\left(b_{2}, \delta_{2}\right)$ for two distinct pairs $\left(b_{1}, \delta_{1}\right)$ and $\left(b_{2}, \delta_{2}\right)$. The maximum designed distance of a $\mathrm{BCH}$ code is defined to be the largest $\delta$ such that the set $T(b, \delta)$ in (2.2) defines the code for some $b \geq 0$. The maximum designed distance of a $\mathrm{BCH}$ code is also called the Bose distance.

Given the canonical factorization of $x^{n}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ in (2.1), we know that the total number of nonzero cyclic codes of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ is $2^{t+1}-1$. Then the following two natural questions arise:

  1. How many of the $2^{t+1}-1$ cyclic codes are $B C H$ codes?
  2. Which of the $2^{t+1}-1$ cyclic codes are BCH codes?

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Minimum Distances of BCH Codes

It follows from Theorem 2.4.1 that a cyclic code with designed distance $\delta$ has minimum weight at least $\delta$. It is possible that the actual minimum distance is equal to the designed distance. Sometimes the actual minimum distance is much larger than the designed distance.
A codeword $\left(c_{0}, \ldots, c_{n-1}\right)$ of a linear code $\mathcal{C}$ is even-like if $\sum_{j=0}^{n-1} c_{j}=0$, and oddlike otherwise. The weight of an even-like (respectively odd-like) codeword is called an even-like weight (respectively odd-like weight). Let $\mathcal{C}$ be a primitive narrow-sense BCH code of length $n=q^{m}-1$ over $F_{q}$ with designed distance $\delta$. The defining set is then $T(1, \delta)=C_{1} \cup C_{2} \cup \cdots \cup C_{\delta-1}$. The following theorem provides useful information on the minimum weight of narrow-sense primitive $\mathrm{BCH}$ codes.

Theorem 2.6.4 Let $\mathcal{C}$ be the narrow-sense primitive $B C H$ code of length $n=q^{m}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ with designed distance $\delta$. Then the minimum weight of $\mathcal{C}$ is its minimum odd-like weight. The coordinates of the narrow-sense primitive BCH code $\mathcal{C}$ of length $n=q^{m}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ with designed distance $\delta$ can be indexed by the elements of $\mathbb{F}{q^{m}}$, and the extended coordinate in the extended code $\hat{\mathcal{C}}$ can be indexed by the zero element of $\mathbb{F}{q^{m} \text {. The general }}^{\text {. }}$ affine group $\mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)$ then acts on $\mathbb{F}{q^{m}}$ and also on $\hat{\mathcal{C}}$ doubly transitively, where $$ \mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)=\left{a x+b \mid a \in \mathbb{F}{q^{m}}^{*}, b \in \mathbb{F}{q^{m}}\right} $$ Since $\mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)$ is transitive on $\mathbb{F}{q^{m}}$, it is a subgroup of the permutation automorphism group of $\widehat{\mathcal{C}}$. Theorem $2.6 .4$ then follows.

In the following cases, the minimum distance of the $\mathrm{BCH}$ code $\mathcal{C}_{(q, n, \delta, b)}$ is known. We first have the following $[1323, \mathrm{p} .260]$.

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Irreducible Cyclic Codes

让C(q,n,一世)表示长度的循环码n超过Fq带有奇偶校验多项式米一个一世(X),它是的最小多项式一个一世超过Fq,以及在哪里一个是原始的nth 一个外延域上的统一根Fq. 这些C(q,n,一世)称为不可约循环码。自从有了理想⟨(Xn−1)/米一个一世(X)⟩的R(n,q)是最小的,这些C(q,n,一世)也称为最小循环码。根据定理 2.3.5,C(q,n,一世)具有以下跟踪表示:

\mathcal{C}(q, n, i)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{m_{i}} / q}\left(a \beta^{0}\right), \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}(a \beta), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}\left(a \beta^ {n-1}\right)\right) \mid a \in \mathbb{F}{q^{m{i}}}\right},\mathcal{C}(q, n, i)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{m_{i}} / q}\left(a \beta^{0}\right), \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}(a \beta), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}\left(a \beta^ {n-1}\right)\right) \mid a \in \mathbb{F}{q^{m{i}}}\right},
在哪里b=一个−一世∈Fq米一世和米一世=|C一世|.
示例 2.5.1 让n=(q米−1)/(q−1)和一个=Cq−1, 在哪里C是一个生成器Fq米∗. 如果gcd⁡(q−1,米)=1, 然后C(q,n,1)有参数[n,米,q米−1]并且等价于对偶是汉明码的单纯形码。因此,当gcd⁡(q−1,米)=1,汉明码等价于循环码。

例 2.5.2 节中介绍的著名的 Golay 码1.13也是不可约循环码和二进制[24,12,8]航海者 1 号和航海者 2 号对木星、土星及其卫星的任务使用了扩展的 Golay 代码。

根据定义,维度C(q,n,一世)等于你⁡(米一个一世(X)),这是一个除数米:=单词n⁡(q). 不可约循环码的权重枚举数的确定相当于高斯周期的求值,一般来说难度很大。然而,在少数情况下,一些不可约循环码的权重枚举数是已知的。存在一权、二权和三权不可约循环码。通常很难确定不可约循环码的最小距离。已经制定了不可约循环码的最小距离的下界。读者参考[568]了解详细信息。

由于许多原因,不可约循环码非常重要。首先,每个循环码都是若干不可约循环码的直接和。其次,一些不可约码(Golay码)的自同构群具有较高的传递性。第三,一些不可约代码可用于构造最大弧、椭圆二次曲面(卵形)、逆平面和吨-设计。因此,不可约循环码与群论、有限几何和组合学密切相关。此外,不可约循环码在工程中也有许多应用。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|BCH Codes and Their Properties

BCH码是具有特殊性质的循环码的子类,在理论和实践中都很重要。实验数据表明,在几乎所有情况下,一定长度的二进制和三进制 BCH 码都是最好的循环码;见 [549,附录 A]。1.14 节简要介绍了 BCH 码。本节进一步处理 BCH 码并总结其基本属性。

让d是一个整数2≤d≤n然后让b是一个整数。一个 BCH 代码Fq长度n和设计距离d,表示为C(q,n,d,b), 是具有定义集的循环码

吨(b,d)=Cb∪Cb+1∪⋯∪Cb+d−2
相对于原始nth 团结之根一个, 在哪里C一世是个q-分圆陪集模n包含一世.

什么时候b=1, 编码C(q,n,d,b)在(2.2)中定义集合称为狭义BCH码。如果n=q米−1, 然后C(q,n,d,b)被称为原始 BCH 码。章节中介绍的 Reed-Solomon 码1.14是原始 BCH 代码。

有时吨(b1,d1)=吨(b2,d2)对于两个不同的对(b1,d1)和(b2,d2). 最大设计距离乙CH代码被定义为最大d这样集合吨(b,d)在 (2.2) 中定义了一些代码b≥0. 最大设计距离乙CH码也称为玻色距离。

给定的规范分解Xn−1超过Fq在(2.1)中,我们知道长度为非零的循环码的总数n超过Fq是2吨+1−1. 那么自然会产生以下两个问题:

  1. 其中有多少2吨+1−1循环码是乙CH代码?
  2. 哪一个2吨+1−1循环码是BCH码吗?

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Minimum Distances of BCH Codes

从定理 2.4.1 可以得出,具有设计距离的循环码d至少有最小重量d. 实际最小距离可能等于设计距离。有时实际最小距离远大于设计距离。
一个码字(C0,…,Cn−1)线性码C是偶数如果∑j=0n−1Cj=0,否则很奇怪。类偶数(分别类奇数)码字的权重称为类偶数权重(分别类奇数权重)。让C是长度的原始狭义 BCH 码n=q米−1超过Fq设计距离d. 那么定义集是吨(1,d)=C1∪C2∪⋯∪Cd−1. 以下定理提供了有关狭义原语的最小权重的有用信息乙CH代码。

定理 2.6.4 让C是狭义的原语乙CH长度码n=q米−1超过Fq设计距离d. 那么最小重量为C是它的最小类奇重量。狭义原始 BCH 码的坐标C长度n=q米−1超过Fq设计距离d可以通过元素索引Fq米, 以及扩展代码中的扩展坐标C^可以由零元素索引Fq米. 一般 . 仿射群G一个1(Fq米)然后作用于Fq米并且还在C^双传递,其中

\mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)=\left{a x+b \mid a \in \mathbb{F}{q^{m} }^{*}, b \in \mathbb{F}{q^{m}}\right}\mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)=\left{a x+b \mid a \in \mathbb{F}{q^{m} }^{*}, b \in \mathbb{F}{q^{m}}\right}自从G一个1(Fq米)是可传递的Fq米,它是置换自同构群的一个子群C^. 定理2.6.4然后跟随。

在下列情况下,最小距离乙CH代码C(q,n,d,b)是已知的。我们首先有以下[1323,p.260].

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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