数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MTH4107

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MTH4107

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Constructions of Codes with Prescribed Automorphisms

Huffman and Yorgov (see $[999,1928,1929]$ ) developed a method for constructing binary self-dual codes via an automorphism of odd prime order. Their method was extended by other authors for automorphisms of odd composite order and for automorphisms of order 2 $[272,281,616]$.

Huffman has also studied the properties of the linear codes over $\mathbb{F}{q}$, having an automorphism of prime order $p$ coprime with $q[1000]$. Further, he has continued with Hermitian and additive self-dual codes over $\mathbb{F}{4}[1001,1006]$, and with self-dual codes over rings $[1004,1007]$.
Let $\mathcal{C}$ be a binary self-dual code of length $n$ with an automorphism $\sigma$ of prime order $p \geq 3$ with exactly $c$ independent $p$-cycles and $f=n-c p$ fixed points in its decomposition. We may assume that
$$
\sigma=(1,2, \cdots, p)(p+1, p+2, \cdots, 2 p) \cdots((c-1) p+1,(c-1) p+2, \cdots, c p)
$$
and say that $\sigma$ is of type $p-(c, f)$. We present the main theorems about the structure of such a code. This structure has been used by many authors in order to construct optimal self-dual codes with different parameters.

Theorem 4.4.20 ([999]) Let $\mathcal{C}$ be a binary $[n, n / 2]$ code with automorphism $\sigma$ from (4.3). Let $\Omega_{1}={1,2, \ldots, p}, \ldots, \Omega_{c}={(c-1) p+1,(c-1) p+2, \ldots, c p}$ denote the cycles of $\sigma$, and let $\Omega_{c+1}={c p+1}, \ldots, \Omega_{c+f}={c p+f=n}$ be the fixed points of $\sigma$. Define
$$
\begin{aligned}
&F_{\sigma}(\mathcal{C})={\mathbf{v} \in \mathcal{C} \mid \sigma(\mathbf{v})=\mathbf{v}} \
&E_{\sigma}(\mathcal{C})=\left{\mathbf{v} \in \mathcal{C} \mid \mathbf{w t}{\mathrm{H}}\left(\mathbf{v} \mid \Omega{i}\right) \equiv 0 \quad(\bmod 2), i=1,2, \ldots, c+f\right}
\end{aligned}
$$
where $\mathbf{v}{\mid \Omega{i}}$ is the restriction of $\mathbf{v}$ on $\Omega_{i} .$ Then $\mathcal{C}=F_{\sigma}(\mathcal{C}) \oplus E_{\sigma}(\mathcal{C}), \operatorname{dim}\left(F_{\sigma}(\mathcal{C})\right)=\frac{c+f}{2}$, and $\operatorname{dim}\left(E_{\sigma}(\mathcal{C})\right)=\frac{c(p-1)}{2} .$

Theorem 4.4.21 ([1928]) Let $\mathcal{C}$ be a binary $[n, n / 2]$ code with automorphism $\sigma$ from (4.3).
Let $\pi: F_{\sigma}(\mathcal{C}) \rightarrow \mathbb{F}{2}^{c+f}$ be the projection map, where, for $\mathbf{v} \in F{\sigma}(\mathcal{C}),(\pi(\mathbf{v})){i}=v{j}$ for some $j \in \Omega_{i}, i=1,2, \ldots, c+f$. Let $\mathcal{E}$ (respectively $\mathcal{P}$ ) be the set of all even-weight vectors in $\mathbb{F}{2}^{p}$ (respectively even-weight polynomials in $\left.\mathbb{F}{2}[x] /\left\langle x^{p}-1\right\rangle\right)$. Define $\varphi^{\prime}: \mathcal{E} \rightarrow \mathcal{P} b y$ $\varphi^{\prime}\left(v_{0} v_{1} \cdots v_{p-1}\right)=v_{0}+v_{1} x+\cdots+v_{p-1} x^{p-1} .$ Let $E_{\sigma}(\mathcal{C})^{}$ be $E_{\sigma}(\mathcal{C})$ punctured on all the fixed points of $\sigma$. Define $\varphi: E_{\sigma}(\mathcal{C})^{} \rightarrow \mathcal{P}^{c}$ by $\varphi(\mathbf{v})=\left(\varphi^{\prime}\left(\mathbf{v}{\mid \Omega{1}}\right), \varphi^{\prime}\left(\mathbf{v}{\mid \Omega{2}}\right), \ldots, \varphi^{\prime}\left(\mathbf{v} \mid \Omega_{c}\right)\right)$ for $\mathbf{v} \in E_{\sigma}(\mathcal{C})^{} \subseteq \mathcal{E}^{c}$. Then $\mathcal{C}$ is self-dual if and only if the following two conditions hold: (a) $\mathcal{C}{\pi}=\pi\left(F{\sigma}(\mathcal{C})\right)$ is a binary self-dual code of length $c+f$, and
(b) for every two vectors $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathcal{C}{\varphi}=\varphi\left(E{\sigma}(\mathcal{C})^{}\right)$, we have $\sum_{i=1}^{c} u_{i}(x) v_{i}\left(x^{-1}\right)=0$ where $u_{i}(x)=\varphi^{\prime}\left(\mathbf{u}{\mid \Omega{i}}\right)$ and $v_{i}(x)=\varphi^{\prime}\left(\mathbf{v}{\mid \Omega{i}}\right)$ for $i=1,2, \ldots, c .$

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Enumeration and Classification

Remark 4.5.1 The main tool to classify self-dual codes is based on the so-called mass formula which gives the possibility of checking whether the classification is correct. The number of the self-dual binary codes of even length $n$ is $N(n)=\prod_{i=1}^{n / 2-1}\left(2^{i}+1\right)$. If $\mathcal{C}$ has length $n$, then the number of codes equivalent to $\mathcal{C}$ is $n ! /|\operatorname{PAut}(\mathcal{C})|$. To classify binary selfdual codes of length $n$, it is necessary to find inequivalent self-dual codes $\mathcal{C}{1}, \ldots, \mathcal{C}{r}$ so that the following mass formula holds:
$$
N(n)=\sum_{i=1}^{r} \frac{n !}{\left|\operatorname{PAut}\left(\mathcal{C}{i}\right)\right|} . $$ There are such formulas for all families of self-dual and also of self-orthogonal codes. Detailed information is presented in [1008, 1555]. See also Proposition 7.5.1. Theorem 4.5.2 We have the following mass formulas. (a) For self-dual binary codes of even length $n$, $$ \sum{j} \frac{n !}{\left|\operatorname{PAut}\left(\mathcal{C}{j}\right)\right|}=\prod{i=1}^{n / 2-1}\left(2^{i}+1\right)
$$
(b) For doubly-even self-dual binary codes of length $n \equiv 0(\bmod 8)$,
$$
\sum_{j} \frac{n !}{\left|\operatorname{PAut}\left(\mathcal{C}{j}\right)\right|}=\prod{i=1}^{n / 2-2}\left(2^{i}+1\right)
$$

(c) For self-dual ternary codes of length $n \equiv 0(\bmod 4)$,
$$
\sum_{j} \frac{2^{n} n !}{\left|\operatorname{MAut}\left(\mathcal{C}{j}\right)\right|}=2 \prod{i=1}^{n / 2-1}\left(3^{i}+1\right)
$$
(d) For Hermitian self-dual codes over $\mathbb{F}{4}$ of even length $n$, $$ \sum{j} \frac{2 \cdot 3^{n} n !}{\left|\Gamma \operatorname{Aut}\left(\mathcal{C}{j}\right)\right|}=\prod{i=1}^{n / 2-1}\left(2^{2 i+1}+1\right)
$$
In each case, the summation is over all $j$, where $\left{\mathcal{C}{j}\right}$ is a complete set of representatives of inequivalent codes of the given type. The automorphism group $\operatorname{CAut}\left(\mathcal{C}{j}\right)$ is the set of all semi-linear monomial transformations from $\mathbb{F}{4}^{n}$ to $\mathbb{F}{4}^{n}$ that fix $\mathcal{C}_{j}$; see [1008, Section 1.7].

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Designs Supported by Codes

The support of a nonzero vector $\mathbf{x}=x_{1} \cdots x_{n} \in \mathbb{F}{q}^{n}$ is the set of indices of its nonzero coordinates: $\operatorname{supp}(\mathbf{x})=\left{i \mid x{i} \neq 0\right}$

Definition 5.2.1 A design $D$ is supported by a block code $\mathcal{C}$ of length $n$ if the points of $D$ are labeled by the $n$ coordinates of $\mathcal{C}$, and every block of $D$ is the support of some nonzero codeword of $\mathcal{C}$.

Remark 5.2.2 If $\mathcal{C}$ is a linear code over a finite field of order $q>2$, and $\mathbf{c}$ is a codeword of weight $w>0$, all $q-1$ nonzero scalar multiples of $\mathbf{c}$ have the same support. To avoid repeated blocks, we associate only one block with all scalar multiples of c. Suppose that $D$ is a $t-(n, w, \lambda)$ design supported by a linear $q$-ary code $\mathcal{C}$. It follows that the number of blocks $b$ of $D$ is smaller than or equal to $A_{w} /(q-1)$, where $A_{w}$ is the number of codewords of weight $w$. If the support of every codeword of weight $w$ is a block of $D$, then we have and the parameter $\lambda$ can be computed using $(5.2)$ and (5.3):
$$
\lambda=\frac{A_{w}}{q-1} \cdot \frac{\left(\begin{array}{c}
w \
t
\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}
n \
t
\end{array}\right)} .
$$
Theorem 5.2.3 If a code is invariant under a monomial group that acts t-transitively or $t$-homogeneously on the set of coordinates, the supports of the codewords of any nonzero weight form a t-design.

Corollary 5.2.4 If $\mathcal{C}$ is a cyclic code of length $n$, the supports of all codewords of any nonzero weight $w$ form a 1-design.

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Constructions of Codes with Prescribed Automorphisms

霍夫曼和约戈夫(见[999,1928,1929]) 开发了一种通过奇素数自同构构造二进制自对偶码的方法。他们的方法被其他作者扩展用于奇数复合阶的自同构和 2 阶的自同构[272,281,616].

霍夫曼还研究了线性码的性质Fq, 具有素数自同构p与q[1000]. 此外,他继续使用 Hermitian 和加法自对偶码F4[1001,1006], 并在环上使用自对偶码[1004,1007].
让C是长度的二进制自对偶码n具有自同构σ素数的p≥3确切地说C独立的p-周期和F=n−Cp分解中的固定点。我们可以假设

σ=(1,2,⋯,p)(p+1,p+2,⋯,2p)⋯((C−1)p+1,(C−1)p+2,⋯,Cp)
然后说σ是类型p−(C,F). 我们提出了关于这种代码结构的主要定理。许多作者已经使用这种结构来构造具有不同参数的最优自对偶码。

定理 4.4.20 ([999]) 令C成为二进制[n,n/2]具有自同构的代码σ从(4.3)。让Ω1=1,2,…,p,…,ΩC=(C−1)p+1,(C−1)p+2,…,Cp表示循环σ, 然后让ΩC+1=Cp+1,…,ΩC+F=Cp+F=n是的不动点σ. 定义

\begin{aligned}&F_{\sigma}(\mathcal{C})={\mathbf{v}\in \mathcal{C}\mid \sigma(\mathbf{v})=\mathbf{v}}\ &E_{\sigma}(\mathcal{C})=\left{\mathbf{v} \in \mathcal{C} \mid \mathbf{wt}{\mathrm{H}}\left(\mathbf{v} \mid \Omega{i}\right)\equiv 0\quad(\bmod2),i=1.2,\ldots,c+f\right}\end{aligned}\begin{aligned}&F_{\sigma}(\mathcal{C})={\mathbf{v}\in \mathcal{C}\mid \sigma(\mathbf{v})=\mathbf{v}}\ &E_{\sigma}(\mathcal{C})=\left{\mathbf{v} \in \mathcal{C} \mid \mathbf{wt}{\mathrm{H}}\left(\mathbf{v} \mid \Omega{i}\right)\equiv 0\quad(\bmod2),i=1.2,\ldots,c+f\right}\end{aligned}
在哪里在∣Ω一世是限制在上Ω一世.然后C=Fσ(C)⊕和σ(C),暗淡⁡(Fσ(C))=C+F2, 和暗淡⁡(和σ(C))=C(p−1)2.

定理 4.4.21 ([1928]) 让C成为二进制[n,n/2]具有自同构的代码σ从(4.3)。
让圆周率:Fσ(C)→F2C+F是投影图,其中,对于在∈Fσ(C),(圆周率(在))一世=在j对于一些j∈Ω一世,一世=1,2,…,C+F. 让和(分别磷) 是所有偶数权向量的集合F2p(分别是偶数权多项式F2[X]/⟨Xp−1⟩). 定义披′:和→磷b是 披′(在0在1⋯在p−1)=在0+在1X+⋯+在p−1Xp−1.让和σ(C)是和σ(C)在所有的固定点上进行穿刺σ. 定义披:和σ(C)→磷C经过披(在)=(披′(在∣Ω1),披′(在∣Ω2),…,披′(在∣ΩC))为了在∈和σ(C)⊆和C. 然后C是自对偶的当且仅当以下两个条件成立: (a)C圆周率=圆周率(Fσ(C))是长度的二进制自对偶码C+F, 和
(b) 对于每两个向量在,在∈C披=披(和σ(C)), 我们有∑一世=1C在一世(X)在一世(X−1)=0在哪里在一世(X)=披′(在∣Ω一世)和在一世(X)=披′(在∣Ω一世)为了一世=1,2,…,C.

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备注 4.5.1 对自对偶码进行分类的主要工具是基于所谓的质量公式,它提供了检查分类是否正确的可能性。偶数长度的自对偶二进制码的个数n是ñ(n)=∏一世=1n/2−1(2一世+1). 如果C有长度n, 那么代码的数量相当于C是n!/|帕特⁡(C)|. 对长度的二进制自对偶码进行分类n,需要找到不等价的自对偶码C1,…,Cr使得以下质量公式成立:

ñ(n)=∑一世=1rn!|帕特⁡(C一世)|.对于所有自对偶和自正交码族都有这样的公式。详细信息见 [1008, 1555]。另见提案 7.5.1。定理 4.5.2 我们有以下质量公式。(a) 对于偶数长度的自对偶二进制码n,

∑jn!|帕特⁡(Cj)|=∏一世=1n/2−1(2一世+1)
(b) 对于长度的双偶自对偶二进制码n≡0(反对8),

∑jn!|帕特⁡(Cj)|=∏一世=1n/2−2(2一世+1)

(c) 对于长度的自对偶三进制码n≡0(反对4),

∑j2nn!|毛⁡(Cj)|=2∏一世=1n/2−1(3一世+1)
(d) 对于 Hermitian 自对偶码F4等长n,

∑j2⋅3nn!|Γ或者⁡(Cj)|=∏一世=1n/2−1(22一世+1+1)
在每种情况下,总和超过所有j, 在哪里\left{\mathcal{C}{j}\right}\left{\mathcal{C}{j}\right}是给定类型的不等价代码的完整代表集。自同构群我搜索⁡(Cj)是所有半线性单项变换的集合F4n至F4n那个修复Cj; 参见 [1008,第 1.7 节]。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Designs Supported by Codes

非零向量的支持度X=X1⋯Xn∈Fqn是其非零坐标的索引集:\operatorname{supp}(\mathbf{x})=\left{i \mid x{i} \neq 0\right}\operatorname{supp}(\mathbf{x})=\left{i \mid x{i} \neq 0\right}

定义 5.2.1 设计D由块代码支持C长度n如果点D被标记为n坐标C,并且每个块D是一些非零码字的支持C.

备注 5.2.2 如果C是有限阶域上的线性码q>2, 和C是一个权重码字在>0, 全部q−1的非零标量倍数C有同样的支持。为了避免重复块,我们只将一个块与 c 的所有标量倍数相关联。假设D是一个吨−(n,在,λ)由线性支持的设计q-ary码C. 由此可见块数b的D小于或等于一个在/(q−1), 在哪里一个在是权重的码字数在. 如果权重的每个码字的支持在是一个块D, 那么我们有 和 参数λ可以使用计算(5.2)(5.3):

λ=一个在q−1⋅(在 吨)(n 吨).
定理 5.2.3 如果代码在 t-传递或吨-在坐标集上均匀地,任何非零权重的码字的支持形成 t 设计。

推论 5.2.4 如果C是长度的循环码n,任何非零权重的所有码字的支持度在形成一个 1 设计。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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