数学代写|编码理论代写Coding theory代考|ELEC5507

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|ELEC5507

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Punctured Generalized Reed-Muller Codes

Binary Reed-Muller codes were introduced in Section 1.11. It is known that these codes are equivalent to the extended codes of some cyclic codes. In other words, after puncturing the binary Reed-Muller codes at a proper coordinate, the obtained codes are permutation equivalent to some cyclic codes. The purpose of this section is to introduce a family of cyclic codes of length $n=q^{m}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ whose extended codes are the generalized Reed-Muller code over $\mathbb{F}{q}$

Let $q$ be a prime power as before. For any integer $j=\sum_{i=0}^{m-1} j_{i} q^{i}$, where $0 \leq j_{i} \leq q-1$ for all $0 \leq i \leq m-1$ and $m$ is a positive integer, we define
$$
\omega_{q}(j)=\sum_{i=0}^{m-1} j_{i}
$$
where the sum is taken over the ring of integers, and is called the $q$-weight of $j$.
Let $\ell$ be a positive integer with $1 \leq \ell<(q-1) m$. The $\ell^{\text {th }}$ order punctured generalized Reed-Muller code $\mathcal{R} \mathcal{M}{q}(\ell, m)^{*}$ over $\mathbb{F}{q}$ is the cyclic code of length $n=q^{m}-1$ with generator polynomial
$$
g(x)=\sum_{\substack{1 \leq \leq \leq n-1 \ w_{q}(j)<(q-1) m-t}}\left(x-\alpha^{j}\right),
$$
where $\alpha$ is a generator of $F_{q^{m}}$. Since $\omega_{q}(j)$ is a constant function on each $q$-cyclotomic coset modulo $n=q^{m}-1, g(x)$ is a polynomial over $\mathbb{F}_{q}$.

The parameters of the punctured generalized Reed-Muller code $\mathcal{R} \mathcal{M}_{q}(\ell, m)^{*}$ are known and summarized in the next theorem [71, Section 5.5].

Theorem 2.8.1 For any $\ell$ with $0 \leq \ell<(q-1) m, \mathcal{R} \mathcal{M}{q}(\ell, m)^{*}$ is a cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ with length $n=q^{m}-1$, dimension
$$
\kappa=\sum_{i=0}^{\ell} \sum_{j=0}^{m}(-1)^{j}\left(\begin{array}{c}
m \
j
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
i-j q+m-1 \
i-j q
\end{array}\right)
$$
and minimum weight $d=\left(q-\ell_{0}\right) q^{m-\ell_{1}-1}-1$, where $\ell=\ell_{1}(q-1)+\ell_{0}$ and $0 \leq \ell_{0}<q-1$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Another Generalization of the Punctured Binary Reed-Muller Codes

The punctured generalized Reed-Muller codes are a generalization of the classical punctured binary Reed-Muller codes, and were introduced in the previous section. A new generalization of the classical punctured binary Reed-Muller codes was given recently in [561]. The task of this section is to introduce the newly generalized cyclic codes.

Let $n=q^{m}-1$. For any integer $a$ with $0 \leq a \leq n-1$, we have the following $q$-adic expansion
$$
a=\sum_{j=0}^{m-1} a_{j} q^{j}
$$
where $0 \leq a_{j} \leq q-1$. The Hamming weight of $a$, denoted by wt $\mathrm{H}{\mathrm{H}}(a)$, is the number of nonzero coordinates in the vector $\left(a{0}, a_{1}, \ldots, a_{m-1}\right)$.
Let $\alpha$ be a generator of $\mathbb{F}{q^{m}}$. For any $1 \leq h \leq m$, we define a polynomial $$ g{(q, m, h)}(x)=\prod_{\substack{1 \leq a \leq n-1 \ 1 \leq w^{t} H(a) \leq h}}\left(x-\alpha^{\alpha}\right)
$$
Since $\mathrm{wt}{\mathrm{H}}(a)$ is a constant function on each $q$-cyclotomic coset modulo $n, g{(q, m, h)}(x)$ is a polynomial over $\mathbb{F}{q}$. By definition, $g{(q, m, h)}(x)$ is a divisor of $x^{n}-1$.

Let $\delta(q, m, h)$ denote the cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ with length $n$ and generator polynomial $g{(m, q, h)}(x)$. By definition, $g_{(q, m, m)}(x)=\left(x^{n}-1\right) /(x-1)$. Therefore, the code $2(q, m, m)$ is trivial, as it has parameters $[n, 1, n]$ and is spanned by the all-1 vector. Below we consider the code $₹(q, m, h)$ for $1 \leq h \leq m-1$ only.

Theorem 2.9.1 Let $m \geq 2$ and $1 \leq h \leq m-1$. Then $\delta(q, m, h)$ has parameters $\left[q^{m}-\right.$ $1, \kappa, d]$, where
$$
\kappa=q^{m}-\sum_{i=0}^{h}\left(\begin{array}{c}
m \
i
\end{array}\right)(q-1)^{i}
$$
and
$$
\frac{q^{h+1}-1}{q-1} \leq d \leq 2 q^{h}-1
$$
When $q=2$, the code $\tau(q, m, h)$ clearly becomes the classical punctured binary ReedMuller code $\mathcal{R} \mathcal{M}(m-1-h, m) *$. Hence, $\mathcal{S}(q, m, h)$ is indeed a generalization of the original punctured binary Reed-Muller code. In addition, when $q=2$, the lower bound and the upper bound in (2.3) become identical. It is conjectured that the lower bound on $d$ is the actual minimum distance.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Reversible Cyclic Codes

Definition 2.10.1 A linear code $\mathcal{C}$ is reversible ${ }^{1}$ if $\left(c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{n-1}\right) \in \mathcal{C}$ implies that $\left(c_{n-1}, c_{n-2}, \ldots, c_{0}\right) \in \mathcal{C}$

Reversible cyclic codes were considered in $[1346,1347]$. A cryptographic application of reversible cyclic codes was proposed in [353]. A well rounded treatment of reversible cyclic codes was given in [1236]. The objective of this section is to deliver a basic introduction to reversible cyclic codes.

Definition 2.10.2 A polynomial $f(x)$ over $\mathbb{F}_{q}$ is called self-reciprocal if it equals its reciprocal $f^{\perp}(x)$.

The conclusions of the following theorem are known in the literature [1323, page 206] and are easy to prove.

Theorem 2.10.3 Let $\mathcal{C}$ be a cyclic code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomial $g(x)$. Then the following statements are equivalent. (a) $\mathcal{C}$ is reversible. (b) $g(x)$ is self-reciprocal. (c) $\beta^{-1}$ is a root of $g(x)$ for every root $\beta$ of $g(x)$ over the splitting field of $g(x)$. Furthermore, if $-1$ is a power of $q$ mod $n$, then every cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$ is reversible.

Now we give an exact count of reversible cyclic codes of length $n=q^{m}-1$ for odd primes $m$. Recall the $q$-cyclotomic cosets $C_{a}$ modulo $n$ given in Definition 1.12.7. It is straightforward that $-a=n-a \in C_{a}$ if and only if $a\left(1+q^{j}\right) \equiv 0(\bmod n)$ for some integer $j$. The following two lemmas are straightforward and hold whenever $\operatorname{gcd}(n, q)=1$.

Lemma 2.10.4 The irreducible polynomial $M_{\alpha^{a}}(x)$ is self-reciprocal if and only if $n-a \in$ $C_{a}$

Lemma 2.10.5 The least common multiple $\operatorname{lcm}\left(M_{\alpha^{a}}(x), M_{\alpha^{n-a}}(x)\right)$ is self-reciprocal for every $a \in \mathbb{Z}_{n}$.

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Punctured Generalized Reed-Muller Codes

1.11 节介绍了二进制 Reed-Muller 码。众所周知,这些码相当于一些循环码的扩展码。换句话说,在适当的坐标处对二进制 Reed-Muller 码进行穿孔后,得到的码是等价于一些循环码的置换。本节的目的是介绍一系列长度为的循环码n=q米−1超过Fq其扩展码是广义 Reed-Muller 码Fq

让q像以前一样成为主要力量。对于任何整数j=∑一世=0米−1j一世q一世, 在哪里0≤j一世≤q−1对所有人0≤一世≤米−1和米是一个正整数,我们定义

ωq(j)=∑一世=0米−1j一世
其中总和被接管整数环,称为q- 重量j.
让ℓ是一个正整数1≤ℓ<(q−1)米. 这ℓth 顺序穿孔广义 Reed-Muller 码R米q(ℓ,米)∗超过Fq是长度的循环码n=q米−1用生成多项式

G(X)=∑1≤≤≤n−1 在q(j)<(q−1)米−吨(X−一个j),
在哪里一个是一个生成器Fq米. 自从ωq(j)是每个上的常数函数q-分圆陪集模n=q米−1,G(X)是一个多项式Fq.

穿孔广义 Reed-Muller 码的参数R米q(ℓ,米)∗在下一个定理 [71,第 5.5 节] 中已知和总结。

定理 2.8.1 对于任意ℓ和0≤ℓ<(q−1)米,R米q(ℓ,米)∗是一个循环码Fq有长度n=q米−1, 方面

ķ=∑一世=0ℓ∑j=0米(−1)j(米 j)(一世−jq+米−1 一世−jq)
和最小重量d=(q−ℓ0)q米−ℓ1−1−1, 在哪里ℓ=ℓ1(q−1)+ℓ0和0≤ℓ0<q−1.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Another Generalization of the Punctured Binary Reed-Muller Codes

打孔广义 Reed-Muller 码是经典打孔二进制 Reed-Muller 码的推广,在上一节中进行了介绍。最近在 [561] 中给出了经典穿孔二进制 Reed-Muller 码的新概括。本节的任务是介绍新的广义循环码。

让n=q米−1. 对于任何整数一个和0≤一个≤n−1, 我们有以下q-adic 扩展

一个=∑j=0米−1一个jqj
在哪里0≤一个j≤q−1. 汉明权重一个, 表示为 wtHH(一个), 是向量中非零坐标的数量(一个0,一个1,…,一个米−1).
让一个成为Fq米. 对于任何1≤H≤米,我们定义一个多项式

G(q,米,H)(X)=∏1≤一个≤n−1 1≤在吨H(一个)≤H(X−一个一个)
自从在吨H(一个)是每个上的常数函数q-分圆陪集模n,G(q,米,H)(X)是一个多项式Fq. 根据定义,G(q,米,H)(X)是一个除数Xn−1.

让d(q,米,H)表示循环码Fq有长度n和生成多项式G(米,q,H)(X). 根据定义,G(q,米,米)(X)=(Xn−1)/(X−1). 因此,代码2(q,米,米)很简单,因为它有参数[n,1,n]并且由全1向量跨越。下面我们考虑代码₹₹(q,米,H)为了1≤H≤米−1只要。

定理 2.9.1 让米≥2和1≤H≤米−1. 然后d(q,米,H)有参数[q米− 1,ķ,d], 在哪里

ķ=q米−∑一世=0H(米 一世)(q−1)一世

qH+1−1q−1≤d≤2qH−1
什么时候q=2, 编码τ(q,米,H)显然成为经典的穿孔二进制 ReedMuller 码R米(米−1−H,米)∗. 因此,小号(q,米,H)确实是原始穿孔二进制 Reed-Muller 码的推广。此外,当q=2,(2.3)中的下界和上界变得相同。推测下限为d是实际的最小距离。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Reversible Cyclic Codes

定义 2.10.1 线性码C是可逆的1如果(C0,C1,…,Cn−1)∈C暗示(Cn−1,Cn−2,…,C0)∈C

可逆循环码在[1346,1347]. 在 [353] 中提出了可逆循环码的加密应用。在 [1236] 中给出了对可逆循环码的全面处理。本节的目的是对可逆循环码进行基本介绍。

定义 2.10.2 多项式F(X)超过Fq如果它等于它的倒数,则称为自倒数F⊥(X).

以下定理的结论在文献 [1323, page 206] 中是已知的并且很容易证明。

定理 2.10.3 让C是长度的循环码n超过Fq用生成多项式G(X). 那么下面的语句是等价的。(一个)C是可逆的。(二)G(X)是自我互惠的。(C)b−1是一个根G(X)对于每个根b的G(X)在分裂场上G(X). 此外,如果−1是一种力量q反对n,然后每个循环码Fq长度n是可逆的。

现在我们给出长度的可逆循环码的精确计数n=q米−1对于奇数素数米. 回想一下q-分圆陪集C一个模块n在定义 1.12.7 中给出。很简单−一个=n−一个∈C一个当且仅当一个(1+qj)≡0(反对n)对于某个整数j. 以下两个引理很简单,并且在任何时候都成立gcd⁡(n,q)=1.

引理 2.10.4 不可约多项式米一个一个(X)是自互的当且仅当n−一个∈ C一个

引理 2.10.5 最小公倍数厘米⁡(米一个一个(X),米一个n−一个(X))对每个人都是自互的一个∈从n.

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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