数学代写|编码理论代写Coding theory代考|ELEC7604

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。各种科学学科,如信息论、电气工程、数学、语言学和计算机科学,都对编码进行了研究,目的是设计高效和可靠的数据传输方法。这通常涉及消除冗余和纠正或检测传输数据中的错误。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|编码理论代写Coding theory代考|ELEC7604

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Notation and Introduction

A brief introduction to cyclic codes over finite fields was given in Section 1.12. The objective of this chapter is to introduce several important families of cyclic codes over finite fields. We will follow the notation of Chapter 1 as closely as possible.

By an $[n, \kappa, d]{q}$ code, we mean a linear code over $\mathbb{F}{q}$ with length $n$, dimension $\kappa$ and minimum distance $d$. Notice that the minimum distance of a linear code is equal to the minimum nonzero weight of the code. By the parameters of a linear code, we mean its length, dimension and minimum distance. An $[n, \kappa, d]{q}$ code is said to be distance-optimal (respectively dimension-optimal) if there is no $[n, \kappa, d+1]{q}$ (respectively $[n, \kappa+1, d]{q}$ ) code. By the best known parameters of $[n, \kappa]$ linear codes over $\mathbb{F}{q}$ we mean an $[n, \kappa, d]_{q}$ code with the largest known $d$ reported in the tables of linear codes maintained at [845].

In this chapter, we deal with cyclic codes of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ and always assume that $\operatorname{gcd}(n, q)=1$. Under this assumption, $x^{n}-1$ has no repeated factors over $\mathbb{F}{q}$. Denote by $C_{i}$ the $q$-cyclotomic coset modulo $n$ that contains $i$ for $0 \leq i \leq n-1$. Put $m=\operatorname{ord}{n}(q)$, and let $\gamma$ be a generator of $\mathbb{F}{q^{m}}^{*}:=\mathbb{F}{q^{m}} \backslash{0}$. Define $\alpha=\gamma^{\left(q^{m}-1\right) / n}$. Then $\alpha$ is a primitive $n^{\text {th }}$ root of unity. The canonical factorization of $x^{n}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ is given by
$$
x^{n}-1=M_{\alpha^{i_{0}}}(x) M_{\alpha^{i_{1}}}(x) \cdots M_{\alpha^{i_{t}}}(x),
$$

where $i_{0}, i_{1}, \ldots, i_{t}$ are representatives of the $q$-cyclotomic cosets modulo $n$, and
$$
M_{\alpha^{i_{j}}}(x)=\prod_{h \in C_{i_{j}}}\left(x-\alpha^{h}\right)
$$
which is the minimal polynomial of $\alpha^{i_{j}}$ over $\mathbb{F}{q}$ and is irreducible over $\mathbb{F}{q \text { : }}$.
Throughout this chapter, we define $\mathcal{R}{(n, q)}=\mathbb{F}{q}[x] /\left\langle x^{n}-1\right\rangle$ and use $\operatorname{Tr}{q^{m} / q}$ to denote the trace function from $F{q^{m}}$ to $F_{q}$ defined by $\operatorname{Tr}{q^{m} / q}(x)=\sum{j=0}^{m-1} x^{q^{j}}$. The ring of integers modulo $n$ is denoted by $\mathbb{Z}_{n}={0,1, \ldots, n-1}$.

Cyclic codes form an important subclass of linear codes over finite fields. Their algebraic structure is richer. Because of their cyclic structure, they are closely related to number theory. In addition, they have efficient encoding and decoding algorithms and are the most studied linear codes. In fact, most of the important families of linear codes are either cyclic codes or extended cyclic codes.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Subfield Subcodes

Let $\mathcal{C}$ be an $[n, \kappa]{q^{\pm}}$code. The subfield subcode $\left.\mathcal{C}\right|{\mathbb{F}{q}}$ of $\mathcal{C}$ with respect to $\mathbb{F}{q}$ is the set of codewords in $\mathcal{C}$ each of whose components is in $\mathbb{F}{q}$. Since $\mathcal{C}$ is linear over $\mathbb{F}{q^{2}},\left.\mathcal{C}\right|{\mathbb{F}{q}}$ is a linear code over $\mathbb{F}_{q}$.

The dimension, denoted $\kappa_{q}$, of the subfield subcode $\left.\mathcal{C}\right|{F{q}}$ may not have an elementary relation with that of the code $\mathcal{C}$. However, we have the following lower and upper bounds on $\kappa_{q}$.

Theorem 2.2.1 Let $\mathcal{C}$ be an $[n, \kappa]{q^{t}}$ code. Then $\left.\mathcal{C}\right|{\mathbb{F}{q}}$ is an $\left[n, \kappa{q}\right]$ code over $\mathbb{F}{q}$, where $\kappa \geq \kappa{q} \geq n-t(n-\kappa)$. If $\mathcal{C}$ has a basis of codewords in $\mathbb{F}{q}^{n}$, then this is also a basis of $\left.\mathcal{C}\right|{\mathbb{F}{q}}$ and $\left.\mathcal{C}\right|{F_{q}}$ has dimension $\kappa$.

Example 2.2.2 The Hamming code $\mathcal{H}{3,2^{2}}$ over $\mathbb{F}{2^{2}}$ has parameters $[21,18,3]{4}$. The subfield subcode $\left.\mathcal{H}{3,2^{2}}\right|{\mathbb{F}{2}}$ is a $[21,16,3]{2}$ code with parity check matrix $$ \left[\begin{array}{lllllllllllllllllllll} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] . $$ In this case, $n=21, \kappa=18$, and $n-t(n-\kappa)=15$. Hence $\kappa{q}=16$, which is very close to $n-t(n-\kappa)=15$.

The following is called Delsarte’s Theorem, which exhibits a dual relation between subfield subcodes and trace codes. This theorem is very useful in the design and analysis of linear codes.
Theorem 2.2.3 (Delsarte) Let $\mathcal{C}$ be a linear code of length $n$ over $\mathbb{F}{q^{*}}$. Then $$ \left(\left.\mathcal{C}\right|{F_{q}}\right)^{\perp}=\operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(\mathcal{C}^{\perp}\right), $$ where $\operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(\mathcal{C}^{\perp}\right)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(v{1}\right), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(v{n}\right)\right) \mid\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \in \mathcal{C}^{\perp}\right}$.
Theorems $2.2 .1$ and $2.2 .3$ work for all linear codes, including cyclic codes. Their proofs could be found in [1008, Section 3.8]. We shall need them later.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Fundamental Constructions of Cyclic Codes

In Section 1.12, it was shown that every cyclic code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ can be generated by a generator polynomial $g(x) \in F{q}[x]$. The objective of this section is to describe several other fundamental constructions of cyclic codes over finite fields. By a fundamental construction, we mean a construction method that can produce every cyclic code over any finite field.

An element $e$ in a commutative ring $\mathcal{R}$ is called an idempotent if $e^{2}=e$. The ring $\mathcal{R}{(n, q)}$ has in general quite a number of idempotents. Besides its generator polynomial, many other polynomials can generate a cyclic code $\mathcal{C}$. Let $\mathcal{C}$ be a cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomial $g(x)$. It is easily seen that a polynomial $f(x) \in \mathbb{F}_{q}[x]$ generates $\mathcal{C}$ if and only if $\operatorname{gcd}\left(f(x), x^{n}-1\right)=g(x)$.

If an idempotent $e(x) \in \mathcal{R}{(n, q)}$ generates a cyclic code $\mathcal{C}$, it is then unique in this ring and called the generating idempotent. Given the generator polynomial of a cyclic code, one can compute its generating idempotent with the following theorem [1008, Theorem 4.3.3]. Theorem 2.3.1 Let $\mathcal{C}$ be a cyclic code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomial $g(x)$. Let $h(x)=\left(x^{n}-1\right) / g(x)$. Then $\operatorname{gcd}(g(x), h(x))=1$, as it was assumed that $\operatorname{gcd}(n, q)=1$. Employing the Extended Euclidean Algorithm, one computes two polynomials a $(x) \in \mathbb{F}{q}[x]$ and $b(x) \in \mathbb{F}{q}[x]$ such that $1=a(x) g(x)+b(x) h(x)$. Then $e(x)=a(x) g(x) \bmod \left(x^{n}-1\right)$ is the generating idempotent of $\mathcal{C}$.

The polynomial $h(x)$ in Theorem $2.3 .1$ is called the parity check polynomial of $\mathcal{C}$. Given the generating idempotent of a cyclic code, one obtains the generator polynomial of this code as follows [1008, Theorem 4.3.3].

Theorem 2.3.2 Let $\mathcal{C}$ be a cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ with generating idempotent e(x). Then the generator polynomial of $\mathcal{C}$ is given by $g(x)=\operatorname{gcd}\left(e(x), x^{n}-1\right)$, which is computed in $\mathbb{F}{q}[x]$.
Example 2.3.3 The cyclic code $\mathcal{C}$ of length 11 over $\mathbb{F}_{3}$ with generator polynomial $g(x)=$ $x^{5}+x^{4}+2 x^{3}+x^{2}+2$ has parameters $[11,6,5]$ and parity check polynomial $h(x)=x^{6}+$ $2 x^{5}+2 x^{4}+2 x^{3}+x^{2}+1 .$

Let $a(x)=2 x^{5}+x^{4}+x^{2}$ and $b(x)=x^{4}+x^{3}+1$. It is then easily verified that $1=$ $a(x) g(x)+b(x) h(x)$. Hence
$$
e(x)=a(x) g(x) \bmod \left(x^{11}-1\right)=2 x^{10}+2 x^{8}+2 x^{7}+2 x^{6}+2 x^{2}
$$
which is the generating idempotent of $\mathcal{C}$. On the other hand, we have $g(x)=\operatorname{gcd}\left(e(x), x^{11}-\right.$ 1).

A generator matrix of a cyclic code can be derived from its generating idempotent as follows [1008, Theorem 4.3.6].

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Notation and Introduction

1.12 节简要介绍了有限域上的循环码。本章的目的是介绍有限域上几个重要的循环码族。我们将尽可能地遵循第 1 章的符号。

由一个[n,ķ,d]q代码,我们的意思是线性代码Fq有长度n, 方面ķ和最小距离d. 请注意,线性代码的最小距离等于代码的最小非零权重。线性码的参数是指它的长度、尺寸和最小距离。一个[n,ķ,d]q如果没有,则称代码是距离最优的(分别是维度最优的)[n,ķ,d+1]q(分别[n,ķ+1,d]q) 代码。通过最知名的参数[n,ķ]线性码超过Fq我们的意思是[n,ķ,d]q已知最大的代码d在[845]维护的线性代码表中报告。

在本章中,我们处理长度为的循环码n超过Fq并且总是假设gcd⁡(n,q)=1. 在这个假设下,Xn−1没有重复的因素Fq. 表示为C一世这q-分圆陪集模n包含一世为了0≤一世≤n−1. 放米=单词⁡n(q), 然后让C成为Fq米∗:=Fq米∖0. 定义一个=C(q米−1)/n. 然后一个是原始的nth 团结的根。的规范分解Xn−1超过Fq是(谁)给的

Xn−1=米一个一世0(X)米一个一世1(X)⋯米一个一世吨(X),

在哪里一世0,一世1,…,一世吨是代表q-分圆陪集模n, 和

米一个一世j(X)=∏H∈C一世j(X−一个H)
这是的最小多项式一个一世j超过Fq并且不可约Fq : .
在本章中,我们定义R(n,q)=Fq[X]/⟨Xn−1⟩并使用Tr⁡q米/q表示跟踪函数Fq米至Fq被定义为Tr⁡q米/q(X)=∑j=0米−1Xqj. 整数环模n表示为从n=0,1,…,n−1.

循环码是有限域上线性码的一个重要子类。它们的代数结构更丰富。由于它们的循环结构,它们与数论密切相关。此外,它们具有高效的编码和解码算法,是研究最多的线性码。事实上,大多数重要的线性码族要么是循环码,要么是扩展循环码。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Subfield Subcodes

让C豆[n,ķ]q±代码。子字段子代码C|Fq的C关于Fq是代码字的集合C每个组件都在Fq. 自从C是线性的Fq2,C|Fq是一个线性码Fq.

尺寸,表示ķq, 子域子代码 $\left.\mathcal{C}\right| {F {q}}米一个是n○吨H一个在和一个n和l和米和n吨一个r是r和l一个吨一世○n在一世吨H吨H一个吨○F吨H和C○d和\数学{C}.H○在和在和r,在和H一个在和吨H和F○ll○在一世nGl○在和r一个nd在pp和rb○在nds○n\kappa_{q}$

定理 2.2.1 令C豆[n,ķ]q吨代码。然后C|Fq是一个[n,ķq]代码结束Fq, 在哪里ķ≥ķq≥n−吨(n−ķ). 如果C有一个码字的基础Fqn, 那么这也是一个基础C|Fq和C|Fq有维度ķ.

例 2.2.2 汉明码H3,22超过F22有参数[21,18,3]4. 子字段子代码H3,22|F2是一个[21,16,3]2带有奇偶校验矩阵的代码

[100110011001111001101 010010110011010011001 001100110011001100110 000001111000000001111 000000000111111110000].在这种情况下,n=21,ķ=18, 和n−吨(n−ķ)=15. 因此ķq=16, 非常接近n−吨(n−ķ)=15.

下面称为德尔萨定理,它展示了子域子码和跟踪码之间的双重关系。该定理在线性码的设计和分析中非常有用。
定理 2.2.3 (Delsarte) 让C是长度的线性码n超过Fq∗. 然后

(C|Fq)⊥=Tr⁡q吨/q(C⊥),在哪里\operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(\mathcal{C}^{\perp}\right)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{t} / q }\left(v{1}\right), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(v{n}\right)\right) \mid\left(v_{1 }, \ldots, v_{n}\right) \in \mathcal{C}^{\perp}\right}\operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(\mathcal{C}^{\perp}\right)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{t} / q }\left(v{1}\right), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(v{n}\right)\right) \mid\left(v_{1 }, \ldots, v_{n}\right) \in \mathcal{C}^{\perp}\right}.
定理2.2.1和2.2.3适用于所有线性码,包括循环码。他们的证明可以在 [1008, Section 3.8] 中找到。我们稍后会需要它们。

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在 1.12 节中,证明了每个长度为n超过Fq可以由生成多项式生成G(X)∈Fq[X]. 本节的目的是描述有限域上循环码的其他几个基本结构。基本构造是指一种构造方法,它可以在任何有限域上生成每个循环码。

一个元素和在交换环中R被称为幂等如果和2=和. 戒指R(n,q)通常具有相当多的幂等性。除了它的生成多项式,许多其他多项式也可以生成循环码C. 让C是一个循环码Fq用生成多项式G(X). 很容易看出,多项式F(X)∈Fq[X]生成C当且仅当gcd⁡(F(X),Xn−1)=G(X).

如果一个幂等和(X)∈R(n,q)生成循环码C,则它在这个环中是唯一的,称为生成幂等。给定循环码的生成多项式,可以使用以下定理 [1008,定理 4.3.3] 计算其生成幂等性。定理 2.3.1 令C是长度的循环码n超过Fq用生成多项式G(X). 让H(X)=(Xn−1)/G(X). 然后gcd⁡(G(X),H(X))=1,因为假设gcd⁡(n,q)=1. 使用扩展欧几里得算法,计算两个多项式(X)∈Fq[X]和b(X)∈Fq[X]这样1=一个(X)G(X)+b(X)H(X). 然后和(X)=一个(X)G(X)反对(Xn−1)是生成幂等C.

多项式H(X)定理2.3.1称为奇偶校验多项式C. 给定循环码的生成幂等性,可以按如下方式获得该码的生成多项式 [1008,定理 4.3.3]。

定理 2.3.2 令C是一个循环码Fq生成幂等 e(x)。然后生成多项式C是(谁)给的G(X)=gcd⁡(和(X),Xn−1), 计算在Fq[X].
例 2.3.3 循环码C长度超过 11F3用生成多项式G(X)= X5+X4+2X3+X2+2有参数[11,6,5]和奇偶校验多项式H(X)=X6+ 2X5+2X4+2X3+X2+1.

让一个(X)=2X5+X4+X2和b(X)=X4+X3+1. 然后很容易验证1= 一个(X)G(X)+b(X)H(X). 因此

和(X)=一个(X)G(X)反对(X11−1)=2X10+2X8+2X7+2X6+2X2
这是生成幂等C. 另一方面,我们有G(X)=gcd⁡(和(X),X11− 1).

循环码的生成矩阵可以从其生成幂等推导出如下 [1008,定理 4.3.6]。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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