数学代写|编码理论代写Coding theory代考|ELEC7604

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|编码理论代写Coding theory代考|ELEC7604

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Perfect Codes

Perfect codes were considered in the very first scientific papers in coding theory. We have already seen two types of perfect codes in Sections $1.10$ and 1.13. Hamming codes [895] have parameters
$$
\left[n=\left(q^{m}-1\right) /(q-1), n-m, 3\right]{q} $$ and exist for $m \geq 2$ and prime powers $q$. Golay codes [820] have parameters $$ [23,12,7]{2} \text { and }[11,6,5]{3} \text {. } $$ There are also some families of trivial perfect codes: codes containing one word, codes containing all codewords in the space, and $(n, 2, n){2}$ codes for odd $n$. If the order of the alphabet $q$ is a prime power, these are in fact the only sets of parameters for which (linear and unrestricted) perfect codes exist $[1805,1949]$.

Theorem 3.3.1 The nontrivial perfect linear codes over $\mathbb{F}{q}$, where $q$ is a prime power, are precisely the Hamming codes with parameters (3.1) and the Golay codes with parameters (3.2). A nontrivial perfect unrestricted code (over $\mathbb{F}{q}, q$ a prime power) that is not equivalent to a linear code has the same length, size, and minimum distance as a Hamming code (3.1).
Although the remarkable Theorem 3.3.1 gives us a rather solid understanding of perfect codes, there are still many open problems in this area, including the following (a code with different alphabet sizes for different coordinates is called mixed):

Research Problem 3.3.2 Solve the existence problem for perfect codes when the size of the alphabet is not a prime power.
Research Problem 3.3.3 Solve the existence problem for perfect mixed codes.
Research Problem 3.3.4 Classify perfect codes, especially for the parameters covered by Theorem 3.3.1.

Since Theorem 3.3.1 covers alphabet sizes that are prime powers, that is, exactly the sizes for which finite fields and linear codes exist, Research Problems 3.3.2 to $3.3 .4$ are essentially about unrestricted codes (although many codes studied for Research Problem $3.3 .3$ have clear algebraic structures and close connections to linear codes).

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MDS Codes

Maximum distance separable (MDS) codes are not only of theoretical interest, but rather important families of codes are of this type, such as Reed-Solomon codes (Section 1.14). An entire chapter is devoted to MDS codes in the book by MacWilliams and Sloane [1323. Chap. 11].

MDS codes are closely connected to many other structures in combinatorics and geometry. For example, an $[n, k, n-k+1]_{q}$ MDS code with dimension $k \geq 3$ corresponds to an $n$-arc in the projective geometry $\mathrm{PG}(k-1, q)$; see Chapter 14. Finite geometry is indeed a commonly used framework for studying MDS codes. In combinatorics, MDS codes correspond to certain orthogonal arrays.

Definition 3.3.18 An orthogonal array of size $N$, with $m$ constraints, $s$ levels, and strength $t$, denoted $\mathrm{OA}(N, m, s, t)$, is an $m \times N$ matrix with entries from $\mathbb{F}_{s}$, having the property that in every $t \times N$ submatrix, every $t \times 1$ column vector appears $\lambda=N / s^{t}$ (called the index) times.

Theorem 3.3.19 An $n \times q^{k}$ matrix with columns formed by the codewords of a linear $[n, k, n-k+1]{q} M D S$ code or an unvestricted $\left(n, q^{k}, n-k+1\right){q} M D S$ code is an $\mathrm{OA}\left(q^{k}, n, q, k\right)$, which has index $\lambda=1$.

Remark 3.3.20 As the codewords of an MDS code with dimension $k$ form an orthogonal array with strength $k$ and index 1 , such codes are systematic and any $k$ coordinates can be used for the message symbols.

In a paper [319] published by Bush in 1952 , the framework of orthogonal arrays is used to construct objects that we now know as Reed-Solomon codes. In that study it is also shown that for linear codes over $\mathbb{F}{q}$ with $k>q, n \leq k+1$ is a necessary condition for an $[n, k, n-k+1]{q}$ MDS code to exist, and that there are $[k+1, k, 2]{q}$ MDS codes. Such codes, and generally codes with parameters $[n, 1, n]{q},[n, n-1,2]{q}$, and $[n, n, 1]{q}$, are called trivial MDS codes.

For $k \leq q$, on the other hand, the following MDS Conjecture related to a question by Segre $[1638]$ in 1955 is still open.

Conjecture 3.3.21 (MDS) If $k \leq q$, then a linear $[n, k, n-k+1]_{q}$ MDS code exists exactly when $n \leq q+1$ unless $q=2^{h}$ and $k=3$ or $k=q-1$, in which case it exists exactly when $n \leq q+2$.

Remark 3.3.22 MDS codes are typically discussed in the linear case, but the parameters of the codes in Conjecture $3.3 .21$ conjecturally also cover the parameters for which unrestricted MDS codes exist.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Weight Enumerators

The Hamming weight enumerator is defined in Definition $1.15 .1$ in Chapter 1. Recall that
$$
\operatorname{Hwe}(x, y)=\sum_{i=0}^{n} A_{i}(\mathcal{C}) x^{i} y^{n-i}
$$
Definition 4.2.1 A linear code $\mathcal{C}$ is called formally self-dual if $\mathcal{C}$ and its dual code $\mathcal{C}^{\perp}$ have the same weight enumerator, $\operatorname{Hwe} \mathcal{C}(x, y)=\operatorname{Hwe}_{\mathcal{C}}(x, y)$. A linear code is isodual if it is equivalent to its dual code.

Remark 4.2.2 Any isodual code is also formally self-dual, but there are formally self-dual codes that are neither isodual nor self-dual. The smallest length for which a formally selfdual code is not isodual is 14 , and there are 28 such codes amongst 6 weight enumerators [867]. Any self-dual code is also isodual and formally self-dual.
Example 4.2.3 The $[6,3,3]$ binary code $\mathcal{C}$ with a generator matrix
$$
\left[\begin{array}{ll}
100 & 111 \
010 & 110 \
001 & 101
\end{array}\right]
$$
is isodual. Its weight enumerator is $\operatorname{Hwe}_{\mathcal{C}}(x, y)=y^{6}+4 x^{3} y^{3}+3 x^{4} y^{2}$, and its automorphism group has order 24. Obviously, this code is not self-dual as it contains codewords with odd weight.

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Perfect Codes

在编码理论的第一篇科学论文中考虑了完美的代码。我们已经在 Sections 中看到了两种完美的代码1.10和 1.13。汉明码 [895] 有参数

[n=(q米−1)/(q−1),n−米,3]q并且存在米≥2和主要权力q. Golay 码 [820] 有参数

[23,12,7]2 和 [11,6,5]3. 还有一些平凡完美码族:包含一个词的码,包含空间中所有码字的码,以及(n,2,n)2奇数的代码n. 如果按字母顺序q是一个主要的力量,这些实际上是唯一存在(线性和无限制)完美代码的参数集[1805,1949].

定理 3.3.1 上的非平凡完美线性码Fq, 在哪里q是一个素幂,恰好是带参数的汉明码(3.1)和带参数的格雷码(3.2)。一个非平凡的完美无限制代码(超过Fq,q不等价于线性码的素数幂)具有与汉明码(3.1)相同的长度、大小和最小距离。
尽管非凡的定理 3.3.1 让我们对完美编码有了相当扎实的理解,但在这方面仍然存在许多悬而未决的问题,包括以下问题(不同坐标的不同字母大小的编码称为混合):

研究问题 3.3.2 当字母的大小不是素数时,解决完美代码的存在性问题。
研究问题3.3.3 求解完美混合码的存在性问题。
研究问题 3.3.4 对完美代码进行分类,尤其是定理 3.3.1 所涵盖的参数。

由于定理 3.3.1 涵盖了作为素数的字母大小,也就是说,正是存在有限域和线性码的大小,研究问题 3.3.2 到3.3.4本质上是关于不受限制的代码(尽管为研究问题研究了许多代码3.3.3具有清晰的代数结构和与线性码的紧密联系)。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MDS Codes

最大距离可分 (MDS) 码不仅具有理论意义,而且重要的码族也属于这种类型,例如 Reed-Solomon 码(第 1.14 节)。MacWilliams 和 Sloane [1323.] 的书中有一整章专门讨论 MDS 代码。章。11]。

MDS 代码与组合学和几何学中的许多其他结构密切相关。例如,一个[n,ķ,n−ķ+1]q带尺寸的 MDS 代码ķ≥3对应一个n- 射影几何中的弧磷G(ķ−1,q); 见第 14 章。有限几何确实是研究 MDS 代码的常用框架。在组合学中,MDS 码对应于某些正交数组。

定义 3.3.18 大小的正交数组ñ, 和米约束,s水平和实力吨, 表示○一个(ñ,米,s,吨), 是一个米×ñ带有条目的矩阵Fs, 具有在每个吨×ñ子矩阵,每吨×1列向量出现λ=ñ/s吨(称为索引)次。

定理 3.3.19n×qķ具有由线性码字形成的列的矩阵[n,ķ,n−ķ+1]q米D小号代码或不受限制的(n,qķ,n−ķ+1)q米D小号代码是一个○一个(qķ,n,q,ķ), 有索引λ=1.

备注 3.3.20 作为具有维度的 MDS 码的码字ķ形成一个有强度的正交阵列ķ和索引 1 ,这样的代码是系统的和任何ķ坐标可用于消息符号。

在布什于 1952 年发表的一篇论文 [319] 中,正交数组的框架用于构造我们现在称为 Reed-Solomon 码的对象。在该研究中还表明,对于线性码Fq和ķ>q,n≤ķ+1是一个必要条件[n,ķ,n−ķ+1]qMDS代码是存在的,而且是有的[ķ+1,ķ,2]qMDS 代码。这样的代码,一般都是带参数的代码[n,1,n]q,[n,n−1,2]q, 和[n,n,1]q, 称为平凡 MDS 代码。

为了ķ≤q, 另一方面,以下 MDS 猜想与 Segre 的一个问题有关[1638]1955年仍然开放。

猜想 3.3.21 (MDS) 如果ķ≤q,然后是线性的[n,ķ,n−ķ+1]qMDS 代码准确地存在于何时n≤q+1除非q=2H和ķ=3或者ķ=q−1,在这种情况下,它恰好存在于n≤q+2.

备注 3.3.22 MDS 码通常是在线性情况下讨论的,但 Conjecture 中码的参数3.3.21推测也涵盖了存在不受限制的 MDS 代码的参数。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Weight Enumerators

汉明权重枚举器在定义中定义1.15.1在第 1 章中。回想一下

惠⁡(X,是)=∑一世=0n一个一世(C)X一世是n−一世
定义 4.2.1 线性码C被称为形式上的自对偶如果C及其双码C⊥具有相同的权重枚举器,惠⁡C(X,是)=惠C⁡(X,是). 如果一个线性码等价于它的对偶码,那么它就是等偶的。

备注 4.2.2 任何等偶码也是形式上的自对偶,但有形式上的自对码既不是等偶也不是自对偶。形式上的自对偶码不是等偶的最小长度是 14 ,并且在 6 个权重枚举器中有 28 个这样的码[867]。任何自对偶代码也是等对的和形式上的自对偶。
示例 4.2.3[6,3,3]二进制代码C带有生成矩阵

[100111 010110 001101]
是等偶的。它的权重枚举器是惠C⁡(X,是)=是6+4X3是3+3X4是2,其自同构群的阶数为 24。显然,该代码不是自对偶的,因为它包含具有奇数权重的代码字。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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