数学代写|编码理论代写Coding theory代考|ELEN90030

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Dimensions of BCH Codes

The dimension of the BCH code $\mathcal{C}_{(q, n, \delta, b)}$ with defining set $T(b, \delta)$ in $(2.2)$ is $n-|T(b, \delta)|$. Since $|T(b, \delta)|$ may have a very complicated relation with $n, q, b$ and $\delta$, the dimension of the BCH code cannot be given exactly in terms of these parameters. The best one can do in general is to develop tight lower bounds on the dimension of $\mathrm{BCH}$ codes. The next theorem introduces such bounds [1008, Theorem 5.1.7].

Theorem 2.6.8 Let $\mathcal{C}$ be an $[n, \kappa] B C H$ code over $\mathbb{F}{q}$ of designed distance $\delta$. Then the following statements hold. (a) $\kappa \geq n-\operatorname{ord}{n}(q)(\delta-1)$.
(b) If $q=2$ and $\mathcal{C}$ is a narrow-sense $B C H$ code, then $\delta$ can be assumed odd; furthermore if $\delta=2 w+1$, then $\kappa \geq n-\operatorname{ord}_{n}(q) w$.

The bounds in Theorem 2.6.8 may not be improved for the general case, as demonstrated by the following example. However, in some special cases, they could be improved.

Example 2.6.9 Note that $m=\operatorname{ord}{15}(2)=4$, and the 2-cyclotomic cosets modulo 15 are $$ \begin{aligned} &C{0}={0}, C_{1}={1,2,4,8}, C_{3}={3,6,9,12}, \
&C_{5}={5,10}, C_{7}={7,11,13,14} .
\end{aligned}
$$
Let $\gamma$ be a generator of $\mathbb{F}_{2^{4}}^{*}$ with $\gamma^{4}+\gamma+1=0$ and let $\alpha=\gamma^{\left(2^{4}-1\right) / 15}=\gamma$ be the primitive $15^{\text {th }}$ root of unity.

When $(b, \delta)=(0,3)$, the defining set $T(b, \delta)={0,1,2,4,8}$, and the binary cyclic code has parameters $[15,10,4]$ and generator polynomial $x^{5}+x^{4}+x^{2}+1$. In this case, the actual minimum weight is more than the designed distance, and the dimension is larger than the bound in Theorem 2.6.8(a).

When $(b, \delta)=(1,3)$, the defining set $T(b, \delta)={1,2,4,8}$, and the binary cyclic code has parameters $[15,11,3]$ and generator polynomial $x^{4}+x+1$. It is a narrow-sense BCH code. In this case, the actual minimum weight is equal to the designed distance, and the dimension reaches the bound in Theorem $2.6 .8(\mathrm{~b})$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Other Aspects of BCH Codes

The automorphism groups of BCH codes in most cases are open, but are known in some cases [161]. The weight distributions of the cosets of some BCH codes were considered in $[386,387,388]$. This problem is as hard as the determination of the weight distributions of $\mathrm{BCH}$ codes. The dual of a BCH code may not be a BCH code. An interesting problem is to characterise those $\mathrm{BCH}$ codes whose duals are also $\mathrm{BCH}$ codes.

Almost all references on BCH codes are about the primitive case. Only a few references on BCH codes with lengths $n=\left(q^{m}-1\right) /(q-1)$ or $n=q^{\ell}+1$ exist in the literature $[1246,1247,1277]$. Most BCH codes have never been investigated. This is due to the fact that the $q$-cyclotomic cosets modulo $n$ are very irregular and behave very badly in most cases. For example, in most cases it is extremely difficult to determine the largest coset leader, not to mention the dimension and minimum distance of a $\mathrm{BCH}$ code. This partially explains the difficulty in researching into $\mathrm{BCH}$ codes. A characteristic of $\mathrm{BCH}$ codes is that it is hard in general to determine both the dimension and minimum distance of a BCH code.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Duadic Codes

Duadic codes are a family of cyclic codes and are generalizations of the quadratic residue codes. Binary duadic codes were defined in [1220] and were generalized to arbitrary finite fields in $[1517,1519]$. Some duadic codes have very good parameters, while some have very bad parameters. The objective of this section is to give a brief introduction of duadic codes.
As before, let $n$ be a positive integer and $q$ a prime power with $\operatorname{gcd}(n, q)=1$. Let $S_{1}$ and $S_{2}$ be two subsets of $\mathbb{Z}_{n}$ such that

  • $S_{1} \cap S_{2}=\emptyset$ and $S_{1} \cup S_{2}=\mathbb{Z}_{n} \backslash{0}$, and
  • both $S_{1}$ and $S_{2}$ are a union of some $q$-cyclotomic cosets modulo $n$.
    If there is a unit $\mu \in \mathbb{Z}{n}$ such that $S{1} \mu=S_{2}$ and $S_{2} \mu=S_{1}$, then $\left(S_{1}, S_{2}, \mu\right)$ is called a splitting of $\mathbb{Z}_{n}$.

Recall that $m:=\operatorname{ord}{n}(q)$ and $\alpha$ is a primitive $n^{\text {th }}$ root of unity in $\mathbb{F}{q^{m}}$. Let $\left(S_{1}, S_{2}, \mu\right)$ be a splitting of $\mathbb{Z}{n}$. Define $$ g{i}(x)=\prod_{i \in S_{i}}\left(x-\alpha^{i}\right) \text { and } \tilde{g}{i}(x)=(x-1) g{i}(x)
$$
for $i \in{1,2}$. Since both $S_{1}$ and $S_{2}$ are unions of $q$-cyclotomic cosets modulo $n$, both $g_{1}(x)$ and $g_{2}(x)$ are polynomials over $\mathbb{F}{q}$. The pair of cyclic codes $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$ of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomials $g_{\widetilde{r}}(x)$ and $g_{2}(x)$ are called odd-like duadic codes, and the pair of cyclic codes $\widetilde{\mathcal{C}}{1}$ and $\widetilde{\mathcal{C}}{2}$ of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomials $\tilde{g}{1}(x)$ and $\widetilde{g}_{2}(x)$ are called even-like duadic codes.

By definition, $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$ have parameters $[n,(n+1) / 2]$ and $\widetilde{\mathcal{C}}{1}$ and $\widetilde{\mathcal{C}}{2}$ have parameters $[n,(n-1) / 2]$. For odd-like duadic codes, we have the following result [1008, Theorem 6.5.2].
Theorem 2.7.1 (Square Root Bound) Let $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$ be a pair of odd-like duadic codes of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$. Let $d{o}$ be their (common) minimum odd-like weight. Then the following hold.
(a) $d_{o}^{2} \geq n$.
(b) If the splitting defining the duadic codes is given by $\mu=-1$, then $d_{o}^{2}-d_{o}+1 \geq n$.
(c) Suppose $d_{o}^{2}-d_{o}+1=n$, where $d_{o}>2$, and assume that the splitting defining the duadic codes is given by $\mu=-1$. Then $d_{o}$ is the minimum weight of both $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$.

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Dimensions of BCH Codes

BCH码的维度C(q,n,d,b)带有定义集吨(b,d)在(2.2)是n−|吨(b,d)|. 自从|吨(b,d)|可能有很复杂的关系n,q,b和d,BCH码的维数不能根据这些参数准确给出。一般来说,最好的方法是在维度上制定严格的下界乙CH代码。下一个定理引入了这样的界限[1008,定理 5.1.7]。

定理 2.6.8 让C豆[n,ķ]乙CH代码结束Fq设计距离d. 那么下面的陈述成立。(一个)ķ≥n−单词⁡n(q)(d−1).
(b) 如果q=2和C是狭义的乙CH代码,然后d可以假设为奇数;此外,如果d=2在+1, 然后ķ≥n−单词n⁡(q)在.

对于一般情况,定理 2.6.8 中的界限可能不会得到改进,如以下示例所示。但是,在某些特殊情况下,它们可以改进。

示例 2.6.9 请注意米=单词⁡15(2)=4, 模 15 的 2-分圆陪集是

C0=0,C1=1,2,4,8,C3=3,6,9,12, C5=5,10,C7=7,11,13,14.
让C成为F24∗和C4+C+1=0然后让一个=C(24−1)/15=C成为原始人15th 团结的根。

什么时候(b,d)=(0,3), 定义集吨(b,d)=0,1,2,4,8, 二进制循环码有参数[15,10,4]和生成多项式X5+X4+X2+1. 在这种情况下,实际最小权重大于设计距离,尺寸大于定理2.6.8(a)中的界限。

什么时候(b,d)=(1,3), 定义集吨(b,d)=1,2,4,8, 二进制循环码有参数[15,11,3]和生成多项式X4+X+1. 这是一个狭义的 BCH 代码。在这种情况下,实际最小重量等于设计距离,并且尺寸达到定理中的界限2.6.8( b).

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Other Aspects of BCH Codes

BCH 码的自同构群在大多数情况下是开放的,但在某些情况下是已知的 [161]。一些 BCH 码的陪集的权重分布在[386,387,388]. 这个问题和确定权重分布一样困难乙CH代码。BCH 码的对偶可能不是 BCH 码。一个有趣的问题是描述那些乙CH对偶也是乙CH代码。

几乎所有关于 BCH 代码的参考资料都是关于原始情况的。只有少数关于 BCH 代码的参考文献n=(q米−1)/(q−1)或者n=qℓ+1存在于文献中[1246,1247,1277]. 大多数 BCH 代码从未被调查过。这是因为q-分圆陪集模n在大多数情况下非常不规则并且表现非常糟糕。例如,在大多数情况下,确定最大陪集首领是极其困难的,更不用说确定一个陪集首领的维度和最小距离了。乙CH代码。这部分解释了研究的困难乙CH代码。的一个特点乙CH代码的特点是,通常很难确定 BCH 代码的维度和最小距离。

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二元码是循环码族,是二次余数码的推广。二进制二元码在 [1220] 中定义,并被推广到任意有限域[1517,1519]. 一些二元代码具有非常好的参数,而有些则具有非常糟糕的参数。本节的目的是简要介绍二元代码。
和以前一样,让n是一个正整数并且q一个主要的力量gcd⁡(n,q)=1. 让小号1和小号2是两个子集从n这样

  • 小号1∩小号2=∅和小号1∪小号2=从n∖0, 和
  • 两个都小号1和小号2是一些人的联合q-分圆陪集模n.
    如果有单位μ∈从n这样小号1μ=小号2和小号2μ=小号1, 然后(小号1,小号2,μ)被称为分裂从n.

回顾米:=单词⁡n(q)和一个是原始的nth 团结的根源Fq米. 让(小号1,小号2,μ)是一个分裂从n. 定义

G一世(X)=∏一世∈小号一世(X−一个一世) 和 G~一世(X)=(X−1)G一世(X)
为了一世∈1,2. 由于两者小号1和小号2是工会q-分圆陪集模n, 两个都G1(X)和G2(X)是多项式Fq. 循环码对C1和C2长度n超过Fq生成多项式Gr~(X)和G2(X)被称为奇数二元码,而这对循环码C~1和C~2长度n超过Fq生成多项式G~1(X)和G~2(X)被称为偶数二元码。

根据定义,C1和C2有参数[n,(n+1)/2]和C~1和C~2有参数[n,(n−1)/2]. 对于类似奇数的二元码,我们有以下结果 [1008, Theorem 6.5.2]。
定理 2.7.1(平方根界)让C1和C2是一对长度为奇数的二元码n超过Fq. 让d○是他们的(常见的)最小奇数重量。然后以下保持。
(一个)d○2≥n.
(b) 如果定义二元码的分裂由下式给出μ=−1, 然后d○2−d○+1≥n.
(c) 假设d○2−d○+1=n, 在哪里d○>2,并假设定义二元码的分裂由下式给出μ=−1. 然后d○是两者的最小权重C1和C2.

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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