数学代写|编码理论代写Coding theory代考|COMP2610

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。各种科学学科,如信息论、电气工程、数学、语言学和计算机科学,都对编码进行了研究,目的是设计高效和可靠的数据传输方法。这通常涉及消除冗余和纠正或检测传输数据中的错误。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|COMP2610

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Puncturing, Extending, and Shortening Codes

There are several methods to obtain a longer or shorter code from a given code; while this can be done for both linear and nonlinear codes, we focus on linear ones. Two codes can be combined into a single code, for example as described in Section 1.11.

Definition 1.7.1 Let $\mathcal{C}$ be an $[n, k, d]{q}$ linear code with generator matrix $G$ and parity check matrix $H$. (a) For some $i$ with $1 \leq i \leq n$, let $\mathcal{C}^{}$ be the codewords of $\mathcal{C}$ with the $i^{\text {th }}$ component deleted. The resulting code, called a punctured code, is an $\left[n-1, k^{}, d^{}\right]$ code. If $d>1, k^{}=k$, and $d^{}=d$ unless $\mathcal{C}$ has a minimum weight codeword that is nonzero on coordinate $i$, in which case $d^{}=d-1$. If $d=1, k^{}=k$ and $d^{}=1$ unless $\mathcal{C}$ has a weight 1 codeword that is nonzero on coordinate $i$, in which case $k^{}=k-1$ and $d^{} \geq 1$ as long as $\mathcal{C}^{}$ is nonzero. A generator matrix for $\mathcal{C}^{}$ is obtained from $G$ by deleting column $i$; $G^{}$ will have dependent rows if $d^{}=1$ and $k^{*}=k-1$. Puncturing is often done on multiple coordinates in an analogous manner, one coordinate at a time.
(b) Define $\widehat{\mathcal{C}}=\left{c{1} c_{2} \cdots c_{n+1} \in \mathbb{F}{q}^{n+1} \mid c{1} c_{2} \cdots c_{n} \in \mathcal{C}\right.$ where $\left.\sum_{i=1}^{n+1} c_{i}=0\right}$, called the extended code. This is an $[n+1, k, \widehat{d}]_{q}$ code where $\hat{d}=d$ or $d+1$. A generator

matrix $\widehat{G}$ for $\widehat{\mathcal{C}}$ is obtained by adding a column on the right of $G$ so that every row sum in this $k \times(n+1)$ matrix is 0. A parity check matrix $\hat{H}$ for $\widehat{\mathcal{C}}$ is
$$
\hat{H}=\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & \cdots & 1 & 1 \
\hline & & 0 \
& H & & \vdots \
& & & 0
\end{array}\right]
$$
(c) Let $S$ be any set of $s$ coordinates. Let $\mathcal{C}(S)$ be all codewords in $\mathcal{C}$ that are zero on $S$. Puncturing $\mathcal{C}(S)$ on $S$ results in the $\left[n-s, k_{S}, d_{S}\right]{q}$ shortened code $\mathcal{C}{S}$ where $d_{S} \geq d$. If $\mathcal{C}^{\perp}$ has minimum weight $d^{\perp}$ and $s<d^{\perp}$, then $k_{S}=k-s$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Equivalence and Automorphisms

Two vector spaces over $\mathbb{F}_{q}$ are considered the same (that is, isomorphic) if there is a nonsingular linear transformation from one to the other. For linear codes to be considered the same, we want these linear transformations to also preserve weights of codewords. In Theorem 1.8.6, we will see that these weight preserving linear transformations are directly related to monomial matrices. This leads to two different concepts of code equivalence for linear codes.

Definition 1.8.1 If $P \in \mathbb{F}{q}^{n \times n}$ has exactly one 1 in each row and column and 0 elsewhere, $P$ is a permutation matrix. If $M \in \mathbb{F}{q}^{n \times n}$ has exactly one nonzero entry in each row and column, $M$ is a monomial matrix. If $\mathcal{C}$ is a code over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$ and $A \in$ $\mathbb{F}{q}^{n \times n}$, then $\mathcal{C} A={\mathbf{c} A \mid \mathbf{c} \in \mathcal{C}} .$ Let $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$ be linear codes over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$. $\mathcal{C}{1}$ is permutation equivalent to $\mathcal{C}{2}$ provided $\mathcal{C}{2}=\mathcal{C}{1} P$ for some permutation matrix $P \in \mathbb{F}{q}^{n \times n} \cdot \mathcal{C}{1}$ is monomially equivalent to $\mathcal{C}{2}$ provided $\mathcal{C}{2}=\mathcal{C}{1} M$ for some monomial $\operatorname{matrix} M \in \mathbb{F}_{q}^{n \times n}$.Remark 1.8.2 Applying a permutation matrix to a code simply permutes the coordinates; applying a monomial matrix permutes and re-scales coordinates. Applying either a permutation or monomial matrix to a vector does not change its weight. Also applying either a permutation or monomial matrix to two vectors does not change the distance between these two vectors. There is a third more general concept of equivalence, involving semi-linear transformations, where two linear codes $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$ over $\mathbb{F}{q}$ are equivalent provided one can be obtained from the other by permuting and re-scaling coordinates and then applying an automorphism of the field $\mathbb{F}{q}$. Note that applying such maps to a vector or to a pair of vectors preserves the weight of the vector and the distance between the two vectors, respectively; see [1008, Section 1.7] for further discussion of this type of equivalence. There are other concepts of equivalence that arise when the code may not be linear but has some specific algebraic structure (e.g., additive codes over $\mathbb{F}_{q}$ that are closed under vector addition but not necessarily closed under scalar multiplication). The common theme when defining equivalence of such codes is to use a set of maps which preserve distance between the two vectors, which preserve the algebraic structure under consideration, and which form a group under composition of these maps. We will follow this theme when we define equivalence of unrestricted codes at the end of this section.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Bounds on Codes

In this section we present seven bounds relating the length, dimension or number of codewords, and minimum distance of an unrestricted code. The first five are considered upper bounds on the code size given length, minimum distance, and field size. By this, we mean that there does not exist a code of size bigger than the upper bound with the specified length, minimum distance, and field size. The last two are lower bounds on the size of a linear code. This means that a linear code can be constructed with the given length and minimum distance over the specified field having size equalling or exceeding the lower bound. We also give asymptotic versions of these bounds. Some of these bounds will be described using $A_{q}(n, d)$ and $B_{q}(n, d)$, which we now define.

Definition 1.9.1 For positive integers $n$ and $d, A_{q}(n, d)$ is the largest number of codewords in an $(n, M, d){q}$ code, linear or nonlinear. $B{q}(n, d)$ is the largest number of codewords in a $[n, k, d]{q}$ linear code. An $(n, M, d){q}$ code is optimal provided $M=A_{q}(n, d)$; an $[n, k, d]{q}$ linear code is optimal if $q^{k}=B{q}(n, d)$. The concept of ‘optimal’ can also be used in other contexts. Given $n$ and $d, k_{q}(n, d)$ denotes the largest dimension of a linear code over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$ and minimum weight $d$; an $\left[n, k{q}(n, d), d\right]{q}$ code could be called ‘optimal in dimension’. Notice that $k{q}(n, d)=\log {q} B{q}(n, d)$. Similarly, $d_{q}(n, k)$ denotes the largest minimum distance of a linear code over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$ and dimension $k$; an $\left[n, k, d{q}(n, k)\right]{q}$ may be called ‘optimal in distance’. Analogously, $n{q}(k, d)$ denotes the smallest length of a linear code over $\mathbb{F}{q}$ of dimension $k$ and minimum weight $d$; an $\left[n{q}(k, d), k, d\right]_{q}$ code might be called ‘optimal in length’.

Clearly $B_{q}(n, d) \leq A_{q}(n, d)$. On-line tables relating parameters of various types of codes are maintained by M. Grassl [845].

The following basic properties of $A_{q}(n, d)$ and $B_{q}(n, d)$ are easily derived; see [1008, Chapter 2.1].

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Puncturing, Extending, and Shortening Codes

有几种方法可以从给定的代码中获取更长或更短的代码;虽然这对于线性和非线性代码都可以做到,但我们专注于线性代码。两个代码可以组合成一个代码,例如第 1.11 节所述。

定义 1.7.1 让C豆[n,ķ,d]q带有生成矩阵的线性代码G和奇偶校验矩阵H. (a) 对于一些一世和1≤一世≤n, 让C是的代码字C与一世th 组件被删除。生成的代码,称为打孔代码,是[n−1,ķ,d]代码。如果d>1,ķ=ķ, 和d=d除非C具有在坐标上非零的最小权重码字一世, 在这种情况下d=d−1. 如果d=1,ķ=ķ和d=1除非C坐标上的权重为 1 的码字非零一世, 在这种情况下ķ=ķ−1和d≥1只要C是非零的。生成矩阵C是从G通过删除列一世; G如果d=1和ķ∗=ķ−1. 穿孔通常以类似的方式在多个坐标上进行,一次一个坐标。
(b) 定义\widehat{\mathcal{C}}=\left{c{1} c_{2} \cdots c_{n+1} \in \mathbb{F}{q}^{n+1} \mid c{1 } c_{2} \cdots c_{n} \in \mathcal{C}\right.$ 其中 $\left.\sum_{i=1}^{n+1} c_{i}=0\right}\widehat{\mathcal{C}}=\left{c{1} c_{2} \cdots c_{n+1} \in \mathbb{F}{q}^{n+1} \mid c{1 } c_{2} \cdots c_{n} \in \mathcal{C}\right.$ 其中 $\left.\sum_{i=1}^{n+1} c_{i}=0\right},称为扩展代码。这是个[n+1,ķ,d^]q代码在哪里d^=d或者d+1. 发电机

矩阵G^为了C^通过在右侧添加一列获得G这样每一行总和ķ×(n+1)矩阵为0。奇偶校验矩阵H^为了C^是

\hat{H}=\left[\begin{数组}{ccc|c} 1 & \cdots & 1 & 1 \ \hline & & 0 \ & H & & \vdots \ & & & 0 \end{数组} \正确的]\hat{H}=\left[\begin{数组}{ccc|c} 1 & \cdots & 1 & 1 \ \hline & & 0 \ & H & & \vdots \ & & & 0 \end{数组} \正确的]
(c) 让小号是任何一组s坐标。让C(小号)是所有的代码字C是零小号. 穿刺C(小号)上小号结果是[n−s,ķ小号,d小号]q缩短的代码C小号在哪里d小号≥d. 如果C⊥有最小重量d⊥和s<d⊥, 然后ķ小号=ķ−s.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Equivalence and Automorphisms

两个向量空间Fq如果存在从一个到另一个的非奇异线性变换,则认为它们是相同的(即同构)。对于被认为相同的线性码,我们希望这些线性变换也能保留码字的权重。在定理 1.8.6 中,我们将看到这些保持权重的线性变换与单项矩阵直接相关。这导致了线性码的两种不同的码等价概念。

定义 1.8.1 如果磷∈Fqn×n每行和每列正好有一个 1,其他地方正好有 0,磷是一个置换矩阵。如果米∈Fqn×n在每一行和每一列中恰好有一个非零条目,米是一个单项矩阵。如果C是代码结束Fq长度n和一个∈ Fqn×n, 然后C一个=C一个∣C∈C.让C1和C2是线性码Fq长度n. C1是置换等价于C2假如C2=C1磷对于一些置换矩阵磷∈Fqn×n⋅C1单项式等价于C2假如C2=C1米对于一些单项式矩阵⁡米∈Fqn×n.Remark 1.8.2 将置换矩阵应用于代码只是置换坐标;应用单项矩阵置换和重新缩放坐标。对向量应用置换矩阵或单项矩阵都不会改变其权重。对两个向量应用置换矩阵或单项矩阵也不会改变这两个向量之间的距离。还有第三个更一般的等价概念,涉及半线性变换,其中两个线性码C1和C2超过Fq是等价的,前提是可以通过置换和重新缩放坐标然后应用场的自同构从另一个获得一个Fq. 请注意,将此类映射应用于一个向量或一对向量会分别保留向量的权重和两个向量之间的距离;有关此类等价的进一步讨论,请参见 [1008, Section 1.7]。当代码可能不是线性的但具有某些特定的代数结构(例如,加法代码超过Fq在向量加法下闭合但在标量乘法下不一定闭合)。定义此类代码等价时的共同主题是使用一组映射,这些映射保留两个向量之间的距离,保留所考虑的代数结构,并在这些映射的组合下形成一个组。当我们在本节末尾定义无限制代码的等价时,我们将遵循这个主题。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Bounds on Codes

在本节中,我们提出了七个界限,这些界限与代码字的长度、尺寸或数量以及不受限制的代码的最小距离有关。前五个被认为是给定长度、最小距离和字段大小的代码大小的上限。这样,我们的意思是不存在大于具有指定长度、最小距离和字段大小的上限的代码。最后两个是线性码大小的下限。这意味着可以在大小等于或超过下限的指定字段上以给定长度和最小距离构造线性代码。我们还给出了这些边界的渐近版本。其中一些界限将使用一个q(n,d)和乙q(n,d),我们现在定义。

定义 1.9.1 对于正整数n和d,一个q(n,d)是最大码字数(n,米,d)q代码,线性或非线性。乙q(n,d)是a中的最大码字数[n,ķ,d]q线性码。一个(n,米,d)q提供的代码是最优的米=一个q(n,d); 一个[n,ķ,d]q线性码是最优的,如果qķ=乙q(n,d). “最佳”的概念也可以在其他情况下使用。给定n和d,ķq(n,d)表示线性码的最大维度Fq长度n和最小重量d; 一个[n,ķq(n,d),d]q代码可以称为“维度最佳”。请注意ķq(n,d)=日志⁡q乙q(n,d). 相似地,dq(n,ķ)表示线性码的最大最小距离Fq长度n和尺寸ķ; 一个[n,ķ,dq(n,ķ)]q可以称为“距离最优”。类似地,nq(ķ,d)表示线性码的最小长度Fq维度的ķ和最小重量d; 一个[nq(ķ,d),ķ,d]q代码可能被称为“最佳长度”。

清楚地乙q(n,d)≤一个q(n,d). M. Grassl [845] 维护了与各种类型代码的参数相关的在线表格。

下列基本性质一个q(n,d)和乙q(n,d)很容易推导出来;见 [1008,第 2.1 章]。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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