数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MTH3018

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Equivalence and Isomorphism

The concepts of equivalence and isomorphism of codes are briefly discussed in Section 1.8. Generally, the term symmetry covers both of those concepts, especially when considering maps from a code onto itself, that is, automorphisms. Namely, such maps lead to groups under composition, and groups are essentially about symmetries. The group formed by all automorphisms of a code is, whenever the type of automorphisms is understood, simply called the automorphism group of the code. A subgroup of the automorphism group is called a group of automorphisms.

Symmetries play a central role when constructing as well as classifying codes: several types of constructions are essentially about prescribing symmetries, and one core part of classification is about dealing with maps and symmetries.

On a high level of abstraction, the same questions are asked for linear and unrestricted codes and analogous techniques are used. On a detailed level, however, there are significant differences between those two types of codes.

Consider codes of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$. We have seen in Definition $1.8 .8$ that equivalence of unrestricted codes is about permuting coordinates and the elements of the alphabet, individually within each coordinate. All such maps form a group that is isomorphic to the wreath product $\mathrm{S}{q} \geq \mathrm{S}{n}$. For linear codes on the other hand, the concepts of permutation equivalence, monomial equivalence, and equivalence lead to maps that form groups isomorphic to $\mathrm{S}{n}, \mathbb{F}{q}^{}\left\langle\mathrm{~S}{n}\right.$, and the semidirect product $\left(\mathbb{F}{q}^{}\left\langle\mathrm{~S}{n}\right) \rtimes_{\theta}\right.$ Aut $\left(\mathbb{F}{q}\right)$, respectively, where $\mathbb{F}{q}^{}$ is the multiplicative group of $\mathbb{F}{q}$ and $\theta: \operatorname{Aut}\left(\mathbb{F}{q}\right) \rightarrow \operatorname{Aut}\left(\mathbb{F}{q}^{} \backslash \mathrm{S}{n}\right)$ is a group homomorphism.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Prescribing Symmetries

A code of size $M$ is a subset of $M$ vectors from the $n$-dimensional vector space over $\mathbb{F}{q}$ which fulfills some requirements depending on the type of code. The number of ways to choose $M$ arbitrary vectors from such a space is $\left({ }^{q}\right)$, which becomes astronomically large already for rather small parameters. (This is obviously the total number of $(n, M){q}$ codes.) Although no general conclusion regarding the hardness of solving construction and classification problems can be drawn from this number, the number does give a clue that the limit of what is feasible might be reached quite early. Indeed, this is what happens, but perhaps not as early as one would think.

Example 3.2.2 In some special cases – in particular, for perfect codes quite large unrestricted codes have been classified, such as the $(23,4096,7){2}$ code (the binary Golay code is unique $[1732]$; see also $[525]$ ) and the $(15,2048,3){2}$ codes (with the parameters of a Hamming code; there are 5983 such codes [1472]).

But what can be done if we go beyond parameters for which the size of an optimal code can be determined and the optimal codes can be classified? Analytical upper bounds and constructive lower bounds on the size of codes can still be used. One way to speed up computer-aided constructive techniques-some of which are discussed in Chapter 23 -is to restrict the search by imposing a structure on the codes. This is a two-edged sword: the search space is reduced, but good codes might not have that particular structure. Hence some experience is of great help in tuning the search. A very common approach is that of prescribing symmetries (automorphisms).

Remark 3.2.3 In the discussion of groups in the context of automorphism groups of codes, we are not only interested in the abstract group but in the group and its action. This is implicitly understood in the sequel when talking about one particular group or all groups of certain orders. For example, “prescribing a group” means “prescribing a group and its action” and “considering all groups” means “considering all groups and all possible actions of those groups”.

By prescribing a group $G$, the $n$-dimensional vector space is partitioned into orbits of vectors. The construction problem then becomes a problem of finding a set of those orbits rather than finding a set of individual vectors. It must further be checked that the orbits themselves are feasible; an orbit whose codewords do not fulfill the minimum distance criterion can be discarded immediately.

Remark 3.2.4 An $[n, k]_{q}$ linear code can be viewed as an unrestricted code which contains the all-zero codeword and has a particular group of automorphisms $G$ of order $q^{k}$, which only permutes elements of the alphabet, individually within each coordinate.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Some Central Classes of Codes

By Definition 1.9.1, the maximum size of error-correcting codes with length $n$ and minimum distance $d$ are given by the functions $A_{q}(n, d)$ and $B_{q}(n, d)$ for unrestricted and linear codes, respectively. Most general bounds on these functions, such as those in Section 1.9,

consider upper bounds and are about nonexistence of codes. Lower bounds, on the other hand, are typically obtained by constructing explicit codes. Especially for small parameters, many best known codes have been obtained on a case-by-case basis. One possible approach for finding such codes is that of prescribing symmetries as discussed in Section $3.2 .1-$ and carrying out a computer search; see Chapter $23 .$

In some rare situations, there exist codes that attain some general upper bounds. For such parameters, the problem of finding the size of an optimal code is then settled. When this occurs and the upper bound is the Sphere Packing Bound, we get perfect codes (Definition 1.9.8), and when the upper bound is the Singleton Bound, we get maximum distance separable (MDS) codes (Definition 1.9.12). In this section we will take a glance at these two types of codes as well as general binary linear and unrestricted codes.

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Equivalence and Isomorphism

代码的等价和同构的概念在 1.8 节中简要讨论。一般来说,对称性一词涵盖了这两个概念,特别是在考虑从代码到自身的映射时,即自同构。即,这样的映射导致组合下的组,而组本质上是关于对称的。由代码的所有自同构组成的群,只要理解自同构的类型,就简称为代码的自同构群。自同构群的一个子群称为自同构群。

对称性在构造和分类代码时起着核心作用:几种类型的构造本质上是关于规定对称性的,而分类的一个核心部分是关于处理映射和对称性。

在高度抽象上,对线性和无限制代码提出了相同的问题,并使用了类似的技术。然而,在细节层面上,这两种代码之间存在显着差异。

考虑长度代码n超过Fq. 我们已经在定义中看到1.8.8无限制代码的等效性是关于在每个坐标中单独置换坐标和字母表的元素。所有这些映射形成一个与花环产品同构的组小号q≥小号n. 另一方面,对于线性码,置换等价、单项等价和等价的概念导致形成群同构的映射小号n,Fq⟨ 小号n, 和半直积(Fq⟨ 小号n)⋊θ或者(Fq),分别在哪里Fq是乘法群Fq和θ:或者⁡(Fq)→或者⁡(Fq∖小号n)是群同态。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Prescribing Symmetries

尺寸码米是的一个子集米来自的向量n维向量空间Fq根据代码的类型,它满足一些要求。选择方式的数量米来自这样一个空间的任意向量是(q),对于相当小的参数,它已经变得非常大。(这显然是总数(n,米)q代码。)虽然不能从这个数字得出关于解决构造和分类问题的难度的一般结论,但这个数字确实提供了一个线索,即可能很早就达到可行的极限。确实,这就是发生的事情,但可能不像人们想象的那么早。

示例 3.2.2 在某些特殊情况下——特别是对于完美代码,已经对相当大的无限制代码进行了分类,例如(23,4096,7)2代码(二进制 Golay 代码是唯一的[1732]; 也可以看看[525]) 和(15,2048,3)2代码(带有汉明码的参数;有 5983 个这样的代码 [1472])。

但是,如果我们超出了可以确定最优码大小和可以分类最优码的参数,还能做些什么呢?仍然可以使用代码大小的分析上限和建设性下限。加速计算机辅助构造技术的一种方法——其中一些将在第 23 章中讨论——是通过在代码上施加结构来限制搜索。这是一把双刃剑:搜索空间减少了,但好的代码可能没有那种特定的结构。因此,一些经验对调整搜索有很大帮助。一种非常常见的方法是规定对称性(自同构)。

备注 3.2.3 在代码自同构群的上下文中讨论群时,我们不仅对抽象群感兴趣,而且对群及其动作感兴趣。当谈论一个特定的组或某些命令的所有组时,这在续集中被隐含地理解了。例如,“规定一个群体”是指“规定一个群体及其行动”,“考虑所有群体”是指“考虑所有群体和这些群体的所有可能行动”。

通过开一组G, 这n维向量空间被划分为向量的轨道。然后构造问题变成了找到一组这些轨道而不是找到一组单独的向量的问题。必须进一步检查轨道本身是否可行;可以立即丢弃其码字不满足最小距离标准的轨道。

备注 3.2.4 一个[n,ķ]q线性码可以看作是一个无限制的码,它包含全零码字并具有一组特定的自同构G有秩序的qķ,它仅在每个坐标内单独置换字母表的元素。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Some Central Classes of Codes

由定义1.9.1,纠错码的最大长度与长度n和最小距离d由函数给出一个q(n,d)和乙q(n,d)分别用于无限制和线性代码。这些函数的最一般界限,例如第 1.9 节中的界限,

考虑上限并且关于不存在代码。另一方面,下界通常是通过构造显式代码获得的。特别是对于小参数,许多最知名的代码已经在逐个案例的基础上获得。找到此类代码的一种可能方法是规定对称性,如第 1 节所述3.2.1−并进行计算机搜索;见章节23.

在极少数情况下,存在达到某些一般上限的代码。对于这样的参数,然后解决找到最佳代码大小的问题。当这种情况发生并且上限是 Sphere Packing Bound 时,我们会得到完美代码(定义 1.9.8),而当上限是 Singleton Bound 时,我们会得到最大距离可分(MDS)代码(定义 1.9.12)。在本节中,我们将了解这两种类型的代码以及一般的二进制线性和无限制代码。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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