数学代写|编码理论代写Coding theory代考|ELEN90030

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。各种科学学科,如信息论、电气工程、数学、语言学和计算机科学,都对编码进行了研究,目的是设计高效和可靠的数据传输方法。这通常涉及消除冗余和纠正或检测传输数据中的错误。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Asymptotic Bounds

We now describe what happens to the bounds, excluding the Griesmer Bound, as the code length approaches infinity; these bounds are termed asymptotic bounds. We first need some terminology.

Definition 1.9.26 The information rate, or simply rate, of an $(n, M, d){q}$ code is defined to be $\frac{\log {q} M}{n}$. If the code is actually an $[n, k, d]_{q}$ linear code, its rate is $\frac{k}{n}$, measuring the number of information coordinates relative to the total number of coordinates. In either the linear or nonlinear case, the higher the rate, the higher the proportion of coordinates in a codeword that actually contain information rather than redundancy. The ratio $\frac{d}{n}$ is called the relative distance of the code; as we will see later, the relative distance is a measure of the error-correcting capability of the code relative to its length.

Each asymptotic bound will be either an upper or lower bound on the largest possible rate for a family of (possibly nonlinear) codes over $\mathbb{F}{q}$ of lengths going to infinity with relative distances approaching $\delta$. The function, called the asymptotic normalized rate function, that determines this rate is $$ \alpha{q}(\delta)=\limsup {n \rightarrow \infty} \frac{\log {q} A_{q}(n, \delta n)}{n} .
$$
As the exact value of $\alpha_{q}(\delta)$ is unknown, we desire upper and lower bounds on this function. An upper bound would indicate that all families with relative distances approaching $\delta$ have rates, in the limit, at most this upper bound. A lower bound indicates that there exists a family of codes of lengths approaching infinity and relative distances approaching $\delta$ whose rates are at least this bound. Three of the bounds in the next theorem involve the entropy function.
Definition 1.9.27 The entropy function is defined for $0 \leq x \leq r=1-q^{-1}$ by
$$
H_{q}(x)= \begin{cases}0 & \text { if } x=0, \ x \log {q}(q-1)-x \log {q} x-(1-x) \log _{q}(1-x) & \text { if } 02$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Hamming Codes

A binary code permutation equivalent to the code of Example $1.4 .9$ was discovered in 1947 by R. W. Hamming while working at Bell Telephone Laboratories. Because of patent considerations, his work was not published until 1950 ; see [895]. This Hamming code actually appeared earlier in C. E. Shannon’s seminal paper [1661]. It was also generalized to codes over fields of prime order by M. J. E. Golay [820].

Given a positive integer $m$, if one takes an $m \times n$ binary matrix whose columns are nonzero and distinct, the binary code with this parity check matrix must have minimum weight at least 3 by Theorem 1.6.11. Binary Hamming codes $\mathcal{H}_{m, 2}$ arise by choosing an $m \times n$ parity check matrix with the maximum number of columns possible that are distinct and nonzero.

Definition 1.10.1 Let $m \geq 2$ be an integer and $n=2^{m}-1$. Let $H_{m, 2}$ be an $m \times n$ matrix whose columns are all $2^{m}-1$ distinct nonzero binary $m$-tuples. A code with this parity check matrix is called a binary Hamming code. Changing the column order of $H_{m, 2}$ produces a set of pairwise permutation equivalent codes. Any code in this list is denoted $\mathcal{H}{m, 2}$ and is a $\left[2^{m}-1,2^{m}-1-m, 3\right]{2}$ code.

The code $\mathcal{H}{3,2}$ of Example $1.4 .9$ is indeed a binary Hamming code. These codes are generalized to Hamming codes $\mathcal{H}{m, q}$ over $\mathbb{F}_{q}$, all with minimum weight 3 again from Theorem 1.6.11.

Definition 1.10.2 Let $m \geq 2$ be an integer and $n=\left(q^{m}-1\right) /(q-1)$. There are a total of $n$ 1-dimensional subspaces of $\mathbb{F}{q}^{m}$. Let $H{m, q}$ be an $m \times n$ matrix whose columns are all nonzero $m$-tuples with one column from each of the distinct 1-dimensional subspaces of $F_{q}^{m}$. A code with this parity check matrix is called a Hamming code over $\mathbb{F}{q}$. Re-scaling columns and/or changing column order of $H{m, q}$ produces a set of pairwise monomially equivalent codes. Any code in this list is denoted $\mathcal{H}{m, q}$ and is a $\left[\left(q^{m}-1\right) /(q-1),\left(q^{m}-1\right) /(q-1)-m, 3\right]{q}$ code. The code $\mathcal{H}{m, q}^{\perp}$ is called a simplex code. Example 1.10.3 The parity check matrix of the code in Example 1.9.14 is $$ \left[\begin{array}{cc|cc} -1 & -1 & 1 & 0 \ -1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right] . $$ This code satisfies the definition of a Hamming $[4,2,3]{3}$ code, and so $\mathcal{H}_{2,3}$ is the appropriate labeling of this code.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Reed-Muller Codes

In 1954 the binary Reed-Muller codes were first constructed and examined by D. E. Muller [1409], and a majority logic decoding algorithm for them was described by I. S. Reed [1581]. The non-binary Reed-Muller codes, called generalized Reed-Muller codes, were developed in $[1089,1887]$; see also Example 16.4.11 and Section 2.8. We define binary Reed-Muller codes recursively based on the $(\mathbf{u} \mid \mathbf{u}+\mathbf{v})$ construction; see [1323]. Other constructions of Reed-Muller codes can be found in Chapters 2,16 , and 20 .

Definition 1.11.1 For $i \in{1,2}$, let $\mathcal{C}{i}$ be linear codes both of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$. The $(\mathbf{u} \mid \mathbf{u}+\mathbf{v})$ construction produces the linear code $\mathcal{C}$ of length $2 n$ given by $\mathcal{C}={(\mathbf{u}, \mathbf{u}+\mathbf{v}) \mid$ $\left.\mathbf{u} \in \mathcal{C}{1}, \mathbf{v} \in \mathcal{C}{2}\right}$

Remark 1.11.2 Let $\mathcal{C}{i}$, for $i \in{1,2}$, be $\left[n, k{i}, d_{i}\right]{q}$ codes with generator and parity check matrices $G{i}$ and $H_{i}$, respectively. $\mathcal{C}$ obtained by the $(\mathbf{u} \mid \mathbf{u}+\mathbf{v})$ construction is a $\left[2 n, k_{1}+\right.$ $\left.k_{2}, \min \left{2 d_{1}, d_{2}\right}\right]{q}$ code with generator and parity check matrices $$ G=\left[\begin{array}{c|c} G{1} & G_{1} \
\hline \mathbf{0}{k{2} \times n} & G_{2}
\end{array}\right] \text { and } H=\left[\begin{array}{c|c}
H_{1} & \mathbf{0}{\left(n-k{1}\right) \times n} \
\hline-H_{2} & H_{2}
\end{array}\right]
$$
We now define the binary Reed-Muller codes.
Definition 1.11.3 Let $r$ and $m$ be integers with $0 \leq r \leq m$ and $1 \leq m$. The $r^{\text {th }}$ order binary Reed-Muller (RM) code of length $2^{m}$, denoted $\mathcal{R} \mathcal{M}(r, m)$, is defined recursively. The code $\mathcal{R} \mathcal{M}(0, m)={\mathbf{0}, 1}$, the $\left[2^{m}, 1,2^{m}\right]{2}$ binary repetition code, and $\mathcal{R} \mathcal{M}(m, m)=\mathbb{F}{q}^{2^{m}}$, a $\left[2^{m}, 2^{m}, 1\right]_{2}$ code. For $1 \leq r<m$, define
$$
\mathcal{R} \mathcal{M}(r, m)={(\mathbf{u}, \mathbf{u}+\mathbf{v}) \mid \mathbf{u} \in \mathcal{R} \mathcal{M}(r, m-1), \mathbf{v} \in \mathcal{R} \mathcal{M}(r-1, m-1)}
$$

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Asymptotic Bounds

我们现在描述当代码长度接近无穷大时边界会发生什么,不包括 Griesmer 边界;这些界限被称为渐近界限。我们首先需要一些术语。

定义 1.9.26 信息速率,或简称为速率,(n,米,d)q代码被定义为日志⁡q米n. 如果代码实际上是[n,ķ,d]q线性码,其速率为ķn,测量相对于坐标总数的信息坐标数。在线性或非线性情况下,速率越高,码字中实际包含信息而不是冗余的坐标比例就越高。比例dn称为代码的相对距离;正如我们稍后将看到的,相对距离是代码相对于其长度的纠错能力的量度。

每个渐近界将是一系列(可能是非线性)代码的最大可能速率的上限或下限Fq随着相对距离的接近,长度趋于无穷d. 确定该速率的函数称为渐近归一​​化速率函数是

一个q(d)=林汤n→∞日志⁡q一个q(n,dn)n.
作为准确值一个q(d)是未知的,我们需要这个函数的上限和下限。一个上限将表明所有相对距离接近的家庭d有率,在极限内,至多这个上限。下界表示存在一系列长度接近无穷大且相对距离接近d他们的利率至少是这个界限。下一个定理中的三个界限涉及熵函数。
定义 1.9.27 熵函数定义为0≤X≤r=1−q−1由
$$
H_{q}(x)= \begin{cases}0 & \text { if } x=0, \ x \log {q}(q-1)-x \log {q} x-(1 -x) \log _{q}(1-x) & \text { 如果 } 02$。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Hamming Codes

等效于示例代码的二进制代码排列1.4.9由 RW Hamming 于 1947 年在贝尔电话实验室工作时发现。由于专利的考虑,他的作品直到 1950 年才出版;见[895]。这个汉明码实际上早先出现在 CE Shannon 的开创性论文 [1661] 中。它也被 MJE Golay [820] 推广到素数域上的代码。

给定一个正整数米, 如果一个人拿米×n根据定理 1.6.11,其列非零且不同的二进制矩阵,具有该奇偶校验矩阵的二进制码必须具有至少 3 的最小权重。二进制汉明码H米,2通过选择一个米×n具有最大可能不同且非零列数的奇偶校验矩阵。

定义 1.10.1 让米≥2是一个整数并且n=2米−1. 让H米,2豆米×n列全部为的矩阵2米−1不同的非零二进制米-元组。具有这种奇偶校验矩阵的代码称为二进制汉明码。更改的列顺序H米,2产生一组成对置换等效码。此列表中的任何代码都表示H米,2并且是一个[2米−1,2米−1−米,3]2代码。

编码H3,2示例1.4.9确实是二进制汉明码。这些代码被推广到汉明码H米,q超过Fq,从定理 1.6.11 再次具有最小权重 3。

定义 1.10.2 让米≥2是一个整数并且n=(q米−1)/(q−1). 共有n的一维子空间Fq米. 让H米,q豆米×n列全部为非零的矩阵米- 元组中每个不同的一维子空间中的一列Fq米. 具有这种奇偶校验矩阵的代码称为汉明码Fq. 重新缩放列和/或更改列顺序H米,q产生一组成对的单项式等价码。此列表中的任何代码都表示H米,q并且是一个[(q米−1)/(q−1),(q米−1)/(q−1)−米,3]q代码。编码H米,q⊥称为单纯形码。例 1.10.3 例 1.9.14 中代码的奇偶校验矩阵为

[−1−110 −1101].该代码满足汉明的定义[4,2,3]3代码,等等H2,3是此代码的适当标记。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Reed-Muller Codes

1954 年,DE Muller [1409] 首次构建和检查了二进制 Reed-Muller 码,IS Reed [1581] 描述了它们的多数逻辑解码算法。非二进制 Reed-Muller 码,称为广义 Reed-Muller 码,是在[1089,1887]; 另见示例 16.4.11 和第 2.8 节。我们基于递归定义二进制 Reed-Muller 码(在∣在+在)建造; 见[1323]。Reed-Muller 码的其他结构可以在第 2,16 和 20 章中找到。

定义 1.11.1 对于一世∈1,2, 让C一世都是长度的线性码n超过Fq. 这(在∣在+在)构造产生线性代码C长度2n由\mathcal{C}={(\mathbf{u}, \mathbf{u}+\mathbf{v}) \mid$ $\left.\mathbf{u} \in \mathcal{C}{1}, \ mathbf{v} \in \mathcal{C}{2}\right}\mathcal{C}={(\mathbf{u}, \mathbf{u}+\mathbf{v}) \mid$ $\left.\mathbf{u} \in \mathcal{C}{1}, \ mathbf{v} \in \mathcal{C}{2}\right}

备注 1.11.2 让C一世, 为了一世∈1,2, 是[n,ķ一世,d一世]q带有生成器和奇偶校验矩阵的代码G一世和H一世, 分别。C获得的(在∣在+在)建筑是一个[2n,ķ1+ \left.k_{2}, \min \left{2 d_{1}, d_{2}\right}\right]{q}\left.k_{2}, \min \left{2 d_{1}, d_{2}\right}\right]{q}带有生成器和奇偶校验矩阵的代码

G=\left[\begin{array}{c|c} G{1} & G_{1} \ \hline \mathbf{0}{k{2} \times n} & G_{2} \end{array }\right] \text { 和 } H=\left[\begin{array}{c|c} H_{1} & \mathbf{0}{\left(nk{1}\right) \times n} \ \hline-H_{2} & H_{2} \end{array}\right]G=\left[\begin{array}{c|c} G{1} & G_{1} \ \hline \mathbf{0}{k{2} \times n} & G_{2} \end{array }\right] \text { 和 } H=\left[\begin{array}{c|c} H_{1} & \mathbf{0}{\left(nk{1}\right) \times n} \ \hline-H_{2} & H_{2} \end{array}\right]
我们现在定义二进制 Reed-Muller 码。
定义 1.11.3 让r和米是整数0≤r≤米和1≤米. 这rth 顺序二进制 Reed-Muller (RM) 代码长度2米, 表示R米(r,米), 是递归定义的。编码R米(0,米)=0,1, 这[2米,1,2米]2二进制重复码,和R米(米,米)=Fq2米, 一个[2米,2米,1]2代码。为了1≤r<米, 定义

R米(r,米)=(在,在+在)∣在∈R米(r,米−1),在∈R米(r−1,米−1)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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