数学代写|编码理论代写Coding theory代考|ELEC5507

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。各种科学学科,如信息论、电气工程、数学、语言学和计算机科学,都对编码进行了研究,目的是设计高效和可靠的数据传输方法。这通常涉及消除冗余和纠正或检测传输数据中的错误。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|ELEC5507

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Finite Fields

Finite fields play an essential role in coding theory. The theory and construction of finite fields can be found, for example, in [1254] and [1408, Chapter 2]. Finite fields, as related specifically to codes, are described in [1008, 1323, 1602]. In this section we give a brief introduction.

Definition 1.2.1 A field $\mathbb{F}$ is a nonempty set with two binary operations, denoted $+$ and $\because$, satisfying the following properties.
(a) For all $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{F}, \alpha+\beta \in \mathbb{F}, \alpha \cdot \beta \in \mathbb{F}, \alpha+\beta=\beta+\alpha, \alpha \cdot \beta=\beta \cdot \alpha, \alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$, $\alpha \cdot(\beta \cdot \gamma)=(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma$, and $\alpha \cdot(\beta+\gamma)=\alpha \cdot \beta+\alpha \cdot \gamma$.
(b) $\mathbb{F}$ possesses an additive identity or zero, denoted 0 , and a multiplicative identity or unity, denoted 1 , such that $\alpha+0=\alpha$ and $\alpha \cdot 1=\alpha$ for all $\alpha \in \mathbb{F}_{q}$.
(c) For all $\alpha \in \mathbb{F}$ and all $\beta \in \mathbb{F}$ with $\beta \neq 0$, there exists $\alpha^{\prime} \in \mathbb{F}$, called the additive inverse of $\alpha$, and $\beta^{} \in \mathbb{F}$, called the multiplicative inverse of $\beta$, such that $\alpha+\alpha^{\prime}=0$ and $\beta \cdot \beta^{}=1 .$

The additive inverse of $\alpha$ will be denoted $-\alpha$, and the multiplicative inverse of $\beta$ will be denoted $\beta^{-1}$. Usually the multiplication operation will be suppressed; that is, $\alpha \cdot \beta$ will be denoted $\alpha \beta$. If $n$ is a positive integer and $\alpha \in \mathbb{F}, n \alpha=\alpha+\alpha+\cdots+\alpha$ ( $n$ times), $\alpha^{n}=\alpha \alpha \cdots \alpha$ ( $n$ times), and $\alpha^{-n}=\alpha^{-1} \alpha^{-1} \cdots \alpha^{-1}$ ( $n$ times when $\alpha \neq 0$ ). Also $\alpha^{0}=1$ if $\alpha \neq 0$. The usual rules of exponentiation hold. If $\mathbb{F}$ is a finite set with $q$ elements, $\mathbb{F}$ is called a finite field of order $q$ and denoted $\mathbb{F}_{q}$.

Example 1.2.2 Fields include the rational numbers $\mathbb{Q}$, the real numbers $\mathbb{R}$, and the complex numbers $\mathbb{C}$. Finite fields include $\mathbb{Z}_{p}$, the set of integers modulo $p$, where $p$ is a prime.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Codes

In this section we introduce the concept of codes over finite fields. We begin with some notation.

The set of $n$-tuples with entries in $\mathbb{F}{q}$ forms an $n$-dimensional vector space, denoted $\mathbb{F}{q}^{n}=\left{x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \mid x_{i} \in \mathbb{F}{q}, 1 \leq i \leq n\right}$, under componentwise addition of $n$-tuples and componentwise multiplication of $n$-tuples by scalars in $\mathbb{F}{q}$. The vectors in $\mathbb{F}{q}^{n}$ will often be denoted using bold Roman characters $\mathbf{x}=x{1} x_{2} \cdots x_{n}$. The vector $\mathbf{0}=00 \cdots 0$ is the zero vector in $\mathbb{F}_{q}^{n}$.

For positive integers $m$ and $n, \mathbb{F}{q}^{m \times n}$ denotes the set of all $m \times n$ matrices with entries in $\mathbb{F}{q}$. The matrix in $\mathbb{F}{q}^{m \times n}$ with all entries 0 is the zero matrix denoted $\mathbf{0}{m \times n}$. The identity matrix of $\mathbb{F}{q}^{n \times n}$ will be denoted $I{n}$. If $A \in \mathbb{F}{q}^{m \times n}, A^{\mathrm{T}} \in \mathbb{F}{q}^{n \times m}$ will denote the transpose of $A$. If $\mathbf{x} \in \mathbb{F}{q}^{m}, \mathbf{x}^{\top}$ will denote $\mathbf{x}$ as a column vector of length $m$, that is, an $m \times 1$ matrix. The column vector $\mathbf{0}^{\top}$ and the $m \times 1$ matrix $\mathbf{0}{m \times 1}$ are the same.
If $S$ is any finite set, its order or size is denoted $|S|$.
Definition 1.3.1 A subset $\mathcal{C} \subseteq \mathbb{F}{q}^{n}$ is called a code of length $n$ over $\mathbb{F}{q} ; \mathbb{F}{q}$ is called the alphabet of $\mathcal{C}$, and $\mathbb{F}{q}^{n}$ is the ambient space of $\mathcal{C}$. Codes over $\mathbb{F}{q}$ are also called $q$-ary codes. If the alphabet is $\mathbb{F}{2}, \mathcal{C}$ is binary. If the alphabet is $\mathbb{F}{3}, \mathcal{C}$ is ternary. The vectors in $\mathcal{C}$ are the codewords of $\mathcal{C}$. If $\mathcal{C}$ has $M$ codewords (that is, $|\mathcal{C}|=M) \mathcal{C}$ is denoted an $(n, M){q}$ code, or, more simply, an $(n, M)$ code when the alphabet $\mathbb{F}{q}$ is understood. If $\mathcal{C}$ is a linear subspace of $\mathbb{F}{q}^{n}$, that is $\mathcal{C}$ is closed under vector addition and scalar multiplication, $\mathcal{C}$ is called a linear code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$. If the dimension of the linear code $\mathcal{C}$ is $k, \mathcal{C}$ is denoted an $[n, k]{q}$ code, or, more simply, an $[n, k]$ code. An $(n, M){q}$ code that is also linear is an $[n, k]{q}$ code where $M=q^{k}$. An $(n, M){q}$ code may be referred to as an unrestricted code; a specific unrestricted code may be either linear or nonlinear. When referring to a code, expressions such as $(n, M),(n, M){q},[n, k]$, or $[n, k]_{q}$ are called the parameters of the code.

Example 1.3.2 Let $\mathcal{C}={1100,1010,1001,0110,0101,0011} \subseteq \mathbb{F}{2}^{4}$. Then $\mathcal{C}$ is a $(4,6){2}$ binary nonlinear code. Let $\mathcal{C}{1}=\mathcal{C} \cup{0000,1111}$. Then $\mathcal{C}{1}$ is a $(4,8){2}$ binary linear code. As $\mathcal{C}{1}$ is a subspace of $\mathbb{F}{2}^{4}$ of dimension $3, \mathcal{C}{1}$ is also a $[4,3]_{2}$ code.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Orthogonality

There is a natural inner product on $\mathbb{F}{q}^{n}$ that often proves useful in the study of codes. ${ }^{2}$ Definition 1.5.1 The ordinary inner product, also called the Euclidean inner product, on $\mathbb{F}{q}^{n}$ is defined by $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$ where $\mathbf{x}=x_{1} x_{2} \cdots x_{n}$ and $\mathbf{y}=y_{1} y_{2} \cdots y_{n}$. Two vectors $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{F}{q}^{n}$ are orthogonal if $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=0$. If $\mathcal{C}$ is an $[n, k]{q}$ code,
$$
\mathcal{C}^{\perp}=\left{\mathbf{x} \in \mathbb{F}_{q}^{n} \mid \mathbf{x} \cdot \mathbf{c}=0 \text { for all } \mathbf{c} \in \mathcal{C}\right}
$$

is the orthogonal code or dual code of $\mathcal{C}$. $\mathcal{C}$ is self-orthogonal if $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{C}^{\perp}$ and self-dual if $\mathcal{C}=\mathcal{C}^{\perp}$.

Theorem 1.5.2 ([1323, Chapter 1.8]) Let $\mathcal{C}$ be an $[n, k]{q}$ code with generator and parity check matrices $G$ and $H$, respectively. Then $\mathcal{C}^{\perp}$ is an $[n, n-k]{q}$ code with generator and parity check matrices $H$ and $G$, respectively. Additionally $\left(\mathcal{C}^{\perp}\right)^{\perp}=\mathcal{C}$. Furthermore $\mathcal{C}$ is self-dual if and only if $\mathcal{C}$ is self-orthogonal and $k=\frac{n}{2}$.

Example $1.5 .3 \mathcal{C}{2}$ from Example $1.4 .8$ is a $[4,2]{2}$ self-dual code with generator and parity check matrices both equal to
$$
\left[\begin{array}{llll}
1 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right] \text {. }
$$
The dual of the Hamming $[7,4]{2}$ code in Example $1.4 .9$ is a $[7,3]{2}$ code $\mathcal{H}{3,2}^{\perp} . H{3,2}$ is a generator matrix of $\mathcal{H}{3,2}^{\perp}$. As every row of $H{3,2}$ is orthogonal to itself and every other row of $H_{3,2}, \mathcal{H}{3,2}^{\perp}$ is self-orthogonal. As $\mathcal{H}{3,2}^{\perp}$ has dimension 3 and $\left(\mathcal{H}{3,2}^{\perp}\right)^{\perp}=\mathcal{H}{3,2}$ has dimension 4, $\mathcal{H}_{3,2}^{\perp}$ is not self-dual.

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Finite Fields

有限域在编码理论中起着至关重要的作用。例如,在 [1254] 和 [1408,第 2 章] 中可以找到有限域的理论和构造。在 [1008, 1323, 1602] 中描述了具体与代码相关的有限域。本节我们做一个简单的介绍。

定义 1.2.1 一个字段F是具有两个二元运算的非空集,记为+和∵,满足以下性质。
(a) 对所有人一个,b,C∈F,一个+b∈F,一个⋅b∈F,一个+b=b+一个,一个⋅b=b⋅一个,一个+(b+C)=(一个+b)+C, 一个⋅(b⋅C)=(一个⋅b)⋅C, 和一个⋅(b+C)=一个⋅b+一个⋅C.
(二)F拥有一个加法单位或零,表示为 0 ,和一个乘法单位或单位,表示为 1 ,使得一个+0=一个和一个⋅1=一个对所有人一个∈Fq.
(c) 对所有人一个∈F和所有b∈F和b≠0, 那里存在一个′∈F,称为加法逆一个, 和b∈F,称为乘法逆b, 这样一个+一个′=0和b⋅b=1.

的加法逆一个将表示−一个, 和乘法逆b将表示b−1. 通常乘法运算会被抑制;那是,一个⋅b将表示一个b. 如果n是一个正整数并且一个∈F,n一个=一个+一个+⋯+一个 ( n次),一个n=一个一个⋯一个(n次),和一个−n=一个−1一个−1⋯一个−1(n有时一个≠0)。还一个0=1如果一个≠0. 通常的求幂规则成立。如果F是一个有限集q元素,F称为有限序域q并表示Fq.

示例 1.2.2 字段包括有理数问, 实数R, 和复数C. 有限域包括从p, 整数集取模p, 在哪里p是一个素数。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Codes

在本节中,我们介绍有限域上的码的概念。我们从一些符号开始。

该组n- 包含条目的元组Fq形成一个n维向量空间,表示为\mathbb{F}{q}^{n}=\left{x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \mid x_{i} \in \mathbb{F}{q}, 1 \leq我 \leq n\right}\mathbb{F}{q}^{n}=\left{x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \mid x_{i} \in \mathbb{F}{q}, 1 \leq我 \leq n\right}, 在逐个添加的情况下n-元组和组件乘法n- 元组中的标量Fq. 中的向量Fqn通常使用粗体罗马字符表示X=X1X2⋯Xn. 向量0=00⋯0是零向量Fqn.

对于正整数米和n,Fq米×n表示所有的集合米×n包含条目的矩阵Fq. 中的矩阵Fq米×n所有条目 0 是表示的零矩阵0米×n. 的单位矩阵Fqn×n将表示我n. 如果一个∈Fq米×n,一个吨∈Fqn×米将表示转置一个. 如果X∈Fq米,X⊤将表示X作为长度的列向量米,也就是说,一个米×1矩阵。列向量0⊤和米×1矩阵0米×1是相同的。
如果小号是任何有限集,它的顺序或大小表示|小号|.
定义 1.3.1 一个子集C⊆Fqn称为长度码n超过Fq;Fq被称为字母表C, 和Fqn是环境空间C. 代码结束Fq也被称为q-ary 代码。如果字母表是F2,C是二进制的。如果字母表是F3,C是三元的。中的向量C是的代码字C. 如果C有米码字(即|C|=米)C表示为(n,米)q代码,或者更简单地说,一个(n,米)码当字母Fq被理解。如果C是一个线性子空间Fqn, 那是C在向量加法和标量乘法下是闭合的,C称为长度的线性码n超过Fq. 如果线性码的维数C是ķ,C表示为[n,ķ]q代码,或者更简单地说,一个[n,ķ]代码。一个(n,米)q也是线性的代码是[n,ķ]q代码在哪里米=qķ. 一个(n,米)q代码可以称为不受限制的代码;一个特定的无限制代码可以是线性的也可以是非线性的。引用代码时,诸如(n,米),(n,米)q,[n,ķ], 或者[n,ķ]q被称为代码的参数。

示例 1.3.2 让C=1100,1010,1001,0110,0101,0011⊆F24. 然后C是一个(4,6)2二进制非线性码。让C1=C∪0000,1111. 然后C1是一个(4,8)2二进制线性码。作为C1是一个子空间F24维度的3,C1也是一个[4,3]2代码。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Orthogonality

有天然内积Fqn这通常在代码研究中被证明是有用的。2定义 1.5.1 普通内积,也称为欧几里得内积,在Fqn定义为X⋅是=∑一世=1nX一世是一世在哪里X=X1X2⋯Xn和是=是1是2⋯是n. 两个向量X,是∈Fqn是正交的,如果X⋅是=0. 如果C是一个[n,ķ]q代码,

\mathcal{C}^{\perp}=\left{\mathbf{x} \in \mathbb{F}_{q}^{n} \mid \mathbf{x} \cdot \mathbf{c}=0 \text { 对于所有 } \mathbf{c} \in \mathcal{C}\right}\mathcal{C}^{\perp}=\left{\mathbf{x} \in \mathbb{F}_{q}^{n} \mid \mathbf{x} \cdot \mathbf{c}=0 \text { 对于所有 } \mathbf{c} \in \mathcal{C}\right}

是正交码或双码C. C是自正交的,如果C⊆C⊥和自对偶如果C=C⊥.

定理 1.5.2 ([1323, Chapter 1.8]) 让C豆[n,ķ]q带有生成器和奇偶校验矩阵的代码G和H, 分别。然后C⊥是一个[n,n−ķ]q带有生成器和奇偶校验矩阵的代码H和G, 分别。此外(C⊥)⊥=C. 此外C是自对偶当且仅当C是自正交的并且ķ=n2.

例子1.5.3C2来自示例1.4.8是一个[4,2]2具有生成器和奇偶校验矩阵的自对偶代码都等于

[1100 0011]. 
汉明的对偶[7,4]2示例中的代码1.4.9是一个[7,3]2代码H3,2⊥.H3,2是一个生成矩阵H3,2⊥. 作为每一行H3,2正交于自身和每隔一行H3,2,H3,2⊥是自正交的。作为H3,2⊥具有维度 3 和(H3,2⊥)⊥=H3,2维度为 4,H3,2⊥不是自对偶。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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